2019-2020年高中數(shù)學 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程課堂探究 新人教B版必修2.doc

2019-2020年高中數(shù)學 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程課堂探究 新人教B版必修2探究一 二元二次方程表示圓的條件方程x2y2DxEyF0表示圓的兩種判斷方法：(1)(配方法)對形如x2y2DxEyF0的二元二次方程可以通過配方變形成“標準”形式后，觀察是否表示圓；(2)(運用圓的一般方程的判斷方法求解)即通過判斷D2E24F是否為正，確定它是否表示圓【典型例題1】 若關(guān)于x，y的方程x2mxyy22xyn0表示的曲線是圓，則mn的取值范圍是()A. B. C. D.解析：因為x2mxyy22xyn0表示圓，所以解得n，所以mn.答案：A探究二 用待定系數(shù)法求圓的方程1用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟如下：2對圓的一般方程和標準方程的選擇：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑來列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再利用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).【典型例題2】 (1)已知A(1,1)，B(6,0)，C(1,7)，則ABC的外接圓的方程是_解析：設(shè)圓的方程是x2y2DxEyF0，將A，B，C三點的坐標代入方程，解方程組得D6，E8，F(xiàn)0，從而圓的方程為x2y26x8y0.答案：x2y26x8y0(2)求圓心在yx上且過兩點(2,0)，(0，4)的圓的一般方程，并把它化成標準方程解：探究三 與圓有關(guān)的軌跡問題圓是一個雙重對稱圖形，與圓有關(guān)的軌跡問題可結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)解決，解決的方法可以是直接法、定義法、相關(guān)點代入法等(1)直接法：根據(jù)題設(shè)，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担O(shè)出動點坐標，并找出動點所滿足的關(guān)系式；(2)定義法：當所列出的關(guān)系式符合圓的定義時，可利用定義寫出點的軌跡方程；(3)相關(guān)點代入法：若動點P(x，y)因為圓上的另一動點Q(x1，y1)而運動，且x1，y1可用x，y表示，則將Q點的坐標代入已知圓的方程，求得動點的軌跡方程【典型例題3】 已知一曲線是與兩定點(0,0)和(3,0)距離之比為m(m>0)的點的軌跡，求此曲線方程，并說明是什么曲線思路分析：設(shè)動點坐標為(x，y)，將題設(shè)條件等式用方程給出，化簡方程為最簡形式即可解：設(shè)所求曲線上任一點的坐標為P(x，y)，由題意得，m，即(m21)x2(m21)y26m2x9m20.當m1時，x，其軌跡為兩點的中垂線；當m1時，方程可化為2y22，其軌跡是以為圓心，以為半徑的圓點評 求軌跡方程與軌跡是不同的，求軌跡方程時只需要求出方程，求軌跡時，不僅要求出軌跡方程，還要指出方程表示的圖形，如果方程中含有參數(shù)要分類討論，如有不符合條件的點要舍去【典型例題4】 已知點P在圓C：x2y28x6y210上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程解法一：設(shè)點M(x，y)，點P(x0，y0)，則所以因為點P(x0，y0)在圓C：x2y28x6y210上，所以x20y208x06y0210.所以(2x)2(2y)28(2x)6(2y)210.即點M的軌跡方程為x2y24x3y0.解法二：設(shè)點M的坐標為(x，y)，連接OC，PC，取線段OC的中點A，連接MA.圓C的方程可化為(x4)2(y3)24，圓心C(4,3)，|CP|2，則點A的坐標為.如圖所示，在OCP中，M，A分別是OP，OC的中點，則|MA|CP|，即|MA|1.又當O，C，P三點共線時，|MA|1.所以點M的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓所以點M的軌跡方程為(x2)221.探究四 求圓關(guān)于點(線)對稱的圓1求圓C：(xa)2(yb)2r2關(guān)于點P(x0，y0)對稱的圓的方程，首先要找出圓心C(a，b)關(guān)于點P(x0，y0)的對稱點，得到對稱圓的圓心，半徑不變，即得所求圓的方程2求圓關(guān)于直線mxnyp0對稱的圓的方程，只需求出圓心關(guān)于直線的對稱點即可【典型例題5】 試求圓C：x2y2x2y0關(guān)于直線l：xy10對稱的曲線C的方程思路分析：對稱圓的圓心坐標變化、半徑不變，另外可利用相關(guān)點法來求解法一：設(shè)P(x，y)為所求曲線C上任意一點，P關(guān)于l的對稱點為P(x0，y0)，則P(x0，y0)在圓C上由題意可得解得 (*)因為P(x0，y0)在圓C上，所以x20y20x02y00，將(*)代入，得(y1)2(x1)2(y1)2(x1)0.化簡，得x2y24x3y50，即曲線C的方程是x2y24x3y50.解法二：(特殊對稱)圓C關(guān)于直線l的對稱圖形仍然是圓，且半徑不變，故只需求圓心C，圓心C關(guān)于直線l：xy10的對稱點為C，因此所求圓C的方程為(x2)22.