2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列及其表示（含解析）.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列及其表示（含解析） 1、根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5,55,555,5 555，…. 解　(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(－1)n，觀察各項(xiàng)的絕對值，后一項(xiàng)的絕對值總比它前一項(xiàng)的絕對值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積．知所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1， 故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)． 2．?dāng)?shù)列0，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　)． A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(n∈N*) 解析　將0寫成，觀察數(shù)列中每一項(xiàng)的分子、分母可知，分子為偶數(shù)列，可表示為2(n－1)，n∈N*；分母為奇數(shù)列，可表示為2n－1，n∈N*，故選C. 答案　C 1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　(1)依題意，2S1＝a2－－1－， 又S1＝a1＝1，所以a2＝4； (2)由題意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n， 所以當(dāng)n≥2時(shí)， 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1) 兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)， 即－＝1，又－＝1， 故數(shù)列是首項(xiàng)為＝1，公差為1的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2. 2．若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝，則＝(　　)． A. B. C. D．30 解析　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5(5＋1)＝30. 答案　D 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2－1，則a3＝(　　)． A．－10 B．6 C．10 D．14 解析　a3＝S3－S2＝232－1－(222－1)＝10. 答案　C 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　)． A．2n－1 B.n－1 C. n－1 D. 解析　∵Sn＝2an＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即＝(n≥2)， 又a2＝，∴an＝n－2(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1≠－1＝， ∴an＝ ∴Sn＝2an＋1＝2n－1＝n－1. 答案　B 5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？ (2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？ (3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？ 解　(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－47＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)． ∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)． 考點(diǎn)：由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 1、在數(shù)列{an}中， (1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝________； (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則通項(xiàng)an＝________. 審題路線　(1)變形為an＋1－an＝n＋1?用累加法，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)?得出an. (2)變形為an＋1＋1＝3(an＋1)?再變形為＝?用累乘法或迭代法可求an. 解析　(1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式， 因此an＝＋1. (2) an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3， 由＝3，即an＋1＋1＝3(an＋1)， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1＝3(an－1＋1)， ∴an＋1＝3(an－1＋1)＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝…＝3n－1(a1＋1)＝23n－1， ∴an＝23n－1－1； 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＝231－1－1也滿足． ∴an＝23n－1－1. 答案　(1)＋1　(2)23n－1－1 2、設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項(xiàng)公式an＝________. 解析　∵(n＋1)a＋an＋1an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝，∴…＝…，∴an＝. 答案　 3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　　)． A．2n－1 B.n－1 C．n2 D．n 解析　法一　(構(gòu)造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴＝，∴數(shù)列是常數(shù)列． 且＝＝1，∴an＝n. 法二　(累乘法)：n≥2時(shí)，＝，＝. … ＝，＝， 兩邊分別相乘得＝n，又因?yàn)閍1＝1，∴an＝n. 答案　D 4．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，兩式左右兩邊分別相減得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由題意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)． 答案　an＝ 考點(diǎn)：函數(shù)思想的應(yīng)用 1、(xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________． 解析　由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)， 知a1＋a10＝0，a1＋a15＝. 兩式相減，得a15－a10＝＝5d，所以d＝，a1＝－3. 所以nSn＝n[na1＋d]＝. 令f(x)＝，x＞0， 則f′(x)＝x(3x－20)，由函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(x)在x＝時(shí)取得最小值，檢驗(yàn)n＝6時(shí)，6S6＝－48，而n＝7時(shí)，7S7＝－49，故nSn的最小值為－49. 答案?。?9 2．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是 (　　)． A. B. C．4 D．0 解析　∵an＝－32＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大為0. 答案　D 3.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前________項(xiàng)的和最大． 解析　易知a1＝20>0，顯然要想使和最大，則應(yīng)把所有的非負(fù)項(xiàng)求和即可，令an≥0，則－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可見，當(dāng)n＝11時(shí)，a11＝0，故a10是最后一個(gè)正項(xiàng)，a11＝0，故前10或11項(xiàng)和最大． 答案　10或11 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則滿足an＋1＜an的n的取值為(　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，又n∈N*，∴n＝5. 答案　C 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A. B. C．(1,3) D．(2,3) 解析　∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)， ∴?2<a<3. 答案　D