2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示(4)教案 新人教A版必修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示(4)教案 新人教A版必修1 導入新課 思路1.復習初中常見的對應關系 1.對于任何一個實數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的點P和它對應. 2.對于坐標平面內(nèi)任何一個點A,都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)和它對應. 3.對于任意一個三角形,都有唯一確定的面積和它對應. 4.某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應. 5.函數(shù)的概念. 我們已經(jīng)知道,函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應,若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系,這種對應就叫映射(板書課題). 思路2.前面學習了函數(shù)的概念是:一般地,設A,B是兩個非空數(shù)集,如果按照某種對應法則f,對于集合A中的每個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應. (1)對于任意一個實數(shù),在數(shù)軸上都有唯一的點與之對應. (2)班級里的每一位同學在教室里都有唯一的座位與之對應. (3)對于任意的三角形,都有唯一確定的面積與之對應. 那么這些對應又有什么特點呢? 這種對應稱為映射,引出課題. 推進新課 ①給出以下對應關系: 圖13 這三個對應關系有什么共同特點? ②像問題①中的對應我們稱為映射,請給出映射的定義? ③“都有唯一”是什么意思? ④函數(shù)與映射有什么關系? 討論結(jié)果:①集合A,B均為非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素與之對應. ②一般地,設A,B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射,記作“f:A→B”. 如果集合A中的元素x對應集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象. ③包含兩層意思:一是必有一個;二是只有一個,也就是說有且只有一個的意思,即是一對一或多對一. ④函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣. 例題 下列哪些對應是從集合A到集合B的映射? (1)A={P|P是數(shù)軸上的點},B=R,對應關系f:數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應; (2)A={P|P是平面直角坐標系中的點},B={(x,y)|x∈R,y∈R},對應關系f:平面直角坐標系中的點與它的坐標對應; (3)A={三角形},B={x|x是圓},對應關系f:每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓; (4)A={x|x是新華中學的班級},B={x|x是新華中學的學生},對應關系f:每一個班級都對應班里的學生. 活動:學生思考映射的定義.判斷一個對應是否是映射,要緊扣映射的定義. (1)中數(shù)軸上的點對應著唯一的實數(shù); (2)中平面直角坐標系中的點對應著唯一的有序?qū)崝?shù)對; (3)中每一個三角形都有唯一的內(nèi)切圓; (4)中新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生. 解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射; (4)不是映射.新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生,是一對多,不符合映射的定義. 變式訓練 1.圖14(1),(2),(3)用箭頭所標明的A中元素與B中元素的對應法則,是不是映射? 圖14 答案:(1)不是;(2)是;(3)是. 2.在圖15中的映射中,A中元素60對應的元素是什么?在A中的什么元素與B中元素對應? 圖15 答案:A中元素60對應的元素是,在A中的元素45與B中元素對應. 1.下列對應是從集合S到T的映射的是( ) A.S=N,T={-1,1},對應法則是(-1)n,n∈S B.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},對應法則是開平方 C.S={0,1,2,5},T={1,,},對應法則是取倒數(shù) D.S={x|x∈R},T={y|y∈R},對應法則是x→y= 解析:判斷映射的方法簡單地說應考慮A中的元素是否都可以受對應法則f的作用,作用的結(jié)果是否一定在B中,作用的結(jié)果是否唯一這三個方面.很明顯A符合定義;B是一對多的對應;C中集合S中的元素0沒有象;D中集合S中的元素1也無象. 答案:A 2.已知集合M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},則下列對應關系中不能看作從M到P的映射的是( ) A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 解析:選項C中,集合M中部分元素沒有象,其他均是映射. 答案:C 3.已知集合A=N*,B={a|a=2n-1,n∈Z},映射f:A→B,使A中任一元素a與B中元素2a-1對應,則與B中元素17對應的A中元素是( ) A.3 B.5 C.17 D.9 解析:利用對應法則轉(zhuǎn)化為解方程.由題意得2a-1=17,解得a=9. 答案:D 4.若映射f:A→B的象的集合是Y,原象的集合是X,則X與A的關系是________;Y與B的關系是________. 解析:根據(jù)映射的定義,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,Y?B. 答案:X=A Y?B 5.已知集合M={a,b,c,d},P={x,y,z},則從M到P能建立不同映射的個數(shù)是________. 解析:集合M中有4個元素,集合P中有3個元素,則從M到P能建立34=81個不同的映射. 答案:81 6.下列對應哪個是集合M到集合N的映射?哪個不是映射?為什么? (1)設M={矩形},N={實數(shù)},對應法則f為矩形到它的面積的對應. (2)設M={實數(shù)},N={正實數(shù)},對應法則f為x→. (3)設M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},對應法則f為開方再乘10. 解:(1)是M到N的映射,因為它是多對一的對應. (2)不是映射,因為當x=0時,集合N中沒有元素與之對應. (3)是映射,因為它是一對一的對應. 7.設集合A和B都是自然數(shù)集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,則在映射f下,A中的元素________對應B中的元素3.( ) A.1 B.3 C.9 D.11 解析:對應法則為f:n→2n+n,根據(jù)選項驗證2n+n=3,可得n=1. 答案:A 8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x對應,求a及k的值. 分析:先從集合A和對應法則f入手,同時考慮集合中元素的互異性,可以分析出此映射必為一一映射,再由3→10,求得a值,進而求得k值. 解:∵B中元素y=3x+1和A中元素x對應, ∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10. ∵a∈N, ∴由a2+3a=10,得a=2. ∵k的象是a4, ∴3k+1=16,得k=5. ∴a=2,k=5. 9.已知集合A={(x,y)|x+y<3,x∈N,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,則這個對應是否為映射?是否為函數(shù)?請說明理由. 解:是映射,不是函數(shù).由題意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},顯然對于A中的每一個有序?qū)崝?shù)對,它們的和是0或1或2,則在B中都有唯一一個數(shù)與它對應,所以是映射,因為集合A不是數(shù)集而是點集,所以不是函數(shù). 問題:集合M中有m個元素,集合N中有n個元素,則從M到N能建立多少個不同的映射? 探究:當m=1,n=1時,從M到N能建立1=11個不同的映射; 當m=2,n=1時,從M到N能建立1=12個不同的映射; 當m=3,n=1時,從M到N能建立1=13個不同的映射; 當m=2,n=2時,從M到N能建立4=22個不同的映射; 當m=2,n=3時,從M到N能建立9=32個不同的映射. 集合M中有m個元素,集合N中有n個元素,則從M到N能建立nm個不同的映射. 本節(jié)課學習了: (1)映射的對應是一種特殊的對應,元素之間的對應必須滿足“一對一或多對一”. (2)映射由三個部分組成:集合A,集合B及對應法則f,稱為映射的三要素. (3)映射中集合A,B中的元素可以為任意的. 課本本節(jié)練習4. 補充作業(yè): 已知下列集合A到B的對應,請判斷哪些是A到B的映射,并說明理由. (1)A=N,B=Z,對應法則f為“取相反數(shù)”; (2)A={-1,0,2},B={-1,0,},對應法則:“取倒數(shù)”; (3)A={1,2,3,4,5},B=R,對應法則:“求平方根”; (4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},對應法則f:a→b=(a-1)2; (5)A=N*,B={0,1},對應法則:除以2所得的余數(shù). 答案:(2)不是映射,(1)(3)(4)(5)是映射. 本節(jié)教學設計的內(nèi)容拓展較深,在實際教學中根據(jù)學生實際選取例題和練習.本節(jié)重點為映射的概念,對于映射來說,只需要掌握概念即可,不要求拓展其內(nèi)容,以免加重學生的負擔,也偏離了課標要求和高考的方向. [備選例題] 【例1】 區(qū)間[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集區(qū)間為[a,b],若區(qū)間[a,b]的長度比區(qū)間[0,m]的長度大5,則m等于( ) A.5 B.10 C.2.5 D.1 解析:函數(shù)f(x)=2x+m在區(qū)間[0,m]上的值域是[m,3m], 則有[m,3m]=[a,b],則a=m,b=3m, 又區(qū)間[a,b]的長度比區(qū)間[0,m]的長度大5, 則有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5, 所以3m-m=m+5, 解得m=5. 答案:A 【例2】 設x∈R,對于函數(shù)f(x)滿足條件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么對所有的x∈R,f(x2-1)=________. 解析:(換元法)設x2+1=t, 則x2=t-1, 則f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=t2+3t-7, 即f(x)=x2+3x-7. 所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9. 答案:x4+x2-9 [知識總結(jié)] 1.函數(shù)與映射的知識記憶口訣: 函數(shù)新概念,記準要素三;定義域值域,關系式相連; 函數(shù)表示法,記住也不難;圖象和列表,解析最常見; 對應變映射,只是變唯一;映射變函數(shù),集合變數(shù)集. 2.映射到底是什么?怎樣理解映射的概念? 剖析:對于映射這個概念,可以從以下幾點來理解:(1)映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的;(3)映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應,而這個與之對應的元素是唯一的,這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心;(4)映射允許集合B中存在元素在A中沒有元素與其對應;(5)映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的對應元素,即映射只能是“多對一”或“一對一”,不能是“一對多”;(6)映射是特殊的對應,函數(shù)是特殊的映射. 3.函數(shù)與映射的關系 函數(shù)是特殊的映射,對于映射f:A→B,當兩個集合A、B均為非空數(shù)集時,則從A到B的映射就是函數(shù),所以函數(shù)一定是映射,而映射不一定是函數(shù).- 配套講稿:
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