《結構力學》第七章力法.ppt

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1,,第七章 力 法,,2,7—2 超靜定次數的確定,7—3 力法的基本概念,7—4 力法的典型方程,7—6 對稱性的利用,7—5 力法的計算步驟和示例,7—7 超靜定結構的位移計算,7—9 溫度變化時超靜定結構的計算,7—10 支座移動時超靜定結構的計算,7—13 超靜定結構的特性,7—8 最后內力圖的校核,,,,,,,,,,,,,力 法,,,,7—1 概述,第七章 力 法,3,,7—1 概 述,1. 靜定結構與超靜定結構,靜定結構：,超靜定結構：,,?,A,B,C,P,,?,,P,全部反力和內力只用平衡條件便可確 定的結構。,僅用平衡條件不能確定全部反力和 內力的結構。,,A,B,,P,,HA,,VA,,RB,VA,,,HA,,RB,,RC,外力超靜定問題,內力超靜定問題,力 法,,,,返 回,4,,,?,P,A,?,B,C,,P,,↙,↗,,↙,↗,,,,2 . 超靜定結構在幾何組成上的特征,多余聯系與多余未知力的選擇。,是幾何不變且具有“多余”聯系（外部或內部）。,多余聯系：,這些聯系僅就保持結構的幾何不變 性來說，是不必要的。,多余未知力：,多余聯系中產生的力稱為多余未 知力（也稱贅余力）。,此超靜定結構有一個多余聯 系，既有一個多余未知力。,此超靜定結構有二個多余聯 系，既有二個多余未知力。,,,力 法,,,,返 回,5,,,3. 超靜定結構的類型,（1）超靜定梁; （2）超靜定桁架； （3）超靜定拱；,,⑶,⑷,⑸,4. 超靜定結構的解法,求解超靜定結構，必須 綜合考慮三個方面的條件:,（1）平衡條件； （2）幾何條件； （3）物理條件。,具體求解時，有兩種基本(經典)方法—力法和位移法。,（4）超靜定剛架；,（5）超靜定組合結構。,力 法,,,,返 回,6,7—2 超靜定次數的確定,1. 超靜定次數：,2 .確定超靜定次數的方法:,解除多余聯系的方式通 常有以下幾種：,（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個聯系。,,,↓,↑,（2）拆開一個單鉸，相當 于去掉兩個聯系。,,用力法解超靜定結構時，首先必須確定多余聯系 或多余未知力的數目。,,↓,↑,←,→,多余聯系或多余未知力的個數。,采用解除多余聯系的 方法。,力 法,,,,返 回,7,3. 在剛結處作一切口， 或去掉一個固定端，相當 于去掉三個聯系。,,,←,→,?,?,↓,↑,4. 將剛結改為單鉸聯 結，相當于去掉一個聯系。,,,?,?,應用上述解除多余 聯系(約束)的方法，不難 確定任何 超靜定結構的 超靜定次數。,X2,X2,力 法,,,,返 回,8,,3. 例題:確定圖示結構的超靜定次數（n）。,,,,,←,←,→,→,↓,↓,↑,↑,?,←,→,?,n=6,,,,←,→,↓,↑,←,→,?,?,←,,n=37=21,對于具有較多框格的結構，可 按 框格的數目確定，因為一個封 閉框格，其 超 靜定次數等于三。 當結構的框格數目為 f ,則 n=3f 。,力 法,,,,返 回,9,7—3 力法的基本概念,首先以一個簡單的例子，說明力法的思路和基本概 念。討論如何在計算靜定結構的基礎上，進一步尋求計 算超靜定結構的方法。,,A,B,EI,,,,L,1判斷超靜定次數： n=1,〓,q,q,↑,A,B,原結構,,,2. 確定(選擇)基本結構。,3寫出變形(位移)條件:,〓,↑,,,,,,,,,(a),(b),q,基本結構,?,根據疊加原理，式（a） 可寫成,力 法,,,,返 回,10,,,↑,,,L,,,,,將,代入(b)得,4 .建立力法基本方程,(7—1),5. 計算系數和常數項,6. 將?11、 ?11代入力法方程式(7-1)，可求得,A,B,EI,,,,L,q,(b),此方程便為一次超靜定結 構的力法方程。,=,,EI,1,,,2,L,2,3,2L,?11=,?11x1,=,,EI,1,,,2,qL,2,4,3L,,_,(,,3,1,L,),多余未知力x1求出后，其余反力、內力的計算都是靜定問題。利用已繪出 的,,M1圖,和MP圖按疊加法繪M圖。,,,,,q,力 法,,,,返 回,11,結 論,象上述這樣解除超靜定結構的多余聯系而 得到靜定的基本結構，以多余未知力作為基本未 知量，根據基本結構應與原結構變形相同而建立 的位移條件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡條件計算其余反力、內力的方法，稱為力法。,力法整個計算過程自始至終都是在基本結構 上進行的，這就把超靜定結構的計算問題，轉化 為已經熟悉的靜定結構的內力和位移的計算問題。,力 法,,,,返 回,12,7—4 力法的典型方程,1. 三次超靜定問題的力法方程,用力法計算超靜定結構的關鍵，是根據位移條件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超靜定結構為例進行推導。,,A,B,↓,P,首先選取基本結構（見圖b）,,→,X1,?,X2,A,B,↓,P,↑,X3,基本結構的位移條件為：,△1=0 △2=0 △3=0,,設當,和荷載 P 分別作用在結構上時，,A點的位移,,沿X1方向：,沿X2方向：,沿X3方向：,據疊加原理，上述位移條件可寫成,原結構,基本結構,△1=,,（7—2）,（a）,（b）,?11,?21、?22、?23和△2P ；,?31、?32、?33和△3P 。,△2=?21X1+?22X2+?23X3+△2P=0 △3=?31X1+?32X2+?33X3+△3P=0,?11X1,+?12X2,+?13X3,+△1P,=0,、?12,、?13,和△1P ；,力 法,,,,返 回,13,2. n次超靜定問題的力法典型(正則)方程,對于n次超靜定結構,有n個多余未知力，相應也有 n個位移條件，可寫出n個方程,?11X1+ ?12X2+ … + ?1iXi+ … + ?1nXn+△1P=0,,（7—3）,這便是n次超靜定結構的力法典型(正則)方程。式中 Xi為多余未知力， ?i i為主系數，?i j(i≠j)為副系數, △iP 為常數項（又稱自由項）。,?11X1+?12X2+?13X3+△1P=0,,（7—2）,?21X1+?22X2+?23X3+△2P=0 ?31X1+?32X2+?33X3+△3P=0,……………………………………………………………,……………………………………………………………,?i 1X1+ ?i 2X2+ … + ?i iXi+ … + ?i nXn+△iP=0,?n1X1+ ?n2X2+ … + ?niXi+ … + ?nnXn+△nP=0,力 法,,,,返 回,14,3. 力法方程及系數的物理意義,（1）力法方程的物理意義為：,（2）系數及其物理意義： 下標相同的系數 ?i i 稱為主系數(主位移)，它是單位 多余未知力,單獨作用時所引起的沿其自身方向上 的位移，其值恒為正。,系數 ?i j(i≠j)稱為副系數(副位移)，它是單位多余未知力,單獨作用時所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能為正、為負或為零。據位移互等定理，有,?i j= ?j i,△i P稱為常數項(自由項)它是荷載單獨作用時所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能為正、為負或為零。,上述方程的組成具有規(guī)律性，故稱為力法典型方程。,基本結構在全部多余 未知力和荷載共同作用下，基本結構沿多余未知力方向 上的位移，應與原結構相應的位移相等。,力 法,,,,返 回,15,4. 力法典型(正則)方程系數和自由項的計算,典型方程中的各項系數和自由項，均是基本結構在 已知力作用下的位移，可以用第七章的方法計算。對于 平面結構，這些位移的計算公式為,,對不同結構選取不同項計算。系數和自由項求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。,力 法,,,,返 回,16,7—5 力法的計算步驟和示例,1. 示例,,P,A,B,C,I1,I2=2I1,,,,a,,,,,?,n=2(二次超靜定),原,選擇基本結構如圖示,P,A,C,?,,B,?,基,X1,?,X2,力法典型方程為：,?11X1,計算系數和常數項，為 此作,?,,a,,?,,a,,,a,,計算結果如下,,(a),a,?21X1 + ?22X2+△2P=0,+ ?12X2,+△1P=0,,2EI1,1,,2,a2,,3,2a,=,,6EI1,a3,,,2EI1,1,,2,a2,a,=,,4EI1,a3,力 法,,,,返 回,17,,,a,,,a,,,,a,P,?,,,,將以上各系數代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得,,解聯立方程得,多余未知力求得后其余反力、內力的計算便是靜定問題。,,例如,,,,,,,,最后內力圖的繪制用疊加法,15/88Pa,M圖,13/88Pa,?,P,A,B,C,3/88Pa,a,,MAC=,a,.,,11,4P,+,a(,,,88,3P,),,,2,Pa,力 法,,,,返 回,18,2 .力法的計算步驟,（1）確定原結構的超靜定次數。 （2）選擇靜定的基本結構(去掉多余聯系， 以多余未知力代替)。 （3）寫出力法典型方程。 （4）作基本結構的各單位內力圖和荷載內力 圖，據此計算典型方程中的系數和自由項。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按疊加法作內力圖。,力 法,,,,返 回,19,例 7—1 用力法分析兩端固定的梁，繪彎矩圖。EI=常數。,,?,A,B,,,,L,,,,a,,b,P,解：,n=3,選取簡支梁為基本結構,?,P,?,X1,?,X2,?,X3,基本結構,典型方程為,?11X1+ ?12X2+ ?13X3+△1P=0 ?21X1+ ?22X2+ ?23X3+△2P=0 ?31X1+ ?32X2+ ?33X3+△3P=0,?,,,1,?,,,1,?,MP圖,,,P,?,3=0,故,?13= ?31= ?23= ?32= △3P=0,則典型方程第三式為,?33X3=0,?33≠0(因X3的解唯一),故,作基本結構各,和MP圖,由于,X3=0,,,,,,M圖,,,,,,,,,,,,,?11X1+ ?12X2+△1P=0 ?21X1+ ?22X2+△2P=0,由圖乘法求得,代入典型方程(消去公因子)得,解得,,代入典型方程解得,作彎矩圖。,按式,,,,,,力 法,,,,返 回,20,例 7—2 用力法計算圖示桁架內力，設各桿EA相同。,,解：,n=1(一次超靜定)。,0,1,2,3,4,?,?,P,P,,,,,,2a,2a,,,,a,選擇基本結構如圖示。,0,1,2,3,4,?,?,P,P,,?,?,X1,基本結構,寫出力法典型方程,?11X1+△1P=0,按下列公式計算系數和自由項,為此，求出基本結構的,和NP值,0,1,2,3,4,,?,?,X1=1,,,-1/2,對稱,0,1,2,3,4,?,?,P,P,,NP,,,+P/2,對稱,0,列表計算(見書137頁)后得,EA?11=(3+,) a,EA△1P=－Pa,力 法,,,,返 回,21,,0,1,2,3,4,,?,?,X1=1,,,-1/2,對稱,0,1,2,3,4,?,?,P,P,,NP,,,+P/2,對稱,0,0,1,2,3,4,?,?,P,P,N,對稱,代入典型方程，解得,各桿內力按式,疊加求得。,－0.586P,－0.828P,+0.414P,+0.172P,例如,N03=0.7070.172P -0.707Ｐ =－0.586P,=0.172P,力 法,,,,返 回,22,7—6 對稱性的利用,用力法分析超靜定結構，結構的超靜定次數愈高， 計算工作量就愈大，主要工作量是組成(計算系數、常數 項)和解算典型方程。利用結構的對稱性可使計算得到簡 化。簡化的原則是使盡可能多的副系數、自由項等于零。,結構的對稱性：,例如：,,EI1,EI1,EI2,,,,,,a,,a,對稱,EI1,EI1,,對稱,指結構的幾何形狀、約束、剛度和 荷載具有對稱性(正對稱或反對稱)。正對稱簡稱對稱。,力 法,,,,返 回,23,1. 選取對稱的基本結構,,EI1,EI1,EI2,,對稱軸,,基本結構,,?,?,?,?,X1,X2,X3,?,多余未知力X1、X2是 正對稱，X3是反對稱的。,基本結構的各單位彎 矩圖(見圖)。,,,,←,→,,,,,,,,,,,,?,?,,,,?,?,?,,,,,,,,,,,、,是正對稱，,是反對稱。,則,?13= ?31= ?23= ?32=0,于是， 力法典型方程簡 化為,,?11X1+?12X2+△1P=0 ?21X1+?22X2+△2P=0 ?33X3+△3P=0,,下面就對稱結構作進一步討論。,力 法,,,,返 回,24,（1）對稱結構作用對 稱荷載,,,↓,↓,,a,,a,P,P,↓,↓,P,P,MP圖,,,,,,,,,,,MP圖是正對稱的，故△3P=0。,?11X1+?12X2+△1P=0 ?21X1+?22X2+△2P=0 ?33X3+△3P=0,,則 X3=0 。,這表明：對稱的超靜定結構，在對稱的荷載作用下， 只有對稱的多余未知力，反對稱的多余未知力必為零。,,,↓,↓,,a,,a,P,P,↓,↓,P,P,MP圖,,,,,,,,,,,（2）對稱結構作用反 對稱荷載,MP圖是反對稱的，故,△1P= △2P=0,則得 X1=X2=0,這表明：對稱的超靜定結構，在反對稱的荷載作用下， 只有反對稱的多余未知力，對稱的多余未知力必為零。,,,力 法,,,,返 回,25,例 7—4 分析圖示剛架。,,?,?,10kN,10kN,,,,6m,,,,,6m,6m,,解：,這是一個對稱結構，為四次超靜定。,選取對稱的基本結構 如圖示，,?,?,,,?,?,X1,只有反對稱多余未知力X1,基,為計算系數和自由項分別作,和MP圖(見圖)。,,,,?,?,?,?,,,EI=常數,,3,,,,,3,,,,,,,,,圖,(m),10kN,MP圖 (kNm),,60,,,,60,,,,,,,,120,由圖乘法可得,EI?11=(1/2332) 4 +（363）2 =144,EI△1P=(3630+1/23 380) 2=1800,代入力法方程 ?11X1+△1P=0,X1=－,彎矩圖由,作出。,解得,力 法,,,,返 回,26,這樣，求解兩個多余未知 力的問題就轉變?yōu)榍蠼庑?的兩對多余未知力的問題。,當選基本結構為?時，,2. 未知力分組及荷載分組,（1）未知力分組,,A,B,?,P,?,X1,?,X2,?,P,?,為使副系數等于零，可采 取未知力分組的方法?。,?,?,?,P,?,?,Y1,Y1,Y2,Y2,?,有,X1=Y1+Y2 ，,X2=Y1－Y2,作,、M2圖。,?,?,,,,圖,?,?,,,,,,,,M2圖,正對稱,反對稱,故,,?12= ?21=0,典型方程化簡為,?11Y1+△1P=0 ?22Y2+△2P=0,,力 法,,,,返 回,27,（2）荷載分組,,當對稱結構承受一般非對稱荷載時，可以將荷 載分解為正、反對稱的兩組，分別求解然后疊加。,?,?,,若取對稱的基本 結構計算，在正對稱 荷載作用下將只有對 稱的多余未知力。,若取對稱的基本結構計算，在反對稱荷載作用下將 只有反對稱的多余未知力。,,P,,P,,2,,P,,2,,P,,2,,P,,2,,X1,?,,X1,?,X2,X2,,,?,?,,2,,P,,,2,P,,,2,P,,,2,P,力 法,,,,返 回,28,3.取一半結構計算,當結構承受正對稱或反對稱荷載時，也可以只截取結 構的一半進行計算，又稱為半剛架法。下面分別就奇數跨 和偶數跨兩種對稱剛架進行討論。,（1）奇數跨對稱剛架,,,↓,↓,p,p,對稱,,,,↓,p,,,二次超靜定,對稱荷載,反對稱荷載,↓,p,↑,p,,反對稱,,,,↓,p,,,。,,一次超靜定,力 法,,,,返 回,29,（2）偶數跨對稱剛架,對稱荷載,,↓,↓,p,p,,,對稱,↓,p,,,三次超靜定,反對稱荷載,↓,↑,p,p,,,,,I,↓,p,I/2,,,,三次超靜定,,?,↓,p,↑,p,I/2,I/2,↓,p,↑,p,I/2,I/2,?,C,QC,QC,?,力 法,,,,返 回,30,7—7 超靜定結構的位移計算,上一章所述位移計算的原理和公式，對超靜定結構也是適用的，下面以7—5的例題予以說明。,,求CB桿中點K的豎向位移△KY,,K,P=1,P,A,B,C,I1,I2=2I1,,,,a,,,,,?,原,虛擬狀態(tài)如圖,為了作,,,8/44a,,,,,3/44a,,,需解 算一個二次超靜定問題，較為麻煩。,,K,圖中所示的M圖 就是實際狀態(tài)。,基本結構的內力和位移與原結構完全 相同，則可以在基本結構上作,。,,K,P=1,,a/4,,,圖乘得,?,?,6/44a,(↓),,力 法,,,,返 回,31,結 論,綜上所述，計算超靜定結構位移的步驟是：,（1）解算超靜定結構，求出最后內力， 此為實際狀態(tài)。 （2）任選一種基本結構，加上單位力求 出虛擬狀態(tài)的內力。 （3）按位移計算公式或圖乘法計算所求 位移。,力 法,,,,返 回,32,,7—8 最后內力圖的校核,用力法計算超靜定結構，因步驟多易出錯，應注意 檢查。尤其是最后的內力圖，是結構設計的依據，應加 以校核。校核應從兩個方面進行。,1.平衡條件校核,取結構的整體或任何部分為隔離體，其受力應滿足 平衡條件。,（1）彎矩圖：通常檢查剛結點處是否滿足∑M=0的 平衡條件。例如,,取結點E為隔離體,,,E,?,MED,?,MEB,?,MEF,應有 ∑ME=MED+MEB+MEF=0,M圖,力 法,,,,返 回,33,（2）剪力圖和軸力圖,可取結點、桿件或結構的某一部分為隔離體，檢查 是否滿足 ∑X=0和 ∑Y=0的平衡條件。,2.位移條件校核,檢查各多余聯系處的位移是否與已知的實際位移相 符。對于剛架，可取基本結構的單位彎矩圖與原結構的 最后彎矩圖相乘，看所得位移是否與原結構的已知位移 相符。例如,,P,A,B,C,I1,I2=2I1,,,,a,,,,,?,原,檢查A支座的水 平位移 △1是否 為零。,將M圖與,相乘得,]=0,…,力 法,,,,返 回,34,7—9 溫度變化時超靜定結構的計算,對于超靜定結構，溫度變化時不但產生變形和位移， 同時產生內力。,用力法分析 超靜定 結構在溫度變化時產生的內力， 其原理與荷載作用下的計算相同。例如圖示剛架溫度發(fā) 生變化，選取基本結構（見圖），,,t1,t1,t2,t3,t1,t1,t2,t3,,?,X1,?,X2,?,X3,典型方程為,?11X1+?12X2+?13X3+△1t=0 ?21X1+?22X2+?23X3+△2t=0 ?31X1+?32X2+?33X3+△3t=0,其中系數的計算同前， 自由項△1t、 △2t、 △3t 分別為基本結構由于溫 度變化引起的沿X1、X2 X3方向的位移。即,力 法,,,,返 回,35,例7—6 剛架外側溫度升高25℃，內側溫度升高35℃， 繪彎矩圖并求橫梁中點的豎向位移。剛架EI=常數，截面 對稱于形心軸，其高度h=L/10,材料的膨脹系數為?。,,,,,,L,,,,L,+ 25℃,+35℃,解：,n=1,選取基本結構,,?,X1,基,+ 25℃,+35℃,典型方程為:,?11X1+△1t=0,計算,并繪制,圖,,?,1,圖,,L,,,L,0,0,-1,,求得系數和自由項為,,=,故得,=－230?L,…,,,,,,力 法,,,,返 回,36,按,,M圖,,,,,,,,作彎矩圖,求橫梁中點K的位移△K， 作基本結構虛擬狀態(tài)的,圖 并求出,，然后計算位移,,,,K,?,1,0,圖,,L/4,,,138?EI/L,－1/2,－1/2,力 法,,,,返 回,37,7—10 支座位移時超靜定結構的計算,超靜定結構當支座移動時，位移的同時將產 生內力。,對于靜定結構，支座移動時將使其產生位移， 但并不產生內力。例如,,A,B,C,,A,B,C,?,?,?,力 法,,,,返 回,38,用力法分析超靜定結構在支座移動時的內力，其原 理同前，唯一的區(qū)別僅在于典型方程中的自由項不同。,例如圖示剛架，,,A,B,,,,,,,h,,,,,L,a,,b,,?,可建立典型方程如下：,?11X1+?12X2+?13X3+△1△=0 ?21X1+?22X2+?23X3+△2△=－? ?31X1+?32X2+?33X3+△3△=－a,A,B,?,X1,?,X2,?,X3,基,式中系數的計算同前，自由項按式(6—15)計算。,最后內力按下式計算,在求位移時，應加上支座移動的影響：,⌒,,力 法,,,,返 回,39,例：7—7 兩端固定的等截面梁A端發(fā)生了轉角?，分析其內力。,,A,B,,,,L,,,?,解： n=3,選取基本結構如圖，,?,X1,?,X2,?,X3,基本結構,因X3=0,則典型方程為,?11X1+?12X2+△1△=－? ?21X1+?22X2+△2△=0,繪出,圖，,,,1,?,,,1,圖乘得,，,，,由題意知：△1t= △2t=0,將上 述結果代入方程后解得,按式,作彎矩圖。,,,,A,B,M圖,?,,?,,,,力 法,,,,返 回,40,7—11 用彈性中心法計算無鉸拱,拱是一種曲軸的推力結構，除三鉸拱外均是 超靜定的，超靜定拱有無鉸拱和兩鉸拱兩種形式。,一般說無鉸拱彎矩分布比較均勻，且構造簡單， 工程中應用較多，例如鋼筋混凝土拱橋和石拱橋，,,無鉸拱,兩鉸拱,,拱橋,,拱圈,隧道的混凝土拱圈等。,超靜定拱,,,,返 回,41,,因為超靜定結構的內力與變形有關，所以計 算超靜定拱之前，須事先確定拱軸線方程和截面 變化規(guī)律。,在初步計算時，常采用相應三鉸拱的合理拱 軸線作為超靜定拱的軸線，然后根據計算結果加 以修正，以盡量減小彎矩。拱截面的變化規(guī)律， 在拱橋設計中可采用下列經驗公式,（7—8）,,x,,y,,Ic,,,I,,x,,,,?,,,,L1=L/2,,L1,IK、?K,超靜定拱,,,,返 回,42,由式（7—8）有,可見n愈小，Ic與IK之比愈小，拱厚變化愈劇烈。 n的范圍一般為0.25~1。當取 n=1時，,為簡化計算常近似取,當拱高 f＜L/8時，因?角較小，可近似取,A=AC=常數,超靜定拱,,,,返 回,43,無鉸拱是三次超靜定結構。對稱無鉸拱在 計算時為簡化計算取對稱的基本結構。,,↓,P,,↓,P,?,?,x1,?,?,x2,?,?,x3,故副系數,?13= ?31=0 ?23= ?32=0,但仍有?12= ?21≠0,如果能設法使?12= ?21=0，則典型方程中的 全部副系數都為零，計算就更加簡化。這可以用 下述引用“剛臂”的辦法來達到目的。,超靜定拱,,,,返 回,44,,,EI=∞,↓,P,,?,?,x1,,,x2,?,?,x3,原結構,?,可以設想，對稱無鉸拱沿拱頂 截面切開后，在切口兩邊沿豎向引 出兩個剛度無窮大的伸臂——剛臂， 然后在兩剛臂下端將其剛結。,選取基本結構，,它是兩個帶剛 臂的懸臂梁，利用對稱性，并適當 選取剛臂的長度，便可以使典型方 程中全部副系數都等于零。,選取坐標，寫出各單位多余未 知力作用下基本結構的內力表達式。,,x,,（7—9）,,y,↓,P,超靜定拱,,,,返 回,45,,,?,?,x1,,,x2,?,?,x3,,x,,y,,（7—9）,式中：彎矩內側受拉為正，剪力以 繞隔離體順時針方向為正，軸力以 壓力為正。?為拱軸的弦切角，右半拱取正，左半拱取負。,由于多余未知力X1和X2是對稱的，X3是反對稱的， 故有,?13= ?31=0 ?23= ?32=0,超靜定拱,,,,返 回,46,?12= ?21,,,?,?,x1,,,x2,?,?,x3,,x,,y,,,,ys,,,y1,,,y,,K,令 ?12= ?21=0，可得,（7—10）,設想沿拱軸作寬度等于1/EI的圖形，則ds/EI 就代 表此圖形的微面積，式（7—10）就是計算這個圖形面 積的形心坐標的公式。,,,,x,,y,,,ys,o,,,,1/EI,,,,,y1,,,,,ds,由于此圖形 的面積與結構的彈性性質EI有 關,故稱它為彈性面積圖，它的 形心則稱為彈性中心。,超靜定拱,,,,返 回,47,由此可知，把剛臂端點引到彈性中心上，且 將X1、X3置于 x、y 軸方向上，就可以使全部副 系數都等于零。這一方法稱為彈性中心法。此時 典型方程簡化為：,?11X1+△1P=0 ?22X2+△2P=0 ?33X3+△3P=0,計算系數和自由項時，仍可采用直桿的位移計算 公式：,超靜定拱,,,,返 回,48,7—12 兩鉸拱及系桿拱,兩鉸拱是一次超靜定結構，,,↓,P,,,,L,,,,f,當其發(fā)生豎向位移時并不引起內 力，故在地基可能發(fā)生較大的不 均勻沉陷時易采用。兩鉸拱的彎 矩在兩拱趾處為零而逐漸向拱頂 增大，所以其截面一般也相應設 計為由拱趾向拱頂逐漸增大的形 式。通常采用的變化規(guī)律為：,（7—15）,A,B,C,為計算方便，當 f＜L/4時，可采用,當跨度不大時，也常做成等截面。,I=Iccos?,超靜定拱,,,,返 回,49,,↓,P,,,,L,,,,f,A,B,C,↓,P,計算兩鉸拱時，通常采用簡 支曲梁為基本結構，以支座的水 平推力X1為多余未知力。,,?,X1,典型方程為,?11X1+△1P=0,計算系數和自由項時，一般 略去剪力的影響，而軸力影 響僅 當f＜L/5 時才在?11中予以考慮。 因此有,,x,,y,,,,,x,,,y,,⌒,且,（7—16）,?,超靜定拱,,,,返 回,50,有時為了避免支座承受推力，可采用帶拉桿的兩鉸拱，也稱系鉸拱。,,拱的水平推力由系桿承受。 計算時以系桿的內力X1為 多余未知力。,,?,?,X1,,,,,x,,,y,,⌒,典型方程為：,?11X1+△1P=0,計算?11時，要考慮系桿軸 向變形的影響，即,EI、A,E1、A1,將,代入得,?,超靜定拱,,,,返 回,51,7—13 超靜定結構的特性,超靜定結構與靜定結構對比，具有以下一些重要特性：,1.由于存在多余聯系，當結構受到荷載外其他因素 影響，如溫度變化、支座移動時結構將產生內力。,2.超靜定結構的內力僅由平衡條件不能全部確定， 必須考慮變形條件，因此內力與桿件的剛度有關。,3.超靜定結構的多余聯系被破壞后，仍能維持幾何 不變，故有較強的防御能力。,4.超靜定結構由于存在多余聯系，一般地說要比相 應的靜定結構剛度大些，內力分布也均勻些。,力 法,,,返 回,