【教學設計】《解三角形的實際應用舉例》(北師大)

解三角形的實際應用舉例 教材分析本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進一步應用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距離、角度以及三角形的綜合應用。通過運用正弦定、 余弦定理解決工業(yè)、 農(nóng)業(yè)等方面的實際問題， 使學生進一步體會數(shù)學在實際問題中的應用， 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣， 培養(yǎng)學生由實際問題抽象出數(shù)學問題并加以解決的能力。 教學目標【知識與能力目標】通過回顧正弦定理、余弦定理的表達式及文字語言的敘述，進一步熟悉正、 余弦定理的內(nèi)容、 作用及所解三角形的類型，能夠聯(lián)系勾股定理、三角形面積定理及三角形內(nèi)角和公式等有關三角形問題靈活地解三角形。【過程與方法目標】善于利用分類討論的思想，先易后難、逐層推進的思想解決一些繁、難三角形問題，把對學生的思維訓練貫穿整節(jié)課的始終?！厩楦袘B(tài)度價值觀目標】通過本節(jié)課的探究，培養(yǎng)學生勇于探索、勇于創(chuàng)新、 善于分析以及具體問題具體分析的科學精神和良好的學習習慣，并對正弦定理、 余弦定理的反射美產(chǎn)生愉悅感，從而激發(fā)學生熱愛數(shù)學，熱愛科學的追求精神。 教學重難點【教學重點】靈活選用正弦定理、余弦定理并結合面積公式進行有關的三角形中的幾何計算?！窘虒W難點】利用正、余弦定理進行邊角互化及正弦、余弦定理與三角形有關性質的綜合應用。 課前準備電子課件調整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調試好。 教學過程一、新課導入1、正弦定理：abc2Rsin Asin Bsin C2、余弦定理：a 2b2c 22bc cos A,cos Ab 2c2a22bcb 2c2a 22ca cos B,cos Bc2a 2b22cac 2a 2b 22ab cosC ，cosCa 2b2c 22ab二、研探新知，建構概念1. 解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形， 把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解。2. 在解決實際問題時常會遇到一些有關角的術語：(1) 方向角：從指定方向到目標方向線所成的水平角。方位角：指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角(2) 仰角與俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平線上方時叫仰角，目標視線在水平線下方時叫俯角。( 如下圖所示 )三、 質疑答辯，發(fā)展思維例 1如圖，自動卸貨汽車采用液壓機構，設計時需要計算油泵頂桿 BC 的長度（如圖） 已知車廂的最大仰角為 60，油泵頂點 B 與車廂支點 A 之間的距離為 1.95 m，AB 與水平線之間的夾角為 60 20 / ，AC 長為 1.40 m，計算 BC 的長（保留三個有效數(shù)字）。分析 ：這個問題就是在ABC 中，已知 AB =1.95 m， AC =1.4 m,BAC606 2066 20求 BC 的長，由于已知的兩邊和它們的夾角，所以可根據(jù)余弦定理求出 BC。C1.40m解：由余弦定理，得BC2AB2AC22 AB AC cos AA60 0D60 20 /1.9521.40221.95 1.40 cos66 201.95mB3.571BC1.89(m)答：頂杠 BC 長約為 1.89 m解斜三角形理論應用于實際問題應注意：1、認真分析題意，弄清已知元素和未知元素。2、要明確題目中一些名詞、術語的意義。 如視角， 仰角， 俯角，方位角等等。3、動手畫出示意圖，利用幾何圖形的性質，將已知和未知集中到一個三角形中解決。 來源 : Zx變式訓練1：如圖 , 一艘船以32 海里 / 時的速度向正北航行, 在 A 處看燈塔S 在船的北偏東 20 0 , 30 分鐘后航行到B 處 , 在 B 處看燈塔S 在船的北偏東650 方向上 , 求燈 塔 S 和 B 處的距離。（保留到 0.1 ）S65 0 ?45 0B 115 0200A解： AB16由正弦定理知ABBSsin 45 0sin 200BS10 sin 2007.7海里sin 45 0答：燈塔 S 和 B 處的距離約為7.7 海里例 2. 如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB ，從與煙囪底部在同一水平直線上的C， D 兩處，測得煙囪的仰角分別是450 和60 0,、間的距離是 12m，已知測角儀器高1.5 m. 求煙囪的高。分析：因為 ABAA1A1B ，又 AA11.5m所以只要求出 A1 B 即可解：在 BC1 D1 中，BBD1C1 180060 01200，C1 BD160 0450150C 1D 1A 1AC1 D1BC1CD由正弦定理得：sin C1BD1sinBD1 C1BC1C1 D1 sinBD1C112sin 1200(18266)msinC1 BD1sin150從而：A B2BC1186 328.392m12因此： ABA1 BAA128.3921.5 29.89229.89m答：煙囪的高約為29.89m變式訓練 2：在山頂鐵塔上B 處測得地面上一點A 的俯角600 ，在塔底 C 處測得點 A 的俯角45 0 ，已知鐵塔 BC 部分高 32 米，求山高 CD 。解：在 ABC 中， ABC =30，B=60 0ACB =135 ，32C=45 0?DA CAB =180 ( ACB + ABC )=180 (135 +30 )=15 又 BC=32, 來源 : Com 由正弦定理BCACsin BAC sinABC得： ACBC sinABC32sin 30016sinBACsin15016( 62 )m624四、 課堂小結：1、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實際中的一些應用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析問題解決問題的過程中關鍵要分析題意，分清已知與所求， 根據(jù)題意畫出示意圖，并正確運用正弦定理和余弦定理解題。3、在解實際問題的過程中，貫穿了數(shù)學建模的思想，其流程圖可表示為：畫圖形實際問題數(shù)學模型解三角形檢驗（答）實際問題的解數(shù)學模型的解五、作業(yè)布置：課本 59 頁：練習1、 2 教學反思略。