中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練【二次函數(shù)壓軸題】提升與解析

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1、數(shù)學(xué)專題之【二次函數(shù)壓軸題】精品解析 ——————————————————————————————————————— 中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練【二次函數(shù)壓軸題】提升與解析 1. （2011年湖北省武漢市，25，12分）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn). （1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍； （3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過Q（0，3）

2、作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn).問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 分析：拋物線的解析式的求法及拋物線的平移。 答案：解：（1）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（-3,0），B（-1,0）兩點(diǎn) ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a＝1 b＝4∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，,1）∴直線OD的解析式為y=x 于是設(shè)平移的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h， h），∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）

3、2+h.①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，∵C（0，9），∴h2+h=9， 解得h=.∴當(dāng)≤h< 時(shí)，平移的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn). （2）當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， 由方程組y=（x-h）2+h,y=-2x+9. 得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0， 解得h=4. 此時(shí)拋物線y=（x-4）2+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為（3，3），符合題意. 綜上：平移的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或≤h<. （3）方法1 將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x2， 設(shè)EF的解析式

4、為y=kx+3（k≠0）. 假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t），如圖，過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H.∵△PEF的內(nèi)心在y軸上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF, ∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t) ∴2kxExF=（t-3）（xE+xF） 由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0. ∴xE+xF=k,xExF=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3），使△P

5、EF的內(nèi)心在y軸上. 方法2設(shè)EF的解析式為y=kx+3（k≠0）,點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)R（-m,m2）,作直線FR交y軸于點(diǎn)P，由對稱性知∠EPQ=∠FPQ，∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).由F,R的坐標(biāo)，可得直線FR的解析式為y=（n-m）x+mn.當(dāng)x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0,-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上. 點(diǎn)評：二次函數(shù)是中考考查的必考內(nèi)容之一，本題是綜合考查二次函數(shù)的一些基礎(chǔ)知識，需要考生熟悉二次函數(shù)的相關(guān)基本概念即可解題． 2．（如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0

6、，1），B（-4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向90得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B． （1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說明d2=d1+1； （3）在（2）的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值． 【解題思路】（1）設(shè)拋物線的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，易證Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)（3，

7、5）； （2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，則有d1= a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2= a2+1，即有結(jié)論d2=d1+1； （3）△PAC的周長=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周長=PC+PH+6，要使PC+PH最小，則C、P、H三點(diǎn)共線，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），此時(shí)PC+PH=5，得到△PAC的周長的最小值=5+6=11． 【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式：y=ax2， ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-4，4）， ∴4=a?42，解得a=， 所以拋物線的解析式為：y= x2

8、； 過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，如圖， ∵點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向90得到點(diǎn)C， ∴Rt△BAE≌Rt△ACD， ∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）； （2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，如圖， ∵點(diǎn)P在拋物線y= x2上， ∴b= a2， ∴d1= a2， ∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a， 在Rt△PAF中，PA=d2= = a2+1， ∴d2=d1+1； （3）由（1）得AC=5， ∴△PAC的周長=

9、PC+PA+5 =PC+PH+6， 則C、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PH最小， ∴此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，把x=3代入y= x2，得到y(tǒng)=， 即P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），此時(shí)PC+PH=5， ∴△PAC的周長的最小值=5+6=11． 【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為：y=ax2；也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短．本題第（3）小題的關(guān)鍵是將△PAC的周長轉(zhuǎn)化為PC與PH和的關(guān)系，從而求出三角形周長的最小值．難度較大． －1 y x O （第28題） 1 2 3 4 －2 －4 －3 3

10、 －1 －2 －3 －4 4 1 2 本題第（3）小題與2010年南通市28題的第（3）小題非常類似，如下題，供參考。 （2010江蘇南通，28，14分）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A（－4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=－3時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．經(jīng)過點(diǎn)C（0，－2）的直線l與 x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求直線AB和這條拋物線的解析式； （2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由； （3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，P（m，n）是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長最小時(shí)，求四邊

11、形CODP的面積． 3．已知拋物線：y＝x2－2x+m－1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且與y軸交于A點(diǎn)，如圖，設(shè)它的頂點(diǎn)為B． (1)求m的值； (2)過A作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)C，求證△ABC是等腰直角三角形； (3)將此拋物線向下平移4個(gè)單位后，得到拋物線C，且與x軸的左半軸交于E點(diǎn)，與y軸交于F點(diǎn)，如圖，請?jiān)趻佄锞€C上求點(diǎn)P，使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形． 【解題思路】(1)由拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則b2－4ac＝0，得出關(guān)于m的方程，求出m的值．(2)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，得出OA＝OB，再根據(jù)AC∥x軸，得出∠BAC＝45，根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)A是關(guān)于拋物

12、線對稱軸的對稱點(diǎn)，得出AB＝BC，則△ABC為等腰直角三角形．或分別計(jì)算出AB、AC、BC的長度，由勾股定理的逆定理確定為等腰直角三角形．(3)由平移規(guī)律，得出拋物線C′的解析式，得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，根據(jù)互相垂直的兩條直線的系數(shù)之間的關(guān)系，設(shè)出過點(diǎn)E、F的EF的垂線的解析式；分別解兩條垂線與拋物線解析式構(gòu)成的方程組，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解】（1）∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)， ∴△＝b2－4ac＝22－41(m－1)＝0，解得m＝2． （2）方法一：∵m＝2，∴拋物線的解析式為y＝x－2x+1． 把x＝0代入y＝x－2x+1，得y＝1， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

13、0，1）． 把y＝0代入y＝x－2x+1，得x＝1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）． ∴△AOB是等腰直角三角形． 又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45． A，C是對稱點(diǎn)，∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二：∵m＝2，∴拋物線的解析式為y＝x－2x+1． 把x＝0代入y＝x－2x+1，得y＝1， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）． 把y＝0代入y＝x－2x+1，得x＝1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）． ∵AC∥x軸，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1． 把y＝1代入y＝x－2x+1，得x1＝0，x2＝2． ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，1)． ∴AC＝2，AB＝＝，BC＝＝． ∴

14、AB＝BC． 又∵AB2+BC2＝+＝2+2＝4＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形． （3）平移后解析式為y＝x2－2x－3，可知F(0，－3)． 把y＝0代入y＝x2－2x－3，得x1＝－1，x2＝3． 又點(diǎn)E在x軸得左半軸上，∴E(－1，0)． 設(shè)直線EF的解析式為y＝kx－3，把E(－1，0)代入y＝kx－3，得k＝－3， ∴EF的解析式為：y＝－3x－3． 平面內(nèi)互相垂直的兩條直線的系數(shù)k值相乘等于－1， ∴過E點(diǎn)或F點(diǎn)的直線為y＝+b． 把E點(diǎn)和F點(diǎn)分別代入可得b＝或－3， ∴或y＝－3． 解方程解得x1＝－1，x2＝．x1是E點(diǎn)橫坐標(biāo)，舍去． 把x2＝代入

15、，得y＝，∴P1（，）． 同理，解方程解得x1＝0(舍去)，x2＝． 把x2＝代入，得y＝－，∴P2(，－)． 【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)及其運(yùn)用，①b2－4ac＝0二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；②對稱軸是關(guān)于直線對稱的兩個(gè)點(diǎn)的垂直平分線，垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)到距離相等；③把拋物線上下平移，就是縱坐標(biāo)進(jìn)行加減運(yùn)算，即“上加下減”；④平面上互相垂直的兩條直線的比例系數(shù)的乘積等于－1． 4． 如圖，拋物線y＝x2―mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)C（0，-1）且對稱軸是x=1. （1）求拋物線解析式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）在x軸下

16、方拋物線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積是3？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由（使用圖1）； （3）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（使用圖2）. x x=1 A B C y O 圖2 x x=1 A B C y O 圖1 【思路分析】（1）根據(jù)對稱軸公式可求解m,代入C點(diǎn)坐標(biāo)可求解n；（2）將四邊形分割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面積可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分別為點(diǎn)D的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的相反數(shù)，根據(jù)三個(gè)

17、三角形面積和是3列方程求解；（3）通過畫圖可觀察以Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)Q只能在y軸正半軸上，且PQ=AB=4 , PQ ∥AB ,即已知點(diǎn)P橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求縱坐標(biāo)． 【答案】解：（1）x==1,∴m=，∴y＝x2―x+n.把C（0，-1）代入得n= -1,∴求拋物線解析式是y＝x2―x-1； 令0＝x2―x-1，得x=3或-1，∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1,0）（3,0）； （2）存在. 設(shè)D的坐標(biāo)是（x，y），則y＝x2―x-1，連接AC、CD、OD、BD. ∴S△AOC+ S△OCD+ S△OBD=3，∴11+1x+3(-y)=3, ∴+

18、x+3(―x2+x+1)=3, 解得x=2或1，所以y=-1或-，∴D的坐標(biāo)是（2，-1）、（1, -）. （3）（3）1當(dāng)AB為邊時(shí)：設(shè)PQ =AB=4 , PQ ∥AB ,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4或-4，把x=4代入y＝x2―x-1得y=;把x= -4代入y＝x2-x-1得y=7，即當(dāng)P的坐標(biāo)是（4，）或（-4，7）時(shí)以Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 2當(dāng)AB為對角線時(shí)，則AB與PQ互相平分，線段AB中點(diǎn)是G，PQ過G與y軸交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸垂線交x軸于H，則△PHG≌△QOC，所以O(shè)G=GH，又因?yàn)辄c(diǎn)G的橫坐標(biāo)是1，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，把x=2代入y＝x2-x-1得y=

19、 -1，即當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，-1），即當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，-1））時(shí)以Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)是（4，）、（-4，7）或（2，-1））時(shí)以Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 【點(diǎn)評】這類探究類問題首先假設(shè)存在，根據(jù)圖形的存在性，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．如果不存在，經(jīng)過推理論證或計(jì)算，能夠得出與已知條件或公里相矛盾的結(jié)論，從而推出假設(shè)錯(cuò)誤． 5．某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能，消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價(jià)是一次函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過測算，工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度)與電價(jià)x(元/千度)的函數(shù)圖象如圖： （1）當(dāng)電價(jià)為600元千度時(shí)，工

20、廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是多少？ （2）為了實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo)，有關(guān)部門規(guī)定，該廠電價(jià)x(元/千度)與每天用電量m(千度)的函數(shù)關(guān)系為x=10m+500，且該工廠每天用電量不超過60千度，為了獲得最大利潤，工廠每天應(yīng)安排使用多少度電？工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元？ 【解題思路】由函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)很容易用代定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。 【答案】解：（1）工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度)與電價(jià)(元/千度)的函數(shù)解析式為： 該函數(shù)圖象過點(diǎn) ∴，解得 ∴ 當(dāng)電價(jià)x=600元/千度時(shí)，該工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤（元/千度） （3）設(shè)工廠每天消耗電產(chǎn)生

21、利潤為w元，由題意得： 化簡配方，得： 由題意，，∴當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)工廠每天消耗50千度電時(shí)，工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為5000元。 【點(diǎn)評】試題充分體現(xiàn)了函數(shù)知識在生活中的廣泛應(yīng)用，用函數(shù)知識可以解決生活中的很多問題。 6．拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A（m－4,0）和B(m,0)，與直線y=－x+p相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C(2m－4,m－6). (1)求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)P在拋物線上，且以點(diǎn)P和A,C以及另一點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的平行四邊形ACQP面積為12，求點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)； （3）在（2）條件下，若點(diǎn)M是x軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)⊿PQM的面積最大時(shí)，請求出⊿PQ

22、M的最大面積及點(diǎn)M的坐標(biāo)。 【解題思路】(1)求函數(shù)關(guān)系式的三種方法是一般式，頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式。此題可由A,C兩點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，求得m值，從而得出A,C兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步確定出B的坐標(biāo)，然后選取任意一種方法求出拋物線的解析式。 (2)由平行四邊形的面積，及一邊長，很容易求得高，再由特殊角求出PQ與y軸的交點(diǎn)。結(jié)合二次函數(shù)求出P,Q的坐標(biāo)。可能有兩種情況，分別討論。 （3）△PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大則△PQM的面積最大。 【答案】解：點(diǎn)和在直線y=－x+p上 ∴解得∴ 設(shè)拋物線∵∴ ∴拋物線解析式為 （2）AC=，AC所在直線的解析

23、式為：，∠BAC=45 ∵的面積為12 ∴中AC邊上的高為 過點(diǎn)D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點(diǎn)K，DK=,∴DN=4 ∵的邊PQ所在直線在直線AC的兩側(cè)可能各有一條， ∴PQ的解析式為或 ∴解得或 方程組無解 即, ∵四邊形ACQP是平行四邊形， ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴滿足條件的P,Q點(diǎn)是,或, （3）設(shè)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交PQ所在直線點(diǎn)T，則， 過點(diǎn)M作MS⊥PQ所在直線于點(diǎn)S， = ∴當(dāng)時(shí)，，△PQM中PQ邊上高的最大值為 【點(diǎn)評】本題綜合性較強(qiáng)，考查了很多基礎(chǔ)知識、還要具備較高的空間想象能力、必須考慮到各種情況，此題的運(yùn)算量和難度都比較大。

24、 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－8. （1）求該拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E. ①設(shè)△PDE的周長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值； ②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正方形的性質(zhì)求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一般

25、式根據(jù)待定系數(shù)法求解. （2）①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP-yD求出二函數(shù)最值即可；②根據(jù)G和F點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得x的值，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，同法可得求出P點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解】（1）對于，當(dāng)y＝0，x＝2.當(dāng)x＝－8時(shí)，y＝－. ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為 由拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，得 解得 （2）①設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)M． 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝. ∴OM＝. ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA＝2.∴AM＝ ∵OM∶OA∶AM＝3∶4∶5. 由題

26、意得，∠PDE＝∠OMA，∠AOM＝∠PED＝90，∴△AOM～△PED. ∴DE∶PE∶PD＝3∶4∶5． ∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， ∴PD＝y(tǒng)P－yD ＝ ∴ ②滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是 當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，由△ACP≌△GOA得PC＝AO＝2，即，解得，所以 當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，同法可得， （舍去）. 【點(diǎn)評】此題是一個(gè)典型的動(dòng)點(diǎn)壓軸題，它融知識于一體，包萬象于其中，知識點(diǎn)之多,綜合性之強(qiáng)，難度系數(shù)之大.分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們一定注意掌握． A B C O x y 圖12 8．如

27、圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、C不重合），過點(diǎn)P的直線x＝t與AC相交于點(diǎn)Q．設(shè)四邊形ABPQ關(guān)于直線x＝t的對稱的圖形與△QPC重疊部分的面積為S． ⑴點(diǎn)B關(guān)于直線x＝t的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為________； ⑵求S與t的函數(shù)關(guān)系式． 【解題思路】(1)對稱點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分，可以求B′的坐標(biāo)； （2）因?yàn)辄c(diǎn)P的位置不同導(dǎo)致點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′的位置不同，可能在線段OC上，也可能在線段OC的延長線上，如圖a和圖b，重合部分分別是四邊形和三角形，圖a先求AC的解析式和A’B’的解析式，求出點(diǎn)

28、M的縱坐標(biāo)，然后用△QPC的面積減去△B’MC的面積；圖b，直接求△QPC的面積即可． Q Q P P 【答案】（1）B’（2t+1,0） （2）當(dāng)t=1.5是點(diǎn)B關(guān)于x=t的對稱點(diǎn)B’與點(diǎn)C重合 當(dāng)0

29、多次解二元一次方程組，計(jì)算量比較大，加上分情況討論點(diǎn)B’的位置，導(dǎo)致此題難度較大，不容易做完． 圖15 9．如圖15，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB． ⑴求該拋物線的解析式； ⑵拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； ⑶在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【解題思路】（1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，

30、得到三元一次方程組，解出a、b、cj即可；因?yàn)锳、B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，也可以把拋物線設(shè)成y=a（x+1）（x-3），然后代入C得坐標(biāo)。 （2）若使△QMB與△PMB的面積相等，須等底等高，因此考慮和BC平行的直線PQ和l，求出它們的解析式，在求它們與二次函數(shù)的交點(diǎn)，就是點(diǎn)Q的坐標(biāo)； （3）（圖b）要使△RPM與△RMB的面積相等，須等底等高，MR要是底的話，點(diǎn)P、B到MR的距離PN抽查（圖中沒有畫出來）=BD，易證三角形PNE與三角形BDE全等，因此PE=BE，點(diǎn)M為PF的中點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，因此ME與x軸平行，點(diǎn)M與N重合，把y=2代入二次函數(shù)即可求點(diǎn)R的橫坐標(biāo)（舍掉不符合題意的那

31、個(gè)）。 圖a 圖b F F 【答案】（1）依題可知 解得 所以拋物線的解析式為y= -x2+2x+3 （2）（圖a）y= -x2+2x+3可變形為，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)P（1,4） 設(shè) BC的解析式為∵B（3，0）、C（0，3）∴ ∴ ∴ ∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y=-1+3=2，即M（1,2）設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，∴PM=MF，∴S△PMB=S△FMB ∵△QMB與△PMB的面積相等，∴點(diǎn)Q在過點(diǎn)P且平行于BC的直線a上或過點(diǎn)F且平行于BC的直線b上， 設(shè)a的解析式為，則，即，∴ 設(shè)b的解析式為，則，即，∴ 設(shè)a與拋物線相交于Q（m，-m+5），b與拋物線的交

32、點(diǎn)Q’（n，-n+1），則 解得 解得 ，∴點(diǎn)Q’的坐標(biāo)為 綜上，滿足條件的Q的坐標(biāo)有三個(gè)，分別是（2，3）、、 （3）存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（，2）． 【點(diǎn)評】第一問靈活地考查二次函數(shù)解析式的求法——待定系數(shù)法，兩種方法難度較??；第二問難度較大，不容易想到第二個(gè)和第三個(gè)Q，利用到等底等高的兩個(gè)三角形面積相等，很自然地想到平行線間的距離相等．求BC的兩條平行線的解析式時(shí)，要用到“在坐標(biāo)系中，平行線的k值相等”．求交點(diǎn)的方法就是連方程組，解方程組．難度較大．第三問是拔高題． 10．已知拋物線的圖象向上平移m個(gè)單位()得到的新拋物線過點(diǎn)(1,8). (1)求m的值,并將平移后的

33、拋物線解析式寫成的形式； (2)將平移后的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,與平移后的拋物線沒有變化的部分構(gòu)成一個(gè)新的圖象.請寫出這個(gè)圖象對應(yīng)的函數(shù)y的解析式,并在所給的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出簡圖,同時(shí)寫出該函數(shù)在≤時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍； (3)設(shè)一次函數(shù),問是否存在正整數(shù)使得(2)中函數(shù)的函數(shù)值時(shí),對應(yīng)的x的值為,若存在,求出的值；若不存在,說明理由. x 5 4 3 2 1 -1 O -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 y 【解題思路】

34、第(1)小題得出平移后含的解析式是關(guān)鍵,再用待定系數(shù)法、配方法,求解問題；第(2)小題要理解好題意,構(gòu)造出分段函數(shù),用數(shù)形結(jié)合思想方法得出的取值范圍；第(3)小題根據(jù)自變量的取值范圍,得出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式,與一次函數(shù)聯(lián)立列出二次方程,再次結(jié)合自變量的取值范圍解出答案. 【答案】解:(1)由題意可得 又點(diǎn)(1,8)在圖象上 ∴ ∴ ………………………………………………………(1分) ∴………………………………………………(3分) (2) 如圖 ………………………………………………(7分) x 5 4 3 2 1 -1 O -2 -3 -4 -5

35、1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 y 當(dāng)時(shí), ………………(9分) (3)不存在 ………………………………………………(10分) 理由:當(dāng)且對應(yīng)的時(shí) ∴, ………………………………………(11分) 且 得 ∴不存在正整數(shù)滿足條件 ……………………………(12分) 【點(diǎn)評】本題以拋物線為載體,結(jié)合圖形的平移與對稱,考查了初中數(shù)學(xué)的主干知識:函數(shù)、方程與不等式；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識以及運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力；考查了待定系數(shù)法、配方法等數(shù)學(xué)方法.試題

36、入口寬,三個(gè)小題層層深入,有一定的梯度,第(2)小題學(xué)生易用兩端點(diǎn)的值代入求的取值范圍,容易造成失分,第(3)小題是本卷的制高點(diǎn),對學(xué)生要求較高,具有很好的區(qū)分度.綜合可得,本試題用存在性問題連接著一次函數(shù)與二次函數(shù),連接著方程與不等式,試題呈現(xiàn)方式新穎,難度較大. 11．如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn) A ( 3 , 3) ，把直線 OA 向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m)，與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn) ⑴求 m的值； ⑵求過 A、B、D 三點(diǎn)的拋物線的解析式； ⑶ 若點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn) E ，使四邊形 OECD 的面積S1 ，是四邊形O

37、ACD 面積S的？若存在，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 目 【解題思路】⑴設(shè)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為 ∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn) A ( 3 , 3) ∴， ∴， ∵點(diǎn)B(6,m)在反比例函數(shù)的圖像上 ∴ ⑵由⑴得點(diǎn)B(6，)， 設(shè)直線OA 向下平移后BD的解析式為： 把點(diǎn)B(6，)代入BD的解析式：得 ∴D(0，) 設(shè)過A ( 3 , 3)，B(6，)，D(0，)的 拋物線的解

38、析式為則 解得：. ∴ ⑶ ∵BD：，∴令得則C() ∴ ∴ 假設(shè)存在點(diǎn)E，則 ∴，令 解得，（不合題意，舍去） ∴ 【點(diǎn)評】這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的試題，綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)、方程、直角坐標(biāo)系中平行線解析式的處理，知識的綜合運(yùn)用能力強(qiáng)，要求學(xué)生有直覺猜想、空間想象、合情推理、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、演繹說理等綜合能力.難度較大. 12． 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-1．0），B(

39、 -1.2)，D( 3.0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到O/V，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)D、M、N。 （1）求拋物線的解析式 （2）拋物線上是否存在點(diǎn)P．使得PA= PC．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由。 （3）設(shè)拋物線與x軸的另—個(gè)交點(diǎn)為E．點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值。 A B C D O E N M x y 【解題思路】1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 2） 求線段AC垂直平分線與拋物線的交點(diǎn) 3） 為直線上一點(diǎn)到直線外兩點(diǎn)距離差最小 利用軸對稱解題 【答案】（1）

40、解：由題意可得M（0．2），N（-3．2） ∴ 解得： ∴y= （2）∵PA= PC ∴P為AC的垂直平分線上，依題意，AC的垂直平分線經(jīng)過（-1．2）（1．0） 所在的直線為y=－x+1 解得： ∴P1（）P2（） （3）D為E關(guān)于對稱軸x=1.5對稱 CD所在的直線y=－x+3 ∴yQ=4.5 ∴Q（-1.5．4.5） 最大值為QC== 【點(diǎn)評】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識，用到了待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．難度較大． 13. 已知頂點(diǎn)為A(1,

41、5)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(5,1). (1)求拋物線的解析式; (2)如圖(15.1),設(shè)C,D分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長的 （3）在（2）中，當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，作直線CD.設(shè)點(diǎn)P(x,y)(x>0)是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖（15.2）所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ. ①當(dāng)△PBR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí),求x的取值范圍； ②在①的條件下，記△PBR與△COD的公共部分的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。 【解題思路】用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，從而進(jìn)一步解決問題。 【答案】解

42、：⑴.設(shè)以A(1,5)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為 ∵的圖像經(jīng)過了點(diǎn)B(5,5) ∴ 解得 ∴ 即： ⑵. 如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn),與y軸交與點(diǎn)D,作點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn),與x軸交與點(diǎn)C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長最小。 ∵A(1,5),B(5,1) ∴ ∴ ⑶.①如圖 ∵ ∴直線AB的解析式為 ∴直線與直線的交點(diǎn) ∵，點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn) ∴ ∵△PBR與直線CD有公共點(diǎn)， ∴，即 【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、四邊形等知識的綜合運(yùn)用。難度較大。 22