2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布學(xué)案.doc

2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布學(xué)案最新考綱考情考向分析1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念2.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義3.會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡單問題.以理解均值與方差的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，考查二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的均值與方差掌握均值與方差、正態(tài)分布的性質(zhì)和求法是解題關(guān)鍵高考中常以解答題形式考查、難度為中等偏上.Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱D(X)(xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)，x(，)，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)(>0，R)我們稱函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的均值，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布()(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)()題組二教材改編2P68A組T1已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4C1 D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.3P68A組T5甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_答案乙解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，E(Y)<E(X)乙技術(shù)好4P75B組T2已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X>2c1)P(X<c3)，則c_.答案解析XN(3,1)，正態(tài)曲線關(guān)于x3對(duì)稱，且P(X>2c1)P(X<c3)，2c1c332，c.題組三易錯(cuò)自糾5已知隨機(jī)變量X8，若XB(10,0.6)，則E()，D()分別是()A6,2.4 B2,2.4C2,5.6 D6,5.6答案B解析由已知隨機(jī)變量X8，所以8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.6設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)的概率是，則等于()A1 B2C4 D不能確定答案C解析當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)時(shí)，164<0，即>4，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)的概率是時(shí)，4.題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差典例 某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A).(2)依題意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的分布列為X123P所以E(X)123.命題點(diǎn)2已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值典例 設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E()，D()，求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()222，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.思維升華 離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求參數(shù)值可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值(3)由已知條件，作出對(duì)兩種方案的判斷可依據(jù)均值、方差的意義，對(duì)實(shí)際問題作出判斷跟蹤訓(xùn)練 (xx青島一模)為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與均值E()，方差D()解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)離開的概率分別為，.兩人都付0元的概率為P1，兩人都付40元的概率為P2，兩人都付80元的概率為P3，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3.(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，的可能取值為0,40,80,120,160，則P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160).所以的分布列為04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用典例 計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤為5 000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？解(1)依題意，得p1P(40<X<80)0.2，p2P(80X120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二項(xiàng)分布可知，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p34430.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000.安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)80X120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 00028009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X>120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)思維升華 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定跟蹤訓(xùn)練 (xx貴州調(diào)研)某投資公司在xx年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300150PE(X1)300(150)200.若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資題型三正態(tài)分布的應(yīng)用典例 (xx全國)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的均值；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值 ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值 ，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除( 3 ， 3 )之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z<3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.E(X)160.002 60.041 6.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的()由9.97，s0.212，得的估計(jì)值為 9.97，的估計(jì)值為 0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查剔除( 3 ， 3 )之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.979.22)10.02.因此的估計(jì)值為10.02.160.2122169.9721 591.134.剔除( 3 ， 3 )之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計(jì)值為0.09.思維升華 解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x0.跟蹤訓(xùn)練 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 6，P(2<Z<2)0.954 4.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，即ZN(200,12.22)從而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 6.由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題典例 (12分)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過模擬兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由規(guī)范解答解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.依題意，得P(X60)，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.2分依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X60)，P(X20)，故X的分布列為X2060P4分所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)206040.5分(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以，先尋找均值為60的可能方案對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100P7分X1的均值為E(X1)206010060，X1的方差為D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.9分對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080P10分X2的均值為E(X2)40608060，X2的方差為D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.12分求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值；第二步：求每一個(gè)可能取值所對(duì)應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：根據(jù)均值、方差進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論(適用于均值、方差的應(yīng)用問題)；第六步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范性1(xx太原模擬)隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E(X)，則D(X)的值是()A. B.C. D.答案B解析abc1.又2bac，故b，ac.由E(X)，得ac，故a，c.D(X)222.故選B.2(xx浙江)已知隨機(jī)變量i滿足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0p1p2，則()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)答案A解析由題意可知i(i1,2)服從兩點(diǎn)分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，又0p1p2，E(1)E(2)，把方差看作函數(shù)yx(1x)，函數(shù)在上為增函數(shù)，由題意可知，D(1)D(2)故選A.3.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A2 386 B2 718C3 413 D4 772答案C解析由XN(0,1)知，P(1X1)0.682 6，P(0X1)0.682 60.341 3，故S0.341 3.落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)x的估計(jì)值為(古典概型)，x10 0000.341 33 413，故選C.4若XB(n，p)，且E(X)6，D(X)3，則P(X1)的值為()A322 B24C3210 D28答案C解析由題意知解得P(X1)C113210.5設(shè)隨機(jī)變量XN(，2)，且X落在區(qū)間(3，1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等，若P(X>2)p，則P(0<X<2)等于()A.p B1pC12p D.p答案D解析由X落在(3，1)內(nèi)的概率和落在(1,3)內(nèi)的概率相等得0.又P(X>2)p，P(2<x<2)12p，P(0<X<2)p.6某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為()A0.9 B0.8 C1.2 D1.1答案A解析由題意得X0,1,2，則P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X)10.520.20.9.7(xx全國)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_.答案1.96解析由題意得XB(100,0.02)，D(X)1000.02(10.02)1.96.8馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的分布列如下表：x123P(x)？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的均值盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.答案2解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1x2(12x)3xx24x3x2.9已知當(dāng)XN(，2)時(shí)，P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4，則_.答案0.021 5解析由題意，1，1，P(3<X4)P(2<X4)P(1<X3)(0.997 40.954 4)0.021 5.10隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.答案解析設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()01.11(xx天津)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率解(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的均值E(X)0123.(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.12(xx全國名校名師原創(chuàng)聯(lián)考)汽車租賃公司為了調(diào)查A，B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：A型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420201615105(1)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A，B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；(2)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；(3)試寫出A，B兩種車型的出租天數(shù)的分布列及均值；如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種車型中購買一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，建議應(yīng)該購買哪一種車型，并說明你的理由解(1)這輛汽車是A型車的概率約為P0.6，故這輛汽車是A型車的概率為0.6.(2)設(shè)“事件Ai表示一輛A型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”，“事件Bj表示一輛B型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”，其中i，j1,2,3，7，則該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)，故該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為.(3)設(shè)X為A型車出租的天數(shù)，則X的分布列為X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02設(shè)Y為B型車出租的天數(shù)，則Y的分布列為X1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.一輛A類車型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，B類車型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.48天，故選擇A類型的出租車更加合理13某班有50名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90100)0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?10分以上的人數(shù)為_答案10解析由題意知，P(>110)0.2，該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?10分以上的人數(shù)為0.25010.14一個(gè)不透明的盒子中關(guān)有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共11只，現(xiàn)在盒子上開一小孔，每次只能飛出1只昆蟲(假設(shè)任意1只昆蟲等可能地飛出)若有2只昆蟲先后任意飛出(不考慮順序)，則飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.(1)求盒子中蜜蜂有幾只；(2)若從盒子中先后任意飛出3只昆蟲(不考慮順序)，記飛出蜜蜂的只數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與均值E(X)解(1)設(shè)“2只昆蟲先后任意飛出，飛出的是蝴蝶或蜻蜓”為事件A，設(shè)盒子中蜜蜂為x只，則由題意，得P(A)，所以(11x)(10x)42，解得x4或x17(舍去)，故盒子中蜜蜂有4只(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，則X的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列為X0123P均值E(X)0123.15(xx黃岡調(diào)研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對(duì)6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來確定哪一只受到了感染下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)(1)求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；(2)若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和均值解(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰好含有病毒DNA，此種情況的概率為；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA，再從中逐個(gè)化驗(yàn)，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為.所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為.(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為(單位：元)，則的可能取值為10,18,24,30,36.P(10)，P(18)，P(24)，P(30)，P(36)，則化驗(yàn)費(fèi)的分布列為1018243036P所以E()1018243036(元)16(xx江蘇)已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的均值，證明：E(X)<.(1)解編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為p.(2)證明隨機(jī)變量X的分布列為XP隨機(jī)變量X的均值為E(X).所以E(X)<(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)<.