2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 等差數(shù)列（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 等差數(shù)列（含解析） 1、在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.從而，an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝＝2n－n2. 進而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或－5. 又k∈N*，故k＝7為所求． 2、知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10＝(　　)． A．85 B．135 C．95 D．23 解析：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 則解得 ∴S10＝10(－4)＋3＝95. 考點二：等差數(shù)列的判定與證明 1、若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． (1)證明　當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當n＝1時，a1＝不適合上式． 故an＝ 2、已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n. 設bn＝.證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，并求{an}的通項公式． 證明　∵bn＋1－bn＝－＝－＝1， ∴{bn}為等差數(shù)列，又b1＝＝0. ∴bn＝n－1，∴an＝(n－1)3n＋2n. 考點三　等差數(shù)列的性質及應用 1、(1)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(　　)． A．－6 B．－4 C．－2 D．2 (2)在等差數(shù)列{an}中，前m項的和為30，前2m項的和為100，則前3m項的和為________． 解析　(1)S8＝4a3?＝4a3?a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6. (2)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，由等差數(shù)列前n項和的性質知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，則2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210. 答案　(1)A　(2)210 2、已知等差數(shù)列{an}中，S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝________. 解析　∵{an}為等差數(shù)列， ∴S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列， ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)． ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6 ＝2(S6－S3)－S3 ＝2(36－9)－9＝45. 答案：45 3、(1)(xx遼寧卷)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝(　　)． A．58 B．88 C．143 D．176 (2)(xx北京卷)若等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項和Sn＝________. 解：(1)由a1＋a11＝a4＋a8＝16，得 S11＝＝＝＝88. (2)由已知，得＝＝q＝2， 又a1＝2，所以Sn＝＝2n＋1－2. 4．記Sn為等差數(shù)列{an}前n項和，若－＝1，則其公差d＝(　　)． A. B．2 C．3 D．4 解析　由－＝1，得－＝1， 即a1＋d－＝1，∴d＝2. 答案　B 5．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于(　　)． A．21 B．30 C．35 D．40 解析　由題意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝75＝35. 答案　C 6.在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為(　　)． A．37 B．36 C．20 D．19 解析　由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37. 答案　A 7.{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a7＝5，S7＝21，則S10＝(　　)． A．40 B．35 C．30 D．28 解析　設公差為d，則由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40. 答案　A 8．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a13＝S13＝13，則a1＝(　　)． A．－14 B．－13 C．－12 D．－11 解析　在等差數(shù)列中，S13＝＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11. 答案　D 9．在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a35＝________. 解析　a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99. 答案　99 10．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，前三項之和S3＝9，則{an}的通項an＝________. 解析　由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1. 答案　2n－1 11．若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，則S3∶S5＝________. 解析　＝＝＝＝. 答案　3∶2 12．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若S5＞a1a9，求a1的取值范圍． 解　(1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a＝1(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2. (2)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2. 故a1的取值范圍是(－5,2)． 10．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求an與Sn. (2)是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 015？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由． 證明　(1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)． 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 即an－an－1＝4， 故數(shù)列{an}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列． 于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)． (2)由(1)，得＝2n－1(n∈N*)， 又S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1. 令2n－1＝2 015，得n＝1 008， 即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 008. 13．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝(　　)． A．12 B．14 C．16 D．18 解析　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以4(a1＋an)＝120， a1＋an＝30， 由Sn＝＝210，得n＝14. 答案　B 14．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當Sn最大時，n的值是(　　)． A．5 B．6 C．7 D．8 解析;由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得a7＋a8＝0，根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大． 答案　C 15.正項數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，則a7＝________. 解析　因為2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)， 所以數(shù)列{a}是以a＝1為首項，以d＝a－a＝4－1＝3為公差的等差數(shù)列， 所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝，n≥1. 所以a7＝＝. 答案　 16．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，是否存在非零實數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞0，由等差數(shù)列的性質，得a2＋a5＝a3＋a4＝22， 所以a3，a4是關于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通項為an＝1＋(n－1)4＝4n－3. (2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝. 所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)． 令2b2＝b1＋b3，解得c＝－. 當c＝－時，bn＝＝2n， 當n≥2時，bn－bn－1＝2. 故當c＝－時，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列． 17．等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數(shù)列的前10項的和為 (　　)． A．120 B．70 C．75 D．100 解析　因為＝n＋2，所以的前10項和為103＋＝75. 答案　C 18．在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，若Sn取得最大值，則n＝(　　)． A．7 B．8 C．9 D．10 解析　設公差為d，由題設3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 所以d＝－a1<0. 解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0， 所以n<，則n≤9， 當n≤9時，an>0，同理可得n≥10時，an<0. 故當n＝9時，Sn取得最大值． 答案　C 19．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a8＝4，則它的前9項和S9＝(　　)． A．9 B．18 C．36 D．72 解析　在等差數(shù)列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所以S9＝＝＝18. 答案　B 20．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項的和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d＝(　　)． A．1 B．2 C．3 D. 解析　在等差數(shù)列中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，所以解得d＝2. 答案　B 21．設數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時，n＝(　　)． A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 解析　由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a1＋5d＝0，即a6＝0，故當n＝5或6時，Sn最大． 答案　C 22、已知一等差數(shù)列的前四項和為124，后四項和為156，各項和為210，則此等差數(shù)列的項數(shù)是(　　)． A．5 B．6 C．7 D．8 解析　設數(shù)列{an}為該等差數(shù)列，依題意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝＝210，∴210＝，∴n＝6. 答案　B 23．在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝(　　)． A．2 B．4 C．8 D．16 解析　因為{an}是等差數(shù)列，所以a3＋a11＝2a7，所以2a3－a＋2a11＝4a7－a＝0，解得a7＝0或4，因為{bn}為等比數(shù)列，所以bn≠0，所以b7＝a7＝4，b6b8＝b＝16. 答案　D 24．已知函數(shù)y＝anx2(an≠0，n∈N*)的圖象在x＝1處的切線斜率為2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且當n＝1時其圖象過點(2,8)，則a7的值為(　　)． A. B．7 C．5 D．6 解析　由題意知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1時其圖象過點(2,8)，∴a122＝8，得a1＝2，∴{an}是首項為2，公差為的等差數(shù)列，an＝＋，得a7＝5. 答案　C 25．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a11＋a12＋a13＋a14＝________. 解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有即解得d＝，a1＝，故a11＋a12＋a13＋a14＝4a1＋46d＝18. 答案　18 26．現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長度依次構成等差數(shù)列，最上面一節(jié)長為10 cm，最下面的三節(jié)長度之和為114 cm，第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項，則n＝________. 解析　設每節(jié)竹竿的長度對應的數(shù)列為{an}，公差為d，(d＞0)． 由題意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an. 由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38， ∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16. 答案　16