2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1教學分析函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的基本概念之一在中學，函數(shù)的學習大致可分為三個階段第一階段是在義務教育階段，學習了函數(shù)的描述性概念，接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)，了解了它們的圖象、性質等本節(jié)學習的函數(shù)概念與后續(xù)將要學習的函數(shù)的基本性質、基本初等函數(shù)()和基本初等函數(shù)()是學習函數(shù)的第二階段，這是對函數(shù)概念的再認識階段第三階段是在選修系列的導數(shù)及其應用的學習，這是函數(shù)學習的進一步深化和提高在學生學習用集合與對應的語言刻畫函數(shù)之前，學生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴關系；同時，雖然函數(shù)概念比較抽象，但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學生周圍因此，課本采用了從實際例子中抽象出用集合與對應的語言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念三維目標1會用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號yf(x)的含義；通過學習函數(shù)的概念，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題的探究能力，進一步培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣和抽象概括能力；啟發(fā)學生運用函數(shù)模型表述思考和解決現(xiàn)實世界中蘊涵的規(guī)律，逐漸形成善于提出問題的習慣，學會數(shù)學表達和交流，發(fā)展數(shù)學應用意識2掌握構成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用，使學生感受到學習函數(shù)的必要性和重要性，激發(fā)學生學習的積極性重點難點教學重點：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)教學難點：符號“yf(x)”的含義，不容易認識到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)單一地理解成對應關系，甚至認為函數(shù)就是函數(shù)值課時安排2課時第1課時作者：高建勇導入新課思路1.北京時間2005年10月12日9時整，萬眾矚目的“神舟”六號飛船勝利發(fā)射升空，5天后圓滿完成各項任務并順利返回在“神舟”六號飛行期間，我們時刻關注“神舟”六號離我們的距離y隨時間t是如何變化的，本節(jié)課就對這種變量關系進行定量描述和研究引出課題思路2.問題：已知函數(shù)y請用初中所學函數(shù)的定義來解釋y與x的函數(shù)關系？先讓學生回答后，教師指出：這樣解釋會顯得十分勉強，本節(jié)將用新的觀點來解釋，引出課題推進新課(1)給出下列三種對應：(幻燈片)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26 s落到地面擊中目標炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規(guī)律是h130t5t2.時間t的變化范圍是數(shù)集At|0t26，h的變化范圍是數(shù)集Bh|0h845則有對應f：th130t5t2，tA，hB.近幾十年來，大氣層的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧洞問題圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位：106 km2)隨時間t(單位：年)從1979xx年的變化情況圖1根據(jù)圖1中的曲線，可知時間t的變化范圍是數(shù)集At|1979txx，臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集BS|0S26，則有對應：f：tS，tA，SB.國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質量越高下表中的恩格爾系數(shù)y隨時間t(年)變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質量發(fā)生了顯著變化“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況時間(t)1991199219931994199519961997xxxxxxxx恩格爾系數(shù)(y)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根據(jù)上表，可知時間t的變化范圍是數(shù)集At|1991txx，恩格爾系數(shù)y的變化范圍是數(shù)集By|37.9y53.8.則有對應：f：ty，tA，yB.以上三個對應有什么共同特點？(2)我們把這樣的對應稱為函數(shù)，請用集合的觀點給出函數(shù)的定義.(3)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，那么你是如何理解這個“取值范圍”的？(4)函數(shù)有意義又指什么？(5)函數(shù)f：AB的值域為C，那么集合BC嗎？活動：讓學生認真思考以上三個對應，也可以分組討論交流，引導學生找出這三個對應的本質共性解：(1)共同特點是：集合A，B都是數(shù)集，并且對于數(shù)集A中的每一個元素x，在對應關系f：AB下，在數(shù)集B中都有唯一確定的元素y與之對應(2)一般地，設A，B都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yf(x)，xA，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域在研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念，設a，b是兩個實數(shù)，且a<b，如下表所示：定義名稱符號數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a，bx|a<x<b開區(qū)間(a，b)x|ax<b半開半閉區(qū)間a，b)x|a<xb半開半閉區(qū)間(a，bx|xaa，)x|x>a(a，)x|xa(，ax|x<a(，a)R(，)(3)自變量的取值范圍就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍(4)函數(shù)有意義是指：自變量的取值使分母不為0；被開方數(shù)為非負數(shù)；如果函數(shù)有實際意義時，那么還要滿足實際取值等等(5)CB.例題已知函數(shù)f(x)，(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f(3)，f()的值；(3)當a>0時，求f(a)，f(a1)的值活動：(1)讓學生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，故轉化為求使和有意義的自變量的取值范圍.有意義，則x30，有意義，則x20，轉化為解由x30和x20組成的不等式組(2)讓學生回想f(3)，f()表示什么含義？f(3)表示自變量x3時對應的函數(shù)值，f()表示自變量x時對應的函數(shù)值分別將3，代入函數(shù)的對應法則中得f(3)，f()的值(3)f(a)表示自變量xa時對應的函數(shù)值，f(a1)表示自變量xa1時對應的函數(shù)值分別將a，a1代入函數(shù)的對應法則中得f(a)，f(a1)的值解：(1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值需滿足解得3x<2或x>2，即函數(shù)的定義域是3，2)(2，)(2)f(3)1；f().(3)a>0，a3，2)(2，)，即f(a)，f(a1)有意義則f(a)；f(a1).點評：本題主要考查函數(shù)的定義域以及對符號f(x)的理解求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，通常轉化為解不等式組f(x)是表示關于變量x的函數(shù)，又可以表示自變量x對應的函數(shù)值，是一個整體符號，分開符號f(x)沒有什么意義符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運算例如f(x)x2x5，當x2時，看作“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去2，再加上5；當x為某一代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號時)，則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或某一個函數(shù))來代替如：f(2x1)(2x1)2(2x1)5，fg(x)g(x)2g(x)5等等符號yf(x)表示變量y是變量x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，并不表示y等于f與x的乘積符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系：當m是變量時，函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是同一個函數(shù)；當m是常數(shù)時，f(m)表示自變量xm對應的函數(shù)值，是一個常量已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，即(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集)(5)對于由實際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實際問題的制約.變式訓練1函數(shù)y的定義域為_答案：x|x1，且x1點評：本題容易錯解：化簡函數(shù)的解析式為yx1，得函數(shù)的定義域為x|x1其原因是這樣做違背了討論函數(shù)問題要保持定義域優(yōu)先的原則化簡函數(shù)的解析式容易引起函數(shù)的定義域發(fā)生變化，因此求函數(shù)的定義域之前時，不要化簡解析式2若f(x)的定義域為M，g(x)|x|的定義域為N，令全集UR，則MN等于()AM BNCUM DUN解析：由題意得Mx|x>0，NR，則MNx|x>0M.答案：A3已知函數(shù)f(x)的定義域是1,1，則函數(shù)f(2x1)的定義域是_解析：要使函數(shù)f(2x1)有意義，自變量x的取值需滿足12x11，0x1.答案：0,1本節(jié)課學習了：函數(shù)的概念、函數(shù)定義域的求法和對函數(shù)符號f(x)的理解課本習題1.2，A組，1,5.本節(jié)教學中，在歸納函數(shù)的概念時，本節(jié)設計運用了大量的實例，如果不借助于信息技術，那么會把時間浪費在實例的書寫上，會造成課時不足即拖堂現(xiàn)象本節(jié)重點設計了函數(shù)定義域的求法，而函數(shù)值域的求法將放在函數(shù)的表示法中學習由于函數(shù)是高中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，也是高考的重點和熱點，因此對函數(shù)的概念等知識進行了適當?shù)耐卣?，以滿足高考的需要第2課時作者：劉玉亭復習1函數(shù)的概念2函數(shù)的定義域的求法導入新課思路1.當實數(shù)a，b的符號相同，絕對值相等時，實數(shù)ab；當集合A，B中元素完全相同時，集合AB；那么兩個函數(shù)滿足什么條件才相等呢？引出課題：函數(shù)相等思路2.我們學習了函數(shù)的概念，yx與y是同一個函數(shù)嗎？這就是本節(jié)課學習的內(nèi)容，引出課題：函數(shù)相等推進新課指出函數(shù)yx1的構成要素有幾部分？一個函數(shù)的構成要素有幾部分？分別寫出函數(shù)yx1和函數(shù)yt1的定義域和對應關系，并比較異同.函數(shù)yx1和函數(shù)yt1的值域相同嗎？由此可見兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同，值域相同嗎？由此你對函數(shù)的三要素有什么新的認識？討論結果：函數(shù)yx1的構成要素為：定義域R，對應關系xx1，值域是R.一個函數(shù)的構成要素為：定義域、對應關系和值域，簡稱為函數(shù)的三要素其中定義域是函數(shù)的靈魂，對應關系是函數(shù)的核心當且僅當兩個函數(shù)的三要素都相同時，這兩個函數(shù)才相同定義域和對應關系分別相同值域相同如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同，那么它們的值域一定相等因此只要兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同，那么這兩個函數(shù)就相等例題 下列函數(shù)中哪個與函數(shù)yx相等？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.活動：讓學生思考兩個函數(shù)相等的條件后，引導學生求出各個函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)關系式為最簡形式只要它們定義域和對應關系分別相同，那么這兩個函數(shù)就相等解：函數(shù)yx的定義域是R，對應關系是xx.(1)函數(shù)y()2的定義域是0，)，函數(shù)y()2與函數(shù)yx的定義域不相同函數(shù)y()2與函數(shù)yx不相等(2)函數(shù)y的定義域是R，函數(shù)y與函數(shù)yx的定義域相同又yx，函數(shù)y與函數(shù)yx的對應關系也相同函數(shù)y與函數(shù)yx相等(3)函數(shù)y的定義域是R，函數(shù)y與函數(shù)yx的定義域相同又y|x|，函數(shù)y與函數(shù)yx的對應關系不相同函數(shù)y與函數(shù)yx不相等(4)函數(shù)y的定義域是(，0)(0，)，函數(shù)y與函數(shù)yx的定義域不相同，函數(shù)y與函數(shù)yx不相等點評：本題主要考查函數(shù)相等的含義討論函數(shù)問題時，要保持定義域優(yōu)先的原則對于判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一個函數(shù)；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，若解析式相同(即對應關系相同)，則是同一個函數(shù)，否則不是同一個函數(shù).變式訓練判斷下列各組的兩個函數(shù)是否相同，并說明理由yx1，xR與yx1，xN；y與y；y1與u1；yx2與yx；y2|x|與y是同一個函數(shù)的是_(把是同一個函數(shù)的序號填上即可)解析：只需判斷函數(shù)的定義域和對應法則是否均相同即可 前者的定義域是R，后者的定義域是N，由于它們的定義域不同，故不是同一個函數(shù)； 前者的定義域是x|x2或x2，后者的定義域是x|x2，它們的定義域不同，故不是同一個函數(shù)； 定義域相同均為非零實數(shù)，對應法則相同都是自變量取倒數(shù)后加1，那么值域必相同，故是同一個函數(shù)；定義域是相同的，但對應法則不同，故不是同一個函數(shù)； 函數(shù)y2|x|則定義域和對應法則均相同，那么值域必相同，故是同一個函數(shù)故填.答案：1下列給出的四個圖形中，是函數(shù)圖象的是()圖2A BC D答案：B2函數(shù)yf(x)的定義域是R，值域是1,2，則函數(shù)yf(2x1)的值域是_答案：1,23下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的有_f(x)，g(x)x；f(x)x0，g(x)；f(x)，g(u)；f(x)x22x，g(u)u22u.答案：問題：函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm有幾個交點？探究：設函數(shù)yf(x)定義域是D，當mD時，根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)唯一，則函數(shù)yf(x)的圖象上橫坐標為m的點僅有一個(m，f(m)，即此時函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm僅有一個交點；當mD時，根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)不存在，則函數(shù)yf(x)的圖象上橫坐標為m的點不存在，即此時函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm沒有交點綜上所得，函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm有交點時僅有一個，或沒有交點(1)復習了函數(shù)的概念，總結了函數(shù)的三要素；(2)判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)1設Mx|2x2，Ny|0y2，給出下列4個圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數(shù)關系的是()圖3答案：B2某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本為1 000元，以1 100元的價格批發(fā)出去，隨生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的增加，公司收入_，它們之間是_關系解析：由題意，多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品則多收入100元生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量看成是自變量，公司收入看成是因變量，容易得出對于自變量的每一個確定值，因變量都有唯一確定的值與之對應，從而判斷兩者是函數(shù)關系答案：增加函數(shù)3函數(shù)yx2與St2是同一函數(shù)嗎？答：函數(shù)的確定只與定義域與對應關系有關，而與所表示的字母無關，因此yx2與St2表示的是同一個函數(shù)因此并非字母不同便是不同的函數(shù)，這是由函數(shù)的本質決定的本節(jié)教學內(nèi)容主要是依據(jù)高考說明，對課本內(nèi)容適當拓展，重點對函數(shù)的相等問題進行了引申，設計時對拓展的內(nèi)容采取漸進式，設計時本著逐步提高、拓展，不能急于求成，否則事倍功半備選例題【例1】 已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)ff(x)的定義域是_解析：f(x)，x1.ff(x)f().10，即0.x2.f(x)的定義域為x|x2且x1答案：x|x2且x1【例2】 已知函數(shù)f(2x3)的定義域是4,5)，求函數(shù)f(2x3)的定義域解：由函數(shù)f(2x3)的定義域得函數(shù)f(x)的定義域，從而求得函數(shù)f(2x3)的定義域設2x3t，當x4,5)時，有t5,13)，則函數(shù)f(t)的定義域是5,13)，解不等式52x3<13，得1x<8，即函數(shù)f(2x3)的定義域是1,8)函數(shù)的傳統(tǒng)定義和近代定義的比較函數(shù)的傳統(tǒng)定義(初中學過的函數(shù)定義)與它的近代定義(用集合定義函數(shù))在實質上是一致的兩個定義中的定義域和值域的意義完全相同；兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，其中對應法則是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數(shù)值對應起來；近代定義則是從集合、對應的觀點出發(fā)，其中的對應法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應起來至于函數(shù)的傳統(tǒng)定義向近代定義過渡的原因，從歷史上看，函數(shù)的傳統(tǒng)定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式，要說清楚變量以及兩個變量的依賴關系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了不必要的限制后來，人們認識到了定義域和值域的重要性，如果只根據(jù)變量的觀點來解析，會顯得十分勉強，如：符號函數(shù)sgn x用集合與對應的觀點來解釋，就顯得十分自然了，用傳統(tǒng)定義幾乎無法解釋，于是就有了函數(shù)的近代定義由于傳統(tǒng)的定義比較生動、直觀，有時仍然會使用這一定義