2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù) 第10課時(shí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù) 第10課時(shí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案 2.建立函數(shù)模型:將變量y表示為x的函數(shù),在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi),我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式; 3.求解函數(shù)模型:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解,并還原為實(shí)際問(wèn)題的解. 這些步驟用框圖表示是: 實(shí)際問(wèn)題 函數(shù)模型 抽象概括 實(shí)際問(wèn)題的解 函數(shù)模型的解 還原說(shuō)明 運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì) 典型例題 例1. 如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分別截取AE,AH,CG,CF都等于x,當(dāng)x為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?并求出最大面積. 解: 設(shè)四邊形EFGH的面積為S, 則S△AEH=S△CFG=x2, S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x), ∴S=ab-2[2+(a-x)(b-x)] =-2x2+(a+b)x=-2(x-2+ 由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0<x≤b}. 又0<b<a,∴0<b<,若≤b,即a≤3b時(shí), 則當(dāng)x=時(shí),S有最大值; 若>b,即a>3b時(shí), S(x)在(0,b]上是增函數(shù), 此時(shí)當(dāng)x=b時(shí),S有最大值為 -2(b-)2+=ab-b2, 綜上可知,當(dāng)a≤3b時(shí),x=時(shí), 四邊形面積Smax=, 當(dāng)a>3b時(shí),x=b時(shí),四邊形面積Smax=ab-b2. 變式訓(xùn)練1:某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的某種商品按10元一個(gè)銷(xiāo)售時(shí),每天可賣(mài)出100個(gè),現(xiàn)在他采用提高售價(jià),減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn),已知這種商品銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元,銷(xiāo)售量就減少10個(gè),問(wèn)他將售價(jià)每個(gè)定為多少元時(shí),才能使每天所賺的利潤(rùn)最大?并求出最大值. 解:設(shè)每個(gè)提價(jià)為x元(x≥0),利潤(rùn)為y元,每天銷(xiāo)售總額為(10+x)(100-10x)元, 進(jìn)貨總額為8(100-10x)元, 顯然100-10x>0,即x<10, 則y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x<10). 當(dāng)x=4時(shí),y取得最大值,此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)為14元,最大利潤(rùn)為360元. 例2. 據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè):發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度 v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過(guò)線(xiàn)段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸 的垂線(xiàn)l,梯形OABC在直線(xiàn)l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值; (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái); (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這 場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城,如果會(huì),在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將 侵襲到N城?如果不會(huì),請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)由圖象可知: 當(dāng)t=4時(shí),v=34=12, ∴s=412=24. (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí),s=t3t=t2, 當(dāng)10<t≤20時(shí),s=1030+30(t-10)=30t-150; 當(dāng)20<t≤35時(shí),s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550. 綜上可知s= (3)∵t∈[0,10]時(shí),smax=102=150<650. t∈(10,20]時(shí),smax=3020-150=450<650. ∴當(dāng)t∈(20,35]時(shí),令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40,∵20<t≤35, ∴t=30,所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城. 變式訓(xùn)練2:某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬(wàn)元,但每生產(chǎn)100臺(tái), 需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬(wàn)元.市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái),銷(xiāo)售的收入函數(shù)為R(x)=5x-(萬(wàn)元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺(tái)). (1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù); (2)年產(chǎn)量是多少時(shí),工廠(chǎng)所得利潤(rùn)最大? (3)年產(chǎn)量是多少時(shí),工廠(chǎng)才不虧本? 解:(1)當(dāng)x≤5時(shí),產(chǎn)品能售出x百臺(tái); 當(dāng)x>5時(shí),只能售出5百臺(tái), 故利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x) = (2)當(dāng)0≤x≤5時(shí),L(x)=4.75x--0.5, 當(dāng)x=4.75時(shí),L(x)max=10.781 25萬(wàn)元. 當(dāng)x>5時(shí),L(x)=12-0.25x為減函數(shù), 此時(shí)L(x)<10.75(萬(wàn)元).∴生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大. (3)由 得x≥4.75-=0.1(百臺(tái))或x<48(百臺(tái)). ∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺(tái)至4 800臺(tái)時(shí),工廠(chǎng)不虧本. 例3. 某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶(hù)每月用水不超過(guò)4噸時(shí),每噸為1.80元,當(dāng)用水超過(guò)4噸時(shí),超過(guò)部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶(hù)共交水費(fèi)y元,已知甲、乙兩用戶(hù)該月用水量分別為5x,3x噸. (1)求y關(guān)于x的函數(shù); (2)若甲、乙兩戶(hù)該月共交水費(fèi)26.4元,分別求出甲、乙兩戶(hù)該月的用水量和水費(fèi). 解:(1)當(dāng)甲的用水量不超過(guò)4噸時(shí),即5x≤4,乙的用水量也不超過(guò)4噸, y=(5x+3x)1.8=14.4x; 當(dāng)甲的用水量超過(guò)4噸,乙的用水量不超過(guò)4噸時(shí), 即3x≤4且5x>4, y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8. 當(dāng)乙的用水量超過(guò)4噸時(shí), 即3x>4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6, 所以y= (2)由于y=f(x)在各段區(qū)間上均為單調(diào)遞增, 當(dāng)x∈[0,]時(shí),y≤f()<26.4; 當(dāng)x∈(,]時(shí),y≤f()<26.4; 當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),令24x-9.6=26.4,解得x=1.5, 所以甲戶(hù)用水量為5x=7.5噸, 付費(fèi)S1=41.8+3.53=17.70(元); 乙戶(hù)用水量為3x=4.5噸, 付費(fèi)S2=41.8+0.53=8.70(元). 變式訓(xùn)練3:1999年10月12日“世界60億人口日”,提出了“人類(lèi)對(duì)生育的選擇將決定世界未來(lái)”的主題,控制人口急劇增長(zhǎng)的緊迫任務(wù)擺在我們的面前. (1)世界人口在過(guò)去40年內(nèi)翻了一番,問(wèn)每年人口平均增長(zhǎng)率是多少? (2)我國(guó)人口在1998年底達(dá)到12.48億,若將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%以?xún)?nèi),我國(guó)人口在xx年底至多有多少億? 以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用: 數(shù)N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 對(duì)數(shù)lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 數(shù)N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 對(duì)數(shù)lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解:(1)設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為x,n年前的人口數(shù)為y, 則y(1+x)n=60,則當(dāng)n=40時(shí),y=30, 即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2, 兩邊取對(duì)數(shù),則40lg(1+x)=lg2, 則lg(1+x)==0.007 525, ∴1+x≈1.017,得x=1.7%. (2)依題意,y≤12.48(1+1%)10, 得lgy≤lg12.48+10lg1.01=1.139 2, ∴y≤13.78,故人口至多有13.78億. 答 每年人口平均增長(zhǎng)率為1.7%,xx年人口至多有13.78億. 小結(jié)歸納 解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重注意以下幾點(diǎn): 1.閱讀理解、整理數(shù)據(jù):通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類(lèi)等方法,快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,數(shù)據(jù)的單位等等; 2.建立函數(shù)模型:關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù),建立函數(shù)模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式,不要忘記考察函數(shù)的定義域; 3.求解函數(shù)模型:主要是計(jì)算函數(shù)的特殊值,研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的值域、最大(小)值等,注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用. 4.還原評(píng)價(jià):應(yīng)用問(wèn)題不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題,既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科又要符合實(shí)際背景,因于解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判最后作出結(jié)論,作出回答.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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