2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第十三章 導(dǎo)數(shù)13.3 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用教案 （理） 新人教A版.doc

2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第十三章 導(dǎo)數(shù)13.3 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用教案 （理） 新人教A版鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可解決比較大小、極值問(wèn)題、單峰函數(shù)的最值問(wèn)題. 2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問(wèn)題. 3.利用導(dǎo)數(shù)解決物體的運(yùn)動(dòng)速度問(wèn)題. 二、點(diǎn)擊雙基1.某物體作s=2(1-t)2的直線運(yùn)動(dòng)，則t=0.8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為( )A.4 B.-4 C.-4.8 D.-0.8解析:s=-4(1-t),當(dāng)t=0.8 s時(shí)，v=-0.8.答案:D2.函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則( )A.b>0 B.b< C.0<b< D.b<1解析:f(x)=3x2-6b,令f(x)=0，得x=b. f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，0<b<1.0<b<.答案:C3.函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值與最小值之和為a,則a的值為( )A. B. C.2 D.4解析:f(x)=axlna+logae. x0,1, 當(dāng)a>1時(shí),axlna+logae>0. f(x)為增函數(shù). 當(dāng)0<a<1時(shí),axlna+logae<0, f(x)為減函數(shù). f(0)+f(1)=a. a=.答案:B4.已知曲線y=x3+,則過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程是_.解析:y=x2,當(dāng)x=2時(shí),y=4. 切線的斜率為4. 切線的方程為y-4=4(x-2)， 即y=4x-4.答案:4x-y-4=05.設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為_(kāi).解析:設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,則高為h=, S表=3x+2x2=+x2. S=-+x. 令S=0，得x=.答案:誘思實(shí)例點(diǎn)撥【例1】設(shè)x>-2,nN*,比較(1+x)n與1+nx的大小.剖析:從條件最易想到歸納猜想證明，但證明由n=k到n=k+1時(shí)，(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)過(guò)渡到(1+x)k時(shí)不等方向不確定，故需按1+x的符號(hào)討論證明.但本題若用導(dǎo)數(shù)解就比較簡(jiǎn)單了.解:設(shè)f(x)=(1+x)n-1-nx, 當(dāng)n=1時(shí)，f(x)=0, (1+x)n=1+nx. 當(dāng)n2，nN*時(shí), f(x)=n(1+x)n-1-n=n(1+x)n-1-1, 令f(x)=0,得x=0. 當(dāng)-2<x<0時(shí)，f(x)<0,f(x)在(-2,0)上為減函數(shù)； 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0. f(x)在0,+上為增函數(shù). 當(dāng)x>-2時(shí)，f(x)f(0)=0. (1+x)n1+nx. 綜上,得(1+x)n1+nx.講評(píng):構(gòu)造函數(shù)法是比較兩個(gè)多項(xiàng)式的大小或證明不等式常用的方法.鏈接拓展 本題可用歸納猜想證明法解. 當(dāng)n=1時(shí)，(1+x)1=1+x. 當(dāng)n=2時(shí)，(1+x)2=1+2x+x21+2x. 當(dāng)n=3時(shí)，(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)1+3x. 猜想:(1+x)n1+nx. 證明:當(dāng)x-1時(shí)， (1)當(dāng)n=1時(shí)，(1+x)n1+nx成立. (2)假設(shè)n=k時(shí)，(1+x)k1+kx成立， 那么(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x. 當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+x)n1+nx成立. 由(1)(2)可知，當(dāng)x-1時(shí)，對(duì)nN*，(1+x)n1+nx. 當(dāng)-2<x<-1時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，(1+x)n=1+x；當(dāng)n2時(shí)，|1+x|<1. |1+x|n<1.而1+nx<1-n-1, (1+x)n>1+nx. 綜上,得(1+x)n1+nx正確.【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)M(-1,f(-1)處的切線方程為x+2y+5=0.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.剖析:(1)f(1)即為x+2y+5=0的斜率,從而得出一個(gè)關(guān)于a、b的關(guān)系式.點(diǎn)M(-1,f(-1)在切線上,又得出一個(gè)關(guān)于a、b的等量關(guān)系式.從而可求出a、b. (2)利用導(dǎo)數(shù)可求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M(-1,f(-1)處的切線方程為x+2y+5=0,知 -1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f(-1)=-. f(x)=, 即 解得a=2,b=3(b+10,b=-1舍去). 所求的函數(shù)解析式是f(x)=. (2)f(x)=. 令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2,x2=3+2. 當(dāng)x<3-2或x>3+2時(shí),f(x)<0; 當(dāng)3-2<x<3+2時(shí),f(x)>0. 所以f(x)=在(-,3-2)內(nèi)是減函數(shù),在(3-2,3+2)內(nèi)是增函數(shù),在(3+2,+)內(nèi)是減函數(shù).講評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【例3】 用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架.如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.解:設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m,則另一邊長(zhǎng)為(x+0.5) m,高為 =3.2-2x(m). 設(shè)容積為y m3, 則y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6), 整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6x. 所以y=-6x2+4.4x+1.6. 令y=0, 即-6x2+4.4x+1.6=0, 所以15x2-11x-4=0. 解得x=1或x=-(不合題意,舍去). 從而在定義域(0,1.6)內(nèi)只有x=1處使得y=0. 由題意,若x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近1.6)時(shí),y值很小(接近0). 因此,當(dāng)x=1時(shí),y有最大值且ymax=-2+2.2+1.6=1.8, 此時(shí),高為3.2-21=1.2. 答:容器的高為1.2 m時(shí),容積最大,最大容積改為1.8 m3.講評(píng):在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)點(diǎn)使f(x)=0,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么這點(diǎn)是使函數(shù)取最大(小)值的點(diǎn).這所說(shuō)的區(qū)間不僅適用于閉區(qū)間,也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.【例4】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a0.(1)若b=2,且函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N.證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.(1)解:b=2時(shí),h(x)=lnx-ax2-2x, 則h(x)=-ax-2=-. 因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h(x)<0有解. 又因?yàn)閤>0,則ax2+2x-1>0有x>0的解. 當(dāng)a>0時(shí),y=ax2+2x-1為開(kāi)口向上的拋物線,ax2+2x-1>0總有x>0的解; 當(dāng)a<0時(shí),y=ax2+2x-1為開(kāi)口向下的拋物線,而ax2+2x-1>0有x>0的解, 則=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根,此時(shí),-1<a<0. 綜上所述,a的取值范圍為(-1,0)(0,+).(2)證明:設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2),0<x1<x2, 則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為x=, C1在點(diǎn)M處的切線斜率為k1=, C2在點(diǎn)N處的切線斜率為k2=ax+b=+b. 假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行,則k1=k2, 即=+b. 則=(x22-x12)+b(x2-x1) =(x22+bx2)-(x12+bx1) =y2-y1=lnx2-lnx1. 所以ln=. 設(shè)t=,則lnt=,t>1. 令r(t)=lnt-,t>1, 則r(t)=-=. 因?yàn)閠>1時(shí),r(t)>0,所以r(t)在1,+上單調(diào)遞增. 故r(t)>r(1)=0.則lnt>. 這與矛盾,假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.講評(píng):本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù),分類討論的思想,以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及切線問(wèn)題.