2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《立體幾何中的向量方法》教案 新人教A版選修2-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《立體幾何中的向量方法》教案 新人教A版選修2-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章立體幾何中的向量方法教案 新人教A版選修2-1空間距離利用向量方法求解空間距離問題,可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟,而轉(zhuǎn)化為向量間的計算問題例如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是AB、AD的中點,GC平面ABCD,且GC2,求點B到平面EFG的距離分析:由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直,可以由此建立空間直角坐標系用向量法求解,就是求出過B且垂直于平面EFG的向量,它的長即為點B到平面EFG的距離解:如圖,設(shè)4i,4j,2k,以i、j、k為坐標向量建立空間直角坐標系Cxyz由題設(shè)C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(xiàn)(4,2,0),G(0,0,2), ,設(shè)平面EFG,M為垂足,則M、G、E、F四點共面,由共面向量定理知,存在實數(shù)a、b、c,使得,(2a+4b,2b4c,2c)由平面EFG,得,于是,整理得:,解得(2a+4b,2b4c,2c)故點B到平面EFG的距離為說明:用向量法求點到平面的距離,常常不必作出垂線段,只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了例2已知正方體ABCD的棱長為1,求直線與AC的距離分析:設(shè)異面直線、AC的公垂線是直線l,則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段,所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解解:如圖,設(shè)i,j,k,以i、j、k為坐標向量建立空間直角坐標系xyz,則有,設(shè)n是直線l方向上的單位向量,則n,n,解得或取n,則向量在直線l上的投影為n由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知,直線與AC的距離為向量的內(nèi)積與二面角的計算 在高等代數(shù)與解析幾何課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中,講到幾何空間的內(nèi)積時,有一個例題(見1,p53)要求證明如下的公式: (1)其中點O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點,OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。, 。為二面角P-MN-Q(見圖1)。圖1 公式(1)可以利用向量的內(nèi)積來加以證明:以Q為坐標平面,直線MN為y軸,如圖1建立直角坐標系。 記xOz平面與平面P的交線為射線OD,則,得,。分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量,則。由計算知,的坐標分別為,于是,。公式(1)在立體幾何計算二面角的平面角時是有用的。我們來介紹如下的兩個應(yīng)用。例1立方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1,E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點。 求面EFG和面GHI的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示)。解 由于圖2中所畫的兩平面EFG和GHI只有一個公共點,沒有交線,所以我們可以將該立方體沿AB方向平移1個單位。這樣就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-(見圖3)。利用公式(1),只要知道了,和的大小,我們就能求出。圖2由已知條件,和均為等邊三角形,所以,而。因此,圖3,即。解得, 。當然,在建立了直角坐標系之后,通過計算向量的外積可計算出兩平面的法向量,利用法向量同樣也可算出夾角來。例2計算正十二面體的兩個相鄰面的夾角的大小。解 我們知道正十二面體的每個面都是大小相同的正五邊形,且在正十二面體的每個頂點上均有3個面圍繞。設(shè)P和Q是兩個相鄰的面,MN是它們的交線(如圖4),則公式(1)中的,分別為:, , ,因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以。圖4所以,由公式(1)知,或。因此,或。 如果不使用公式(1),要求出例2中的夾角的大小在計算上要復(fù)雜很多。利用例2的結(jié)果,我們可以容易地計算出單位棱長正十二面體的體積V。設(shè)單位棱長正十二面體的中心為O,則該十二面體可以切割成十二個全等的正五棱錐,每個五棱錐以該多面體的一個面為底面、以O(shè)為其頂點。設(shè)該正五棱錐為,從而可知:。再設(shè)的底面積為S、高為h,設(shè)為單位邊長正五邊形(即的底)的中心,A、B為該五邊形的兩個相鄰的頂點,H為AB的中點,則, , 。仍設(shè)為正十二面體兩相鄰面的夾角,則。所以。但是,從而 ,或