[高二數(shù)學(xué)]數(shù)學(xué)選修2-2 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第 一 章 階 段 復(fù) 習(xí) 課 及 時(shí) 回 顧 基 礎(chǔ) 有 助 于 提 升 學(xué) 科 綜 合 素 養(yǎng) 。 本 欄 目 精 心 梳 理單 元 主 干 基 礎(chǔ) 知 識(shí) ， 系 統(tǒng) 全 面 、 層 次 清 晰 ， 便 于 快 速 回 顧 、 高效 理 解 ， 以 達(dá) 事 半 功 倍 之 目 的 。 一 、 變 化 率 與 導(dǎo) 數(shù)1.函 數(shù) 的 變 化 率(1)相 關(guān) 概 念 :定 義 實(shí) 例 作 用平均變化率 函 數(shù) y=f(x)從 x1到 x2的 平均 變 化 率 為簡(jiǎn) 記 作 : 平 均 速 度 ; 曲 線 割 線 的斜 率 . 刻 畫 函 數(shù) 值 在區(qū) 間 x 1,x2上 變 化 的 快 慢 .2 12 1f(x ) f(x ) ,x xy.x 定 義 實(shí) 例 作 用瞬時(shí)變化率 函 數(shù) y=f(x)在 x=x0處 的 瞬時(shí) 變 化 率 是 函 數(shù) f(x)從 x0到 x0+ x的 平 均 變 化 率 在 x趨 近 于 0時(shí) 的 極 限 ,即 瞬 時(shí) 速 度 ; 曲 線 的 切 線的 斜 率 . 刻 畫 函 數(shù) 值 在x0點(diǎn) 附 近 變 化的 快 慢 . 0 0 x 0 x 0f x x f xlim xylim .x (2)有 關(guān) 說 明 : 瞬 時(shí) 變 化 率 是 平 均 變 化 率 的 極 限 . 函 數(shù) 變 化 率 的 絕 對(duì) 值 的 大 小 說 明 了 函 數(shù) 增 減 的 快 慢 .絕 對(duì) 值越 大 ， 函 數(shù) 增 減 得 越 快 ， 從 圖 象 上 看 表 現(xiàn) 為 曲 線 的 陡 緩 程 度 ，絕 對(duì) 值 越 大 ， 圖 象 越 陡 . 2.導(dǎo) 數(shù)函 數(shù) y=f(x)在 x=x0處 的 瞬 時(shí) 變 化 率 是我 們 稱 其 為 函 數(shù) y=f(x)在 x=x0處 的 導(dǎo) 數(shù) ，記 作 f (x0)或 即 0 0 x 0 x 0 f x x f xylim limx x ，0 x xy | ， 0 00 x 0 x 0 f x x f xyf (x ) lim lim .x x 3.函 數(shù) y f(x) 的 導(dǎo) 函 數(shù)當(dāng) x=x0時(shí) ,f (x0)是 一 個(gè) 確 定 的 數(shù) ,當(dāng) x變 化 時(shí) ,f (x)是 x的 一個(gè) 函 數(shù) ,我 們 稱 它 為 f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) (簡(jiǎn) 稱 導(dǎo) 數(shù) ).y=f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) 有 時(shí) 也 記 作 y ,即 f (x)=y = x 0 f x x f xlim .x 【 辨 析 】 導(dǎo) 數(shù) 與 導(dǎo) 函 數(shù) 的 關(guān) 系(1)函 數(shù) 在 某 點(diǎn) 處 的 導(dǎo) 數(shù) 是 一 個(gè) 定 值 ， 是 函 數(shù) 在 該 點(diǎn) 附 近 的 函數(shù) 值 的 改 變 量 與 自 變 量 的 改 變 量 的 比 值 的 極 限 ， 不 是 變 量 .(2)函 數(shù) 的 導(dǎo) 函 數(shù) ： 是 針 對(duì) 某 一 區(qū) 間 內(nèi) 任 一 點(diǎn) x而 言 的 .(3)函 數(shù) f(x)在 x0處 的 導(dǎo) 數(shù) 就 是 導(dǎo) 函 數(shù) f (x)在 x=x0處 的 函 數(shù) 值 . 二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計(jì) 算1.基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式(1)(c) =0， (c為 常 數(shù) ).(2)(x ) = x -1( Q*).(3)(sinx) =cosx.(4)(cosx) =-sinx.(5)(ax) =axlna(a0且 a 1).(6)(e x) =ex.(7)(logax) = (a0且 a 1).(8)(lnx) = 1xlna1 .x 2.導(dǎo) 數(shù) 運(yùn) 算 法 則(1)法 則 : f(x) g(x) =f (x) g (x). f(x) g(x) =f (x) g(x)+f(x) g (x). 2f x f x g x f x g x g x 0 .g x g x (2)關(guān) 于 導(dǎo) 數(shù) 運(yùn) 算 法 則 的 幾 點(diǎn) 認(rèn) 識(shí) : 牢 記 公 式 的 形 式 f(x) g(x) f (x)g (x), 避 免 與 f(x)+g(x) =f (x)+g (x)混 淆 . 若 c為 常 數(shù) ， 則 c f(x) =c f (x). f x f x g x 0 ,g x g x 3.復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo)(1)定 義 ： 一 般 地 ， 對(duì) 于 兩 個(gè) 函 數(shù) y=f(u)和 u=g(x)， 如 果 通 過變 量 u， y可 以 表 示 成 x的 函 數(shù) ， 那 么 稱 這 個(gè) 函 數(shù) 為 函 數(shù) y=f(u)和 u=g(x)的 復(fù) 合 函 數(shù) .記 作 y=f(g(x).(2)復(fù) 合 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則由 y=f(u)和 u=g(x)復(fù) 合 的 復(fù) 合 函 數(shù) y=f(g(x)的 導(dǎo) 數(shù)y =f (u) g (x) 三 、 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 導(dǎo) 數(shù)1.導(dǎo) 數(shù) 與 函 數(shù) 單 調(diào) 性函 數(shù) y=f(x)在 某 個(gè) 區(qū) 間 (a,b)內(nèi) 可 導(dǎo) ， 如 果 f (x) 0， 則y=f(x)在 這 個(gè) 區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ； 如 果 f (x) 0， 則 y=f(x)在這 個(gè) 區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 遞 減 . 2.討 論 函 數(shù) 單 調(diào) 性 應(yīng) 注 意 的 問 題(1)在 利 用 導(dǎo) 數(shù) 來 討 論 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 時(shí) ， 首 先 要 確 定 函 數(shù) 的定 義 域 ， 解 決 問 題 的 過 程 只 能 在 定 義 域 內(nèi) 通 過 討 論 導(dǎo) 數(shù) 的 符 號(hào)來 判 斷 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .(2)一 般 利 用 使 導(dǎo) 數(shù) 等 于 零 的 點(diǎn) 來 分 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .(3)如 果 一 個(gè) 函 數(shù) 具 有 相 同 單 調(diào) 性 的 單 調(diào) 區(qū) 間 不 止 一 個(gè) ， 那 么這 些 單 調(diào) 區(qū) 間 之 間 不 能 用 “ ” 連 接 ， 而 只 能 用 “ ， ” 或 “ 和 ”字 隔 開 . (4)注 意 在 某 一 區(qū) 間 內(nèi) f (x) 0(或 f (x) 0)是 函 數(shù) f(x)在該 區(qū) 間 上 為 增 (或 減 )函 數(shù) 的 充 分 不 必 要 條 件 ， 而 不 是 充 要 條 件(例 如 ， f(x)=x3).(5)如 果 函 數(shù) 在 某 個(gè) 區(qū) 間 內(nèi) 恒 有 f (x)=0， 則 f(x)為 常 數(shù) 函 數(shù) .(6)利 用 導(dǎo) 數(shù) 的 符 號(hào) 判 斷 函 數(shù) 的 增 減 性 ， 這 是 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義在 研 究 曲 線 變 化 規(guī) 律 中 的 一 個(gè) 應(yīng) 用 ， 它 充 分 體 現(xiàn) 了 數(shù) 形 結(jié) 合 思想 .(7)若 在 某 區(qū) 間 上 有 有 限 個(gè) 點(diǎn) 使 f (x)=0， 在 其 余 的 點(diǎn) 恒 有f (x) 0， 則 f(x)在 該 區(qū) 間 上 仍 為 增 函 數(shù) . 【 辨 析 】 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系若 函 數(shù) f(x)可 導(dǎo) ， 其 導(dǎo) 數(shù) 與 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 的 關(guān) 系 如 下 ， 以 增 函數(shù) 為 例 來 說 明 ：(1)f (x)0能 推 出 f(x)為 增 函 數(shù) ， 但 反 之 不 一 定 ,即 f (x)0是 f(x)為 增 函 數(shù) 的 充 分 不 必 要 條 件 .(2)f (x) 0時(shí) ， f (x)0是 f(x)為 增 函 數(shù) 的 充 要 條 件 .(3)f(x)為 增 函 數(shù) 的 充 要 條 件 為 f (x) 0且 f (x)不 恒 為 0. 四 、 函 數(shù) 的 極 值 、 最 值 與 導(dǎo) 數(shù)1.可 導(dǎo) 函 數(shù) 的 極 值(1)定 義 ： 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 點(diǎn) x0附 近 有 定 義 ， 且 對(duì) x0附 近 的 所 有點(diǎn) x都 有 f(x0)f(x)(或 f(x0)f(x)， 則 稱 f(x0)為 函 數(shù) 的 一 個(gè)極 大 (小 )值 ,稱 x0為 極 大 (小 )值 點(diǎn) . (2)極 值 中 的 幾 個(gè) 注 意 問 題可 導(dǎo) 函 數(shù) 的 極 值 點(diǎn) 一 定 是 其 導(dǎo) 數(shù) 為 0的 點(diǎn) ， 反 之 ， 導(dǎo) 數(shù) 為 0的 點(diǎn)不 一 定 是 該 函 數(shù) 的 極 值 點(diǎn) ， 所 以 導(dǎo) 數(shù) 為 0是 該 點(diǎn) 為 極 值 點(diǎn) 的 必要 條 件 ， 其 充 分 條 件 還 需 要 再 添 加 “ 該 點(diǎn) 兩 側(cè) 的 導(dǎo) 數(shù) 異 號(hào) ” .舉 例 如 下 ： 導(dǎo) 數(shù) 為 0的 點(diǎn) 是 極 值 點(diǎn) ： f(x)=x2,f (0)=0,x=0是 極 小 值 點(diǎn) ; 導(dǎo) 數(shù) 為 0的 點(diǎn) 不 是 極 值 點(diǎn) ： f(x)=x 3,f (0)=0,x=0不 是 極 值點(diǎn) . 2.函 數(shù) 的 最 大 值 與 最 小 值(1)設(shè) y f(x)是 定 義 在 區(qū) 間 a ,b 上 的 函 數(shù) ， y f(x)在(a ,b)內(nèi) 可 導(dǎo) ， 則 函 數(shù) y f(x)在 a ,b 上 一 定 有 最 大 值與 最 小 值 ， 但 在 開 區(qū) 間 內(nèi) 不 一 定 有 最 大 值 與 最 小 值 ,如 函 數(shù)f(x)= 在 (0,+ )內(nèi) 連 續(xù) ， 但 沒 有 最 大 值 與 最 小 值 .(2)y=f(x)在 區(qū) 間 a， b 上 的 最 值 ， 會(huì) 在 極 值 點(diǎn) 處 或 端 點(diǎn) 處取 得 . 1x 【 辨 析 】 函 數(shù) 的 極 值 與 最 值(1)極 值 是 一 個(gè) 局 部 概 念 ： 由 定 義 可 知 ， 極 值 只 是 某 個(gè) 點(diǎn) 的 函數(shù) 值 與 它 附 近 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 比 較 是 最 大 還 是 最 小 ， 并 不 意 味 著 它在 函 數(shù) 的 整 個(gè) 定 義 域 內(nèi) 是 最 大 或 是 最 小 .最 值 是 一 個(gè) 整 體 概 念 ，函 數(shù) 的 最 值 是 比 較 整 個(gè) 定 義 域 內(nèi) 的 函 數(shù) 值 得 出 的 最 大 值 或 最 小值 . (2)函 數(shù) 的 極 值 不 是 惟 一 的 ,即 一 個(gè) 函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 間 上 的 極 大值 或 極 小 值 可 以 不 止 一 個(gè) ， 函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 間 上 的 最 大 值 、 最小 值 均 最 多 各 有 一 個(gè) .(3)極 大 值 與 極 小 值 之 間 無 確 定 的 大 小 關(guān) 系 ,即 一 個(gè) 函 數(shù) 的 極 大值 未 必 大 于 極 小 值 ， 函 數(shù) 的 最 大 值 一 定 不 小 于 它 的 最 小 值 .(4)函 數(shù) 的 極 值 點(diǎn) 一 定 出 現(xiàn) 在 區(qū) 間 的 內(nèi) 部 ， 區(qū) 間 的 端 點(diǎn) 不 能 成為 極 值 點(diǎn) ， 函 數(shù) 的 最 值 點(diǎn) 可 能 在 區(qū) 間 內(nèi) 部 ， 也 可 能 在 區(qū) 間 的 端點(diǎn) 處 . 五 、 生 活 中 的 優(yōu) 化 問 題 舉 例1.導(dǎo) 數(shù) 在 實(shí) 際 生 活 中 的 應(yīng) 用主 要 有 以 下 幾 個(gè) 方 面 ：(1)與 幾 何 有 關(guān) 的 最 值 問 題 (面 積 和 體 積 等 的 最 值 ).(2)與 物 理 學(xué) 有 關(guān) 的 最 值 問 題 (功 和 功 率 等 的 最 值 ).(3)與 利 潤(rùn) 及 其 成 本 有 關(guān) 的 最 值 問 題 .(4)效 率 最 值 問 題 . 2.解 決 優(yōu) 化 問 題 的 一 般 思 路 與 步 驟思 路 ： 步 驟 ：(1)審 題 :閱 讀 理 解 文 字 表 達(dá) 的 題 意 ,分 清 條 件 和 結(jié) 論 ,找 出 問 題的 主 要 關(guān) 系 .(2)建 模 :將 文 字 語 言 轉(zhuǎn) 化 成 數(shù) 學(xué) 語 言 ,利 用 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) ,建 立 相 應(yīng)的 數(shù) 學(xué) 模 型 .(3)解 模 :把 數(shù) 學(xué) 問 題 化 為 常 規(guī) 問 題 ,選 擇 合 適 的 數(shù) 學(xué) 方 法 求 解 .(4)對(duì) 結(jié) 果 進(jìn) 行 驗(yàn) 證 評(píng) 估 ,定 性 、 定 量 分 析 ,得 出 正 確 的 判 斷 ,確定 其 答 案 . 六 、 定 積 分 的 概 念1.曲 邊 梯 形在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 由 曲 線 y=f(x)， 直 線 x=a， x=b及 x軸 所 圍 成的 圖 形 稱 為 曲 邊 梯 形 .求 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)對(duì) 應(yīng) 的 曲 邊 梯 形 面 積 S的 方 法 ：(1)分 割 .(2)近 似 代 替 .(3)求 和 .(4)取 極 限 . 2.定 積 分 的 概 念如 果 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 a,b 上 連 續(xù) ， 用 分 點(diǎn) a=x0 x1x2 xi 0,那 么 函 數(shù) y=f(x)在 這 個(gè)區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ;如 果 f (x)0(或 者 f (x)0時(shí) ,y=f(x)在 相 應(yīng) 的 區(qū) 間 內(nèi) 是 單 調(diào) 遞 增 函 數(shù) ;當(dāng) f (x)0時(shí) ,y=f(x)在 相 應(yīng) 的 區(qū) 間 內(nèi) 是 單 調(diào) 遞 減 函 數(shù) . 【 例 2】 (2012 東 營 模 擬 )已 知 函 數(shù) f(x)=(ax2-x)lnx- ax2 x， (a R).(1)當(dāng) a=0時(shí) ， 求 曲 線 y=f(x)在 (e,f(e)處 的 切 線 方 程 ；(2)求 函 數(shù) f(x)的 單 調(diào) 區(qū) 間 . 12 【 解 析 】 (1)當(dāng) a=0時(shí) ， f(x)=x-xlnx,f (x)=-lnx,所 以 f(e)=0,f (e)=-1,所 以 曲 線 y=f(x)在 (e,f(e)處 的 切 線 方 程 為 y=-x+e.(2)函 數(shù) f(x)的 定 義 域 為 (0,+ )，f (x)=(2ax-1)lnx+(ax2-x) -ax+1=(2ax-1)lnx, 當(dāng) a 0時(shí) ， 2ax-1 0,在 (0,1)上 f (x) 0,在 (1,+ )上f (x) 0,所 以 f(x)在 (0,1)上 單 調(diào) 遞 增 ， 在 (1， + )上 單 調(diào) 遞 減 ；1x 當(dāng) 0 a 時(shí) ， 在 (0， 1)和 ( + )上 f (x) 0,在 (1, )上 f (x) 0,所 以 f(x)在 (0， 1)和 ( + )上 單 調(diào)遞 增 ， 在 (1， )上 單 調(diào) 遞 減 ； 當(dāng) a= 時(shí) ， 在 (0， + )上 f (x) 0且 僅 有 f (1)=0,所 以f(x)在 (0,+ )上 單 調(diào) 遞 增 ； 當(dāng) a 時(shí) ， 在 (0, )和 (1,+ )上 f (x) 0,在 ( 1)上 f (x) 0,所 以 f(x)在 (0, )和 (1， + )上 單 調(diào) 遞 增 ， 在( 1)上 單 調(diào) 遞 減 . 12 1 ,2a12a 1 ,2a12a1212 12a 1 ,2a12a1 ,2a 三 、 利 用 導(dǎo) 數(shù) 研 究 函 數(shù) 的 極 值 (最 值 ) 利 用 導(dǎo) 數(shù) 求 極 值 (最 值 )是 高 中 數(shù) 學(xué) 最 重 要 的 題 型 之 一 ,也 是高 考 命 題 的 一 個(gè) 熱 點(diǎn) .利 用 導(dǎo) 數(shù) 研 究 函 數(shù) 的 極 值 (最 值 )問 題 的 具體 步 驟 為 :(1)求 函 數(shù) 的 定 義 域 ;(2)求 導(dǎo) 數(shù) f (x)；(3)求 方 程 f (x)=0的 全 部 實(shí) 根 ;(4)列 表 ,檢 查 f (x)在 方 程 f (x)=0的 根 左 、 右 兩 側(cè) 的 值 的 符 號(hào) ;(5)判 斷 極 值 (最 值 ). 【 例 3】 (2012 江 蘇 高 考 )若 函 數(shù) y=f(x)在 x=x0處 取 得 極 大 值或 極 小 值 ， 則 稱 x0為 函 數(shù) y=f(x)的 極 值 點(diǎn) .已 知 a， b是 實(shí) 數(shù) ， 1和 -1是 函 數(shù) f(x)=x3+ax2+bx的 兩 個(gè) 極 值 點(diǎn) (1)求 a和 b的 值 ；(2)設(shè) 函 數(shù) g(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) g (x)=f(x)+2， 求 g(x)的 極 值 點(diǎn) ；(3)設(shè) h(x)=f(f(x)-c， 其 中 c -2,2 ， 求 函 數(shù) y=h(x)的 零點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 【 解 析 】 (1)由 f(x)=x3+ax2+bx得 f (x)=3x2+2ax+b,又 因 1和 -1是 函 數(shù) f(x)=x3+ax2+bx的 兩 個(gè) 極 值 點(diǎn) ，所 以 3x2+2ax+b=0的 兩 個(gè) 根 為 1和 -1,由 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 得 1+(-1)= a=0,1 (-1)= b=-3,所 以 a 0， b 3,此 時(shí) f(x)=x3-3x.2a3b3 (2)由 g (x)=f(x)+2得 g (x)=x3+ax2+bx+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2).當(dāng) x -2時(shí) (x-1)2(x+2) 0(等 號(hào) 在 x=1時(shí) 成 立 )即 g (x) 0， 此 時(shí) 函 數(shù) g(x)單 調(diào) 遞 增 .當(dāng) x -2時(shí) (x-1)2(x+2) 0即 g (x) 0，此 時(shí) 函 數(shù) g(x)單 調(diào) 遞 減 .所 以 x=-2是 函 數(shù) g(x)的 極 小 值 點(diǎn) . (3)求 函 數(shù) y=h(x)的 零 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 即 求 f(f(x)=c的 實(shí) 根 個(gè) 數(shù) ,由 f3(x)-3f(x)=c得 到 ,當(dāng) c=2時(shí) ,f(x)=-1或 2,f(x)=-1有 3個(gè) 解 ,f(x)=2有 2個(gè) 解 ,故 函 數(shù) y=h(x)的 零 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 為 5;當(dāng) c=-2時(shí) ,同 理 可 得 ,函 數(shù) y=h(x)的 零 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 為 5;當(dāng) -2 c 2時(shí) ,f(x)有 3個(gè) 解 ,分 別 是 t 1 (-2,-1),t2 (-1,1),t3 (1,2),由 于 f(x)=ti各 有 3個(gè) 解 ， 所 以 函 數(shù) y=h(x)的 零 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 為 9. 四 、 定 積 分 及 其 應(yīng) 用 運(yùn) 用 定 積 分 的 幾 何 意 義 計(jì) 算 平 面 區(qū) 域 的 面 積 ,首 先 要 畫 出 已知 曲 線 圍 成 的 區(qū) 域 ,選 擇 積 分 函 數(shù) ,確 定 積 分 上 下 限 . 定 積 分 的 簡(jiǎn) 單 應(yīng) 用 (1)求 曲 邊 梯 形 的 面 積 ; (2)勻 變 速 運(yùn) 動(dòng) 的 路 程 公 式 .做 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) 的 物 體 所 經(jīng) 過 的路 程 s,等 于 其 速 度 函 數(shù) v=v(t)(v(t) 0)在 時(shí) 間 區(qū) 間 a,b 上 的定 積 分 ,即 bas v t dt, (3)變 力 做 功 公 式 一 物 體 在 變 力 F(x)(單 位 :N)的 作 用 下 做 直 線 運(yùn) 動(dòng) ,如 果 物 體 沿著 與 F相 同 的 方 向 ,從 x=a移 動(dòng) 到 x=b(a0得 到 x 或 x 令 f (x)0有 x 因 此 原 函 數(shù) 的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為(- , )和 ( + )； 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 為 ( ).3 313 13 ，13 1 ,313 1 ,3 1 ,3 13 (2)f (x)=3x2-1， P1(x1, -x1)，f (x1)=3x12-1， 因 此 過 點(diǎn) P1的 切 線 方 程 為 ： 即由 得 x3-x=所 以 x=x1或 x=-2x1， 故 x2=-2x1， 進(jìn) 而 有用 x 2代 替 x1， 重 復(fù) 上 面 的 計(jì) 算 ， 可 得 x3=-2x2和 S2=又 x2=-2x1 0， S2= 0， 因 此 有 31x 2 31 1 1 1y 3x 1 x x x x ， 2 31 1y 3x 1 x 2x ， 2 31 13y 3x 1 x 2xy x x 2 31 13x 1 x 2x , 1 1112x 2x3 2 3 4 2 2 3 41 1 1 1 1 x 1x 1 3 27S | x 3x x 2x dx | | ( x x x 2x x)| | x4 2 4 ，4227 x4 ，4127 16 x4 12S 1 .S 16 1.函 數(shù) f(x)=(x-3)ex的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 ( )(A)(- ,2) (B)(0,3)(C)(1,4) (D)(2,+ )【 解 析 】 選 D.f (x)=(x-2)ex.令 f (x) 0， 則 x 2，故 函 數(shù) 的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 (2,+ ). 2.函 數(shù) f(x)= x3-x2+7的 極 大 值 是 ( )(A)7 (B)-7 (C)3 (D)-3【 解 析 】 選 A.f (x)=x2-2x=x(x-2)，所 以 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 (- ,0)上 為 增 函 數(shù) ， 在 區(qū) 間 (0， 2)上 為減 函 數(shù) ， 在 區(qū) 間 (2， + )上 為 增 函 數(shù) ， 則 f(x)極 大 值 =f(0)=7.13 3.已 知 a， b為 正 實(shí) 數(shù) ， 函 數(shù) f(x)=ax3+bx+2x在 0,1 上 的 最大 值 為 4， 則 f(x)在 -1,0 上 的 最 小 值 為 _.【 解 析 】 f (x)=3ax2+b+2xln2 0, 函 數(shù) 在 區(qū) 間 -1,1 上 是 增 函 數(shù) ，由 題 意 ， f(x)在 0， 1 上 的 最 大 值 為 4， f(1)=a+b+2=4, a+b=2,f(x)在 -1,0 上 的 最 小 值 為 f(-1)=-a-b+2 -1=答 案 ： 3.232 4.計(jì) 算【 解 析 】答 案 ： 1 x1 2x e dx _. 1 x 2 x 1 11 12x e dx x e | e .e 1e e 5.已 知 函 數(shù) f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c R,a 0)，(1)若 函 數(shù) y=f(x)的 圖 象 經(jīng) 過 點(diǎn) O(0,0)， P(-1,0)， 求 函 數(shù)y=f(x)的 單 調(diào) 區(qū) 間 ；(2)若 a=b=1時(shí) ， 函 數(shù) y=f(x)與 直 線 y=2的 圖 象 有 兩 個(gè) 不 同 的 交點(diǎn) ， 求 c的 值 . 【 解 析 】 (1)把 點(diǎn) P(-1， 0)代 入 y=f(x)得 -a+b+c=0,又 c=0,故a=b,由 f (x)=3ax2+2ax=ax(3x+2)=0,得 x1=0,x2=故 當(dāng) a 0時(shí) ， f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 (- , ),(0,+ )， 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是 ( 0)，當(dāng) a 0時(shí) ， f(x)的 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是 (- , ),(0,+ )，單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 ( 0). 2,3232,3 232,3 (2)當(dāng) a=b=1時(shí) ， f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 (- , ),(0,+ )， 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是 ( 0).故 當(dāng) x= 時(shí) ， f(x)的 極 大 值 為當(dāng) x=0時(shí) ， f(x)的 極 小 值 為 f(0)=c,要 使 函 數(shù) y=f(x)與 直 線 y=2的 圖 象 有 兩 個(gè) 不 同 的 交 點(diǎn) ，則 必 須 滿 足故 c= 或 2. 232,323 2 8 4f( ) c,3 27 9 8 4 c 2 c 2,27 9 或5027 6.設(shè) 函 數(shù) f(x)=a2lnx-4x,g(x)=bx2(a 0,b 0,a,b R),(1)當(dāng) b= 時(shí) ， 函 數(shù) h(x)=f(x)+g(x)在 x=1處 有 極 小 值 ， 求 函 數(shù)h(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 ；(2)若 函 數(shù) f(x)和 g(x)有 相 同 的 極 大 值 ， 且 函 數(shù) p(x)=f(x)+ 在 區(qū) 間 1,e2 上 的 最 大 值 為 -8e， 求 實(shí) 數(shù) b的 值 (其 中 e是 自 然對(duì) 數(shù) 的 底 數(shù) ).32 g xx 【 解 析 】 (1)b= h(x)=a2lnx-4x+ x2,h (x)= -4+3x, h (1)=a2-1=0,a2=1, h(x)=lnx-4x+ x2,h (x)= -4+3x= 0,得 x 1或 0 x 所 以 h(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 (0, )和 (1,+ ).3,2 322ax 321x 23x 4x 1x 1,3 13 (2)函 數(shù) g(x)的 極 大 值 為 0， 且 b 0,而 f (x)= -4,令 f (x)=0 x= f(x)在 (0, )上 單 調(diào) 遞增 ,在 ( + )上 單 調(diào) 遞 減 .所 以 f(x)極 大 值 =f( )=a2ln -a2=0 a2=4e,則 p(x)=4elnx-4x+bx,根 據(jù) 題 意 得 p(1)=-4+b -8e b 4-8e,p (x)= 令 p (x)=0 x= 4-b 8e, x 所 以 函 數(shù) p(x)在 1， e 2 上 單 調(diào) 遞 減 ， p(x)最 大 值 =p(1)=-4+b=-8e,得 b=4-8e. 2ax 2a ,4 2a42a ,4 2a4 2a4 4e 4 b x ,x 4e ,4 b1 ,2