2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《三角恒等式與三角不等式》.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料三角恒等式與三角不等式三角恒等變形，既要遵循代數(shù)式恒等變形的一般法則，又有三角所特有的規(guī)律.三角恒等式包括絕對(duì)恒等式和條件恒等式兩類。證明三角恒等式時(shí)，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的繁簡(jiǎn)程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的角、函數(shù)名稱、次數(shù)以及結(jié)構(gòu)的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓綄?duì)其進(jìn)行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。當(dāng)然有時(shí)也可以利用萬能公式“弦化切割”，將題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的代數(shù)恒等式的證明問題.萬能公式相除相除相除積化和差和差化積相加減要快捷地完成三角恒等式的證明，必須選擇恰當(dāng)?shù)娜枪? 為此，同學(xué)們要熟練掌握各公式及各公式的來龍去脈和變形形式.上圖為三角公式脈絡(luò)圖，由圖可見兩角和差的三角函數(shù)的公式是所有三角公式的核心和基礎(chǔ).此外，三角是代數(shù)與幾何聯(lián)系的“橋梁”，與復(fù)數(shù)也有緊密的聯(lián)系，因而許多三角問題往往可以從幾何或復(fù)數(shù)角度獲得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等. 其次，三角不等式又有自己的特點(diǎn)含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖象特征等都是處理三角不等式的銳利武器.三角形中有關(guān)問題也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的常見題型. 解決這類問題，要充分利用好三角形內(nèi)角和等于180這一結(jié)論及其變形形式. 如果問題中同時(shí)涉及邊和角，則應(yīng)盡量利用正弦定理、余弦定理、面積公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)邊角統(tǒng)一. 求三角形面積的海倫公式，大家往往不甚熟悉，但十分有用.例題講解1已知2證明：3求證：4已知5證 明：6求證： sin1sin2sin3sin89=7證明：對(duì)任一自然數(shù)n及任意實(shí)數(shù)為任一整數(shù)），有8證明：9若，求證：10已知，證明：，并討論等號(hào)成立的條件。11已知，能否以，的值為邊長(zhǎng)，構(gòu)成三角形。12在中，角、的對(duì)邊為、，求證：13在銳角中，求證（1）；（2）14設(shè)，且，求乘積的最大值和最小值。課后練習(xí)1證明：sin47+sin61sin11sin25=cos7.2證明：3已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0. 求證：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.4已知5已知的最大值.6已知、的最大值.7ABC中，C=2B的充要條件是8ABC中，已知、成等差數(shù)列，求證：、也成等差數(shù)列.9ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知，求B的最大值.10若、能否以、的值為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)三角形.11求函數(shù)的值域.12求函數(shù)的值域.13在中，求證：；。14設(shè)為銳角，求證：15對(duì)，求證：。例題答案：分析：條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角，.故可利用消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手.證法1： 證法2： 分析：等號(hào)左邊涉及角7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為、的表達(dá)式，但相對(duì)較繁. 觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因?yàn)?從而有 評(píng)述：本題看似“化簡(jiǎn)為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡(jiǎn)捷. 另本題也可利用復(fù)數(shù)求解. 令，展開即可.思路分析：等式左邊同時(shí)出現(xiàn)、，聯(lián)想到公式.證明：評(píng)述：本題方法具有一定的普遍性. 仿此可證等.、證明：證明： 評(píng)述：這是三倍角的正弦的又一表示. 類似地，有. 利用這幾個(gè)公式可解下例.6. 證明：cos6cos42cos66cos78=cos6cos54cos66sin1sin2sin3sin89=(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60=又 即 所以 7. 思路分析：本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).證明：同理評(píng)述：本題裂項(xiàng)技巧也可通過數(shù)學(xué)歸納法獲得.“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：.8. 證明： 所以，評(píng)述：本題也可借助復(fù)數(shù)獲證.類似地，有利用上述公式可快速證明下列各式：