三 簡單曲線的極坐標方程

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1、 3、 極 坐 標 與 直 角 坐 標 的 互 化 公 式復 習1、 極 坐 標 系 的 四 要 素2、 點 與 其 極 坐 標 一 一 對 應 的 條 件極 點 ； 極 軸 ； 長 度 單 位 ； 角 度 單 位及 它 的 正 方 向 。 )0(tan,222 xxyyx sin,cos yx )2,0,0 2、 點 M ， 關 于 極 點 的 對 稱 點 為 ， + 3、 點 M ， 關 于 極 軸 的 對 稱 點 的 為 ， - 4、 極 坐 標 系 內 兩 點 的 距 離 公 式),(),( 2211 QP )cos(2|PQ| 21212221 復 習 曲 線 的 極 坐 標 方程一

2、 、 定 義 ： 如 果 曲 線 上 的 點 與 方 程f( , )=0有 如 下 關 系( )曲 線 上 任 一 點 的 坐 標 (所 有 坐 標中 至 少 有 一 個 )符 合 方 程 f( , )=0 ；( )方 程 f( , )=0的 所 有 解 為 坐 標 的點 都 在 曲 線 上 。 那 么 曲 線 的 方 程 是 f( , )=0 。 探 究如 圖 ， 半 徑 為 a的 圓 的 圓 心 坐 標 為(a,0)(a0)， 你 能 用 一 個 等 式 表 示圓 上 任 意 一 點 的 極 坐 標 (,)滿 足的 條 件 ？ xC(a,0)O 。 x a,0o。 ),( MA圓 經(jīng) 過

3、極 點 O,設 圓 和 極 軸 的 另一 個 交 點 是 A， 那 么 |OA|=2a,設 為 圓 上 除 點 O外 ， A以 外 的 任 意 一 點 ， 那 么 OM AM,在 Rt 中 , |OM|=|OA| ),( M AMO MOAcos即 cos2a (1)等 式 (1)是 圓 上 任 意 一 點 的 極 坐 標 滿 足 的 條 件 例 1 求 以 下 圓 的 極 坐 標 方 程( )中 心 在 極 點 ， 半 徑 為 2；( )中 心 在 (a,0)， 半 徑 為 a；( )中 心 在 (a, /2)， 半 徑 為 a；( )中 心 在 ( 0, )， 半 徑 為r。 2 2aco

4、s 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2思 考 圓 O的 半 徑 為 r， 建 立 怎 樣 的 坐 標 系 ，可 以 使 圓 的 極 坐 標 方 程 更 簡 單 ？ 練 習 1以 極 坐 標 系 中 的 點 (1,1)為 圓 心 ， 1為半 徑 的 圓 的 方 程 是 . 2cos . 2sin4 4 . 2cos 1 . 2sin 1A BC D C 5 3cos 5sin 已 知 一 個 圓 的 方 程 是 求 圓 心 坐思 考 ： 標 和 半 徑 。2 2 2 2 25 3cos 5sin5 3 cos 5 sin 5 3 55 3 5 ( ) ( ) 252 2

5、5 3 5( , ), 52 2x y x y x y 解 ： 兩 邊 同 乘 以 得 即 化 為 直 角 坐 標 為 即所 以 圓 心 為 半 徑 是你 可 以 用 極 坐 標 方 程 直 接 來 求 嗎 ？ 3 110(cos sin ) 10cos( )2 2 6(5, ), 56 解 ： 原 式 可 化 為所 以 圓 心 為 半 徑 為 O a aaa此 圓 過 極 點 圓 的 極 坐 標 方 程 為 半 徑 為圓 心 為 論結 )cos(2)0)(,( 方 程 是 什 么 ？ 化 為 直 角 坐 標、 曲 線 的 極 坐 標 方 程 sin41 4)2( 22 yx圓 的 圓 心 距

6、 是 多 少 ？ 的 兩 個和、 極 坐 標 方 程 分 別 是 sincos2 1cos ( ,0)2sin cos( ) cos( )2 21 2sin ( , ),2 2 2 解 ： 圓 圓 心 的 坐 標 是圓圓 的 圓 心 坐 標 是 所 以 圓 心 距 是題 組 練 習 2 3 cos( )4 、 極 坐 標 方 程 所 表 示 的曲 線 是 A、 雙 曲 線 B、 橢 圓 C、 拋 物 線 D、 圓D 為 半 徑 的 圓 。為 圓 心 ，以 解 ： 該 方 程 可 以 化 為21)4,21( )4cos( 41)42()42( 02222 sin22cos22 4 sinsin4

7、coscos 2222 2 yx yxyx 即解 ： 4 10cos( )3 、 圓 的 圓 心 坐 標 是)0,5(、A )3,5( 、B )3,5( 、C )32,5( 、D C5 (2, )2A 、 寫 出 圓 心 在 點 處 且 過 極 點 的 圓 的極 坐 標 方 程 ， 并 把 它 化 成 直 角 坐 標 方 程 。 22 2 2 24cos( ) 4sin2 4 sin4 ( 2) 4x y y x y 解 ： 化 為 直 角 坐 標 系 為 即 21 26 : 2cos , : 2 3 sin 2 0,C C 、 已 知 圓 圓試 判 斷 兩 圓 的 位 置 關 系 。所 以

8、兩 圓 相 外 切 。 半 徑 為， 圓 心 半 徑 為圓 心 坐 標 方 程 為解 ： 將 兩 圓 都 化 為 直 角2 1)3,0(1)3(: 1)0,1(,1)1(: 21 2222 1221 OO OyxC OyxC 7 8cosO C ONON 、 從 極 點 作 圓 ： 的 弦 ，求 的 中 點 的 軌 跡 方 程 。O NM C(4,0)(4,0),4, 4cosCr OCCM M ONCM ONM 解 ： 如 圖 ， 圓 的 圓 心半 徑連 結 ， 是 弦 的 中 點所 以 ， 動 點 的 軌 跡 方 程 是 化 為 直 角 坐 標 方 程 。把 極 坐 標 方 程練 習 co

9、s2 48 16483 16844 )4(442 4cos2 22 222 22 yxx xxyx xx 兩 邊 平 方 得 ：即 解 ： 方 程 可 化 為 *小 結 *1. 曲 線 的 極 坐 標 方 程 概 念2. 怎 樣 求 曲 線 的 極 坐 標 方 程3. 圓 的 極 坐 標 方 程 新 課 引 入 ：思 考 ： 在 平 面 直 角 坐 標 系 中1、 過 點 (3,0)且 與 x軸 垂 直 的 直 線 方 程為 ;過 點 (3,3)且 與 x軸 垂 直 的 直線 方 程 為 x=3 x=32、 過 點 a,b 且 垂 直 于 x軸 的 直 線方 程 為 _x=a特 點 ： 所 有

10、 點 的 橫 坐 標 都 是 一 樣 ，縱 坐 標 可 以 取 任 意 值 。 答 ： 與 直 角 坐 標 系 里 的 情 況 一 樣 ， 求曲 線 的 極 坐 標 方 程 就 是 找 出 曲 線 上 動點 的 坐 標 與 之 間 的 關 系 ， 然 后 列出 方 程 (,)=0 ， 再 化 簡 并 討 論 。怎 樣 求 曲 線 的 極 坐 標 方 程 ？ 例 題 1： 求 過 極 點 ， 傾 角 為 的 射 線的 極 坐 標 方 程 。 4o M x 4分 析 ：如 圖 ， 所 求 的 射 線上 任 一 點 的 極 角 都是 ， 其/4極 徑 可 以 取 任 意 的 非 負 數(shù) 。 故 所

11、求直 線 的 極 坐 標 方 程 為 ( 0)4 新 課 講 授 1、 求 過 極 點 ， 傾 角 為 的 射 線 的 極坐 標 方 程 。 54易 得 5 ( 0)4 思 考 ：2、 求 過 極 點 ， 傾 角 為 的 直 線 的 極坐 標 方 程 。 454 4 或 和 前 面 的 直 角 坐 標 系 里 直 線 方 程的 表 示 形 式 比 較 起 來 ， 極 坐 標 系 里 的直 線 表 示 起 來 很 不 方 便 ， 要 用 兩 條 射線 組 合 而 成 。 原 因 在 哪 ？0 為 了 彌 補 這 個 缺 乏 ， 可 以 考 慮 允 許極 徑 可 以 取 全 體 實 數(shù) 。 那 么

12、 上 面 的直 線 的 極 坐 標 方 程 可 以 表 示 為 ( )4 R 或 5 ( )4 R 例 1.求 過 點 A a,0 (a0),且 垂 直 于 極 軸 的 直線 的 極 坐 標 方 程 。0 a A XM 解 ： 設 M( ， )為 直 線 上除 A外 的 任 意 一 點 ， 連 接 OM， 在 三 角 形 MOA中 ， 即 1 |cos| OAMOAOM cos式 1 就 是 所 求 直 線 的 極 坐 標 方 程 1、 根 據(jù) 題 意 畫 出 草 圖 ；2、 設 點 是 直 線 上 任 意 一 點 ；( , )M 3、 連 接 MO；4、 根 據(jù) 幾 何 條 件 建 立 關

13、于 的 方 程 ， 并 化 簡 ； , 5、 檢 驗 并 確 認 所 得 的 方 程 即 為 所 求 。解 題 基 本 步 驟 練 習 1 求 過 點 A (a,/2)(a0)， 且 平 行 于極 軸 的 直 線 L的 極 坐 標 方 程 。解 ： 如 圖 ， 建 立 極 坐 標 系 ，設 點 為 直 線 L上 除 點A外 的 任 意 一 點 ， 連 接 OM( , )M 在 中 有 Rt MOA 即可 以 驗 證 ， 點 A的 坐 標 也 滿 足 上 式 。 Mo x Asin aIOMI sin AMO=IOAI 練 習 2： 設 點 P的 極 坐 標 為 A ， 直線 過 點 P且 與

14、極 軸 所 成 的 角 為 ,求 直線 的 極 坐 標 方 程 。 ( ,0)a ll解 ： 如 圖 ， 設 點 ( , )M 為 直 線 上 異 于 的 點l連 接 OM， o MxA在 中 有 MOA sin( ) sin( )a 即sin( ) sina 顯 然 A點 也 滿足 上 方 程 。 例 題 3設 點 P的 極 坐 標 為 ， 直 線 過 點 P且 與 極 軸 所 成 的 角 為 ,求 直 線 的 極 坐 標 方 程 。 1 1( , ) ll解 ： 如 圖 ， 設 點 ( , )M 點 P外 的 任 意 一 點 ， 連 接 OM為 直 線 上 除則 由 點 P的 極 坐 標

15、知 ,OM xOM 1OP 1xOP 在 設 直 線 L與 極 軸 交 于 點 A。 則MOP 1, ( )OMP OPM 由 正 弦 定 理 得 11sin ( ) sin( ) 1 1sin( ) sin( ) 顯 然 點 P的 坐 標 也 是 它 的 解 。 XMO ) 11 )pA 直 線 的 幾 種 極 坐 標 方 程1、 過 極 點2、 過 某 個 定 點 垂 直 于 極 軸4、 過 某 個 定 點 ， 且 與 極 軸 成 的 角 度 a3、 過 某 個 定 點 平 行 于 極 軸 o x AMMo x A lo o xMP 1 1A)(0 R cos a sin a1 1sin(

16、 ) sin( ) 1 1( , ) 例 4.把 以 下 的 直 角 坐 標 方 程 化 為 極 坐 標 方 程 (1)2x+6y-1=0 (2)x2 -y2=25解 ： 將 公 式 代 入所 給 的 直 角 坐 標 方 程 中 ， 得cosx siny(1)2 cos 6 sin 1 0 2 2 2 2(2) cos sin 25 化 簡 得 2cos2 25 的 直 線 的 極 坐 標 方 程 。且 斜 率 為、 求 過 2)3,2(1 A 程這 就 是 所 求 的 極 坐 標 方得 代 入 直 線 方 程將 為 直 線 上 的 任 意 一 點 ，設 角 坐 標 系 內 直 線 方 程 為

17、解 ： 由 題 意 可 知 ， 在 直 07sincos2 072 sin,cos),( 072 yx yxM yx 表 示 的 曲 線 是、 極 坐 標 方 程 )(31sin2 R A、 兩 條 相 交 的 直 線 B、 兩 條 射 線C、 一 條 直 線 D、 一 條 射 線 所 以 是 兩 條 相 交 直 線兩 條 直 線 即所 以 得 可 得解 ： 由 已 知 042:,042: 4242tan 322cos31sin 21 yxlyxl xy A 4 cos 2 4cos 2, sin 2sin 2, 2sinA BC D 、 直 線 關 于 直 線 對 稱 的 直 線方 程 為、

18、 、 、 3、 ( )B 2sin 2 2 化 為 極 坐 標 方 程 為即的 對 稱 直 線 的 問 題 關 于線解 ： 此 題 可 以 變 成 求 直y xyx 4cos,4cos 2cos,2sin sin44 、 、直 線 的 方 程 是 相 切 的 一 條、 在 極 坐 標 系 中 ， 與 圓DC BA ( )B 2cos2 4)2(04 sin4 2222 化 為 極 坐 標 方 程 為 圓 的 方 程 為那 么 一 條 與 此 圓 相 切 的即 的 化 為 直 角 坐 標 方 程 是解 ： 圓x yxyyx 3cos3cos 33sin33sin )6sin(125 、 、直 線

19、 的 極 坐 標 方 程 是 的， 則 過 圓 心 與 極 軸 垂 直 一 個 圓 的 方 程 為、 在 極 坐 標 系 中 ， 已 知DC BA ( )C 1.圓 的 極 坐 標 方 程 的 概 念 ； 2.如 何 求 圓 的 極 坐 標 方 程 ；3.會 將 直 角 坐 標 方 程 化 為 極 坐 標 方 程 ; 4.直 線 的 極 坐 標 方 程 的 幾 種 情 況 :(1)過 極 點(2)過 某 個 定 點 ， 且 垂 直 于 極 軸(4)過 某 個 定 點 ， 且 與 極 軸 成 一 定 的 角 度(3)過 某 個 定 點 ， 且 平 行 于 極 軸 6.將 下 列 直 角 坐 標

20、方 程 化 成 極 坐 標 方 程 系(1)y 5(2)x 1 0 2 2(4)x y 16 (3)3x 2y 1 0 7.將 下 列 極 坐 標 方 程 化 為 直 角 坐 標 方 程(1) 10cos (2) 2cos 4sin (3) (2cos 5sin ) 4 0 2522)5( yx 5)2()1( 22 yx 0452 yx5sin 01cos 01sin2cos3 162cos2 0, ( 0) 54 5A. 2 25B. 2 25C. 6 25D. 81 2007年 高 考 線 ,所圍 成 的 圖 形 面 積 是 和 D2(2005年 高 考 )在 極 坐 標 系 中 ,以

21、為 圓 心 , 以 半 徑 的 圓 的 方 程 為 _ )2,2( a2a asin 2.解 : 1 ( R)3 （ ） 2 cos=1（ ）3 =2cos(- )4（ ） 4 =2asin（ ）1.解 :(1)表 示 圓 心 在 極 點 ， 半 徑 為 5的 圓 ；(2)表 示 過 極 點 ， 傾 斜 角 為 的 直 線 ；(3)表 示 過 極 點 ， 圓 心 在 半 徑 為 1的 圓65 )2,1( 3.解 : 4cos)1( 2sin)2( 01sin3cos2)3( 162cos)4( 2 4.解 ： 1 2 3 4y 2; 2x+5y-4=0 2 2+ = 5(x-1) (y+2)2

22、 2+ =255(x+ ) y 把 點 A 的 極 坐 標 化 為 直 角 坐 標 ， 得22)4sin( 化 為 直 角 坐 標 方 程 ， 得 1 yx )2,2( 在 平 面 直 角 坐 標 系 中 ， 由 點 到 直 線 的距 離 公 式 ， 得 點 A 到 直 線 的 距 離)2,2( 1 yx 22d所 以 點 A到 這 條 直 線 的 距 離 為 22d5.解 ： 以 極 點 為 直 角 坐 標 原 點 ,極 軸 為 X軸 正 半軸 建 立 平 面 直 角 坐 標 系 ， 把 直 線 的 極 坐 標 方 程 。 6.解 :(1)以 橢 圓 中 心 O為 直 角 坐 標 原 點 ，

23、 長軸 所 在 的 直 線 為 X軸 建 立 直 角 坐 標 系 ,那 么 橢圓 的 直 角 坐 標 方 程 為 將 橢 圓 的 直 角 坐 標 方 程 化 為 極 坐 標 方 程 , 得 12222 byax 1)sin()cos( 2222 ba 2222 222 sincos ab ba 由 于 可 設 OBOA ),( 11 A )2,( 12 B 122122 2221 sincos ab ba 122122 2222 cossin ab ba那 么 于 是 222122 11)| 1()| 1( OBOA 22 122122122122 cossinsincos ba abab 2

24、2 22 ba ba 所 以 為 定 值22 )| 1()| 1( OBOA (2)依 題 意 ， 得到 2121|21 OBOAS AOB 2212222 22 42sin)(21 baba ba )cossin)(1sincos(21 12212222122 22 abab ba 4 1 當 且 僅 當 時 ， 即 或 時 ， 有 最 小 值 當 ， 即 或 時 ， 有 最 大 值 12sin 12 45AOBS 22 22 ba ba 02sin 12 01 1AOBS 2ab ._ 4)0(307面 積 所 圍 成 的和，、 曲 線 O XA B38461 2 S AOB即的 面 積 積 就 是 扇 形解 ： 由 圖 可 知 圍 成 的 面