《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)(2)教案 新人教A版必修1.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)(2)教案 新人教A版必修1.doc(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)(2)教案 新人教A版必修1
教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能
(1)使學(xué)生理解函數(shù)的最值是在整個(gè)定義域上來(lái)研究的,它是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.
(2)啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.
2.過(guò)程與方法
(1)通過(guò)滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育.
(2)探究與活動(dòng),明白考慮問(wèn)題要細(xì)致,說(shuō)理要明確.
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀
理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等現(xiàn)象.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)最大(小)值的定義和求法.
教學(xué)難點(diǎn):如何求一個(gè)具體函數(shù)的最值.
導(dǎo)入新課
思路1.某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10 000 m2的矩形新廠址,新廠址的長(zhǎng)為x m,則寬為 m,所建圍墻y m,假如你是這個(gè)工廠的廠長(zhǎng),你會(huì)選擇一個(gè)長(zhǎng)和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y 最短?
學(xué)生先思考或討論,教師指出此題意在求函數(shù)y=2(x+),x>0的最小值.引出本節(jié)課題:在生產(chǎn)和生活中,我們非常關(guān)心花費(fèi)最少、用料最省、用時(shí)最省等最值問(wèn)題,這些最值對(duì)我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的.那么什么是函數(shù)的最值呢?這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題.用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這就是函數(shù)的思想,用函數(shù)解決問(wèn)題.
思路2.畫出下列函數(shù)的圖象,指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),并說(shuō)明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征?
①f(x)=-x+3;②f(x)=-x+3,x∈[-1,2];
③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2].
學(xué)生回答后,教師引出課題:函數(shù)的最值.
推進(jìn)新課
(1)如圖4所示是函數(shù)y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的圖象.觀察這三個(gè)圖象的共同特征.
圖4
(2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系?
(3)你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的?
(4)問(wèn)題(1)中,在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x,y),如圖5所示,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0),誰(shuí)能用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋:函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點(diǎn)C?
圖5
(5)在數(shù)學(xué)中,形如問(wèn)題(1)中函數(shù)y=f(x)的圖象上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)y=f(x)的最大值.誰(shuí)能給出函數(shù)最大值的定義?
(6)函數(shù)最大值的定義中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),這個(gè)不等式反映了函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)?其圖象又具有什么特征?
(7)函數(shù)最大值的幾何意義是什么?
(8)函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值嗎?為什么?
(9)點(diǎn)(-1,3)是不是函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高點(diǎn)?
(10)由問(wèn)題(9)你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方?
討論結(jié)果:(1)函數(shù)y=-x2-2x的圖象有最高點(diǎn)A,函數(shù)y=-2x+1,x∈[-1,+∞)的圖象有最高點(diǎn)B,函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點(diǎn)C.也就是說(shuō),這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn).
(2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的意義:橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小.
(3)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值.
(4)由于點(diǎn)C是函數(shù)y=f(x)圖象上的最高點(diǎn),則點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方,即對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是對(duì)函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
(5)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:
①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.
(6)f(x)≤M反映了函數(shù)y=f(x)的所有函數(shù)值不大于實(shí)數(shù)M;這個(gè)函數(shù)的特征是圖象有最高點(diǎn),并且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是M.
(7)函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).
(8)函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)沒(méi)有最大值,因?yàn)楹瘮?shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的圖象沒(méi)有最高點(diǎn).
(9)不是,因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域中沒(méi)有-1.
(10)討論函數(shù)的最大值,要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則;函數(shù)圖象上有最高點(diǎn)時(shí),這個(gè)函數(shù)才存在最大值,最高點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn).
(1)類比函數(shù)的最大值,請(qǐng)你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.
(2)類比上面問(wèn)題(9),你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么?
活動(dòng):讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義,利用定義來(lái)類比定義.最高點(diǎn)類比最低點(diǎn),不等號(hào)“≤”類比不等號(hào)“≥”.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值.
討論結(jié)果:(1)函數(shù)最小值的定義是:
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:
①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.
函數(shù)最小值的幾何意義:函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).
(2)討論函數(shù)的最小值,也要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則;函數(shù)圖象上有最低點(diǎn)時(shí),這個(gè)函數(shù)才存在最小值,最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn).
例1 求函數(shù)y=在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值.
活動(dòng):先思考或討論,再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒(méi)有證明思路時(shí),才提示:圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值,圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值.根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值.利用變換法畫出函數(shù)y=的圖象,只取在區(qū)間[2,6]上的部分.觀察可得函數(shù)的圖象是上升的.
解:設(shè)2≤x1
0,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函數(shù)y=在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù).
∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=在區(qū)間[2,6]上取得最大值f(2)=2;
當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)y=在區(qū)間[2,6]上取得最小值f(6)=.
變式訓(xùn)練
1.求函數(shù)y=x2-2x(x∈[-3,2])的最大值和最小值.
解:最大值是f(-3)=15,最小值是f(1)=-1.
2.函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是__________.
解析:(換元法)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.
設(shè)x2=t,y=t2+2t-1(t≥0),
又當(dāng)t≥0時(shí),函數(shù)y=t2+2t-1是增函數(shù),
則當(dāng)t=0時(shí),函數(shù)y=t2+2t-1(t≥0)取最小值-1.
所以函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是-1.
答案:-1
3.畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值.
分析:函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,先畫出y軸右側(cè)的圖象,再對(duì)稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來(lái)得函數(shù)的圖象;借助圖象,根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.
解:函數(shù)圖象如圖6所示.
圖6
由圖象得,函數(shù)的圖象在區(qū)間(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0]和(1,+∞)上是下降的,最高點(diǎn)是(1,4),
故函數(shù)在(-∞,-1),[0,1]上是增函數(shù);函數(shù)在[-1,0],(1,+∞)上是減函數(shù),最大值是4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及最值的求法.求函數(shù)的最值時(shí),先畫函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再用定義法證明,最后借助單調(diào)性寫出最值,這種方法適用于做解答題.
單調(diào)法求函數(shù)最值:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值;常用到下面的結(jié)論:①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c)上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c)上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).
例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少?(精確到1 m)
活動(dòng):可以指定一位學(xué)生到黑板上書寫,教師在下面巡視,并及時(shí)幫助做錯(cuò)的學(xué)生改錯(cuò).并對(duì)學(xué)生的板書及時(shí)評(píng)價(jià).將實(shí)際問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象求出最大值.“煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻”就是當(dāng)t取什么值時(shí)函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值;“這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1 m)”就是函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值;轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此時(shí)自變量t的值.
解:作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象,如圖7所示,
圖7
顯然,函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn),頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻,縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.
由二次函數(shù)的知識(shí),對(duì)于函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:
當(dāng)t=-=1.5時(shí),函數(shù)有最大值h=≈29.
即煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度約是29 m.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題,以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解應(yīng)用題的步驟是:①審清題意讀懂題;②將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決;③歸納結(jié)論.
注意:要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則;求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合.
變式訓(xùn)練
1.把長(zhǎng)為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是( )
A. cm2 B.4 cm2 C.3 cm2 D.2 cm2
解析:設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為x cm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4-x) cm,兩個(gè)三角形的面積和為S,則S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.當(dāng)x=2時(shí),S取最小值2 cm2.故選D.
答案:D
2.某超市為了獲取最大利潤(rùn)做了一番試驗(yàn),若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售時(shí),每天可銷售60件,現(xiàn)在采用提高銷售價(jià)格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn),已知這種商品每漲1元,其銷售量就要減少10件,問(wèn)該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取最大利潤(rùn),并求出最大利潤(rùn).
分析:設(shè)未知數(shù),引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立函數(shù)關(guān)系式,再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域,并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答.利潤(rùn)=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))銷售量.
解:設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí),利潤(rùn)為y元,則y=(x-8)[60-(x-10)10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16),
當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí),y有最大值160元,
即售價(jià)定為12元時(shí)可獲最大利潤(rùn)160元.
課本本節(jié)練習(xí)5.
[補(bǔ)充練習(xí)]
某廠xx年擬舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與去年促銷費(fèi)m(萬(wàn)元)(m≥0)滿足x=3-.已知xx年生產(chǎn)的固定投入為8萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)m(萬(wàn)元)的函數(shù);
(2)求xx年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值,此時(shí)促銷費(fèi)為多少萬(wàn)元?
分析:(1)年利潤(rùn)=銷售價(jià)格年銷售量-固定投入-促銷費(fèi)-再投入,銷售價(jià)格=1.5每件產(chǎn)品平均成本;(2)利用單調(diào)法求函數(shù)的最大值.
解:(1)每件產(chǎn)品的成本為元,故xx年的利潤(rùn)為
y=1.5x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3-)-m=28--m(萬(wàn)元)(m≥0).
(2)可以證明當(dāng)0≤m≤3時(shí),函數(shù)y=28--m是增函數(shù),當(dāng)m>3時(shí),函數(shù)y=28--m是減函數(shù),所以當(dāng)m=3時(shí),函數(shù)y=28--m取最大值21萬(wàn)元.
問(wèn)題:求函數(shù)y=的最大值.
解:(方法一)利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象,如圖8所示,
故圖象最高點(diǎn)是(-,).
圖8
則函數(shù)y=的最大值是.
(方法二)函數(shù)的定義域是R,
可以證明當(dāng)x<-時(shí),函數(shù)y=是增函數(shù);
當(dāng)x≥-時(shí),函數(shù)y=是減函數(shù).
則當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)y=取最大值,
即函數(shù)y=的最大值是.
(方法三)函數(shù)的定義域是R,
由y=,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R,∴關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0必有實(shí)數(shù)根.
當(dāng)y=0時(shí),關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0無(wú)實(shí)數(shù)根,即y=0不屬于函數(shù)的值域.
當(dāng)y≠0時(shí),則關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程,
則有Δ=(-y)2-4y(y-1)≥0.∴00時(shí),函數(shù)y=kx的最大值為f(b)=kb,最小值為f(a)=ka;當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)y=kx的最大值為f(a)=ka,最小值為f(b)=kb.
2.反比例函數(shù):y=(k≠0)在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在閉區(qū)間[a,b](ab>0)上存在最值,當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)y=的最大值為f(a)=,最小值為f(b)=;當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)y=的最大值為f(b)=,最小值為f(a)=.
3.一次函數(shù):y=kx+b(k≠0)在定義域R上不存在最值.在閉區(qū)間[m,n]上存在最值,當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)y=kx+b的最大值為f(n)=kn+b,最小值為f(m)=km+b;當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)y=kx+b的最大值為f(m)=km+b,最小值為f(n)=kn+b.
4.二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a≠0):
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=ax2+bx+c在定義域R上有最小值f(-)=,無(wú)最大值;
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=ax2+bx+c在定義域R上有最大值f(-)=,無(wú)最小值.
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況:
(1)若-<p,則f(x)在區(qū)間[p,q]上是增函數(shù),則f(x)min=f(p),f(x)max=f(q).
(2)若p≤-≤q,則f(x)min=f(-),此時(shí)f(x)的最大值視對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近而定:
①當(dāng)p≤-<時(shí),則f(x)max=f(q);
②當(dāng)=-時(shí),則f(x)max=f(p)=f(q);
③當(dāng)<-<q時(shí),則f(x)max=f(p).
(3)若-≥q,則f(x)在區(qū)間[p,q]上是減函數(shù),則f(x)min=f(q),f(x)max=f(p).
由此可見(jiàn),當(dāng)-∈[p,q]時(shí),二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(-);當(dāng)-?[p,q]時(shí),二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.
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