2019-2020年高中數(shù)學 2.3 平面向量的數(shù)量積 2.3.2 向量數(shù)量積的運算律同步訓練 新人教B版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.3 平面向量的數(shù)量積 2.3.2 向量數(shù)量積的運算律同步訓練 新人教B版必修4 知識點一：向量的數(shù)量積 1．已知向量a與b滿足|a|＝3，|b|＝6，〈a，b〉＝，則ab等于 A．－9　　　B．9　　　C．9　　　D．－9 2．已知非零向量m，n滿足mn≥0，則m與n夾角θ的取值范圍是 A．[0，) B．[0，] C．[，π) D．[，π] 3．一物體在力F的作用下沿水平方向由A運動至B，已知AB＝10米，F(xiàn)與水平方向成30角，|F|＝5牛頓，則物體從A運動到B力F所做的功W＝__________________ ________________________________________________________________________. 4．給出下列命題中， ①若a＝0，則對任一向量b，有ab＝0； ②若a≠0，則對任意一個非零向量b，有ab≠0； ③若a≠0，ab＝0，則b＝0； ④若ab＝0，則a、b至少有一個為0； ⑤若a≠0，ab＝ac，則b＝c； ⑥若ab＝ac，且b≠c，當且僅當a＝0時成立． 其中真命題為________． 5．(xx江西高考，文13)已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60，則b在a上的投影是__________． 知識點二：向量數(shù)量積的性質及運算律 6．向量a，b、c滿足a＋b＋c＝0且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2等于 A．1 B．2 C．4 D．5 7．已知|a|＝1，|b|＝6，a(b－a)＝2，則向量a與b的夾角是 A. B. C. D. 8．設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 9．(xx湖南高考，文6)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為 A．30 B．60 C．120 D．150 10．設a，b，c為任意向量，m∈R，下列各式中 ①(a－b)＋c＝a－(b－c) ②m(a＋b)＝ma＋mb ③(a－b)c＝ac－bc ④(ab)c＝a(bc) ⑤|ab|＝|a||b| 不成立的有________． 11．已知|a|＝1，|b|＝，設a與b的夾角為θ. (1)若θ＝，求|a＋b|； (2)若a與a－b垂直，求θ. 能力點一：有關數(shù)量積的計算問題 12．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，則等于 A. B．4 C. D．2 13．已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＝12，則向量a在向量b上的正射影的數(shù)量為 A. B．3 C．4 D．5 14．對于任意向量x和y，|x||y|與xy的大小關系是 A．|x||y|≤xy B．|x||y|＞xy C．|x||y|≥xy D．|x||y|＜xy 15．已知|a|＝2，|b|＝6，a(b－a)＝2，則|a－λb|的最小值為 A．4 B．2 C．2 D. 16．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb與a－λb垂直，則λ＝________. 17．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的方程x2＋|a|x＋ab＝0有實根，求a與b夾角的取值范圍． 18.設平面內兩個向量a與b互相垂直且|a|＝2，|b|＝1，又k與t是兩個不同時為零的實數(shù)． (1)若x＝a＋(t－4)b與y＝－ka＋tb互相垂直，求k關于t的函數(shù)解析式k＝f(t)； (2)求函數(shù)k＝f(t)取最小值時的向量x、y. 能力點二：數(shù)量積的應用 19．一質點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成60角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為 A．6 B．2 C．2 D．2 20．(xx四川高考，理5)設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||等于 A．8 B．4 C．2 D．1 21．(xx天津高考，文9)如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，則AA等于 A．2 B. C. D. 22．在邊長為的等邊三角形ABC中，設＝c，＝a，＝b，則ab＋bc＋ca＝________. 23．在△ABC中，設＝c，＝a，＝b，且ab＝bc＝ca，試判斷△ABC的形狀． 24．在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE＝2EB.求證：AD⊥CE. 答案與解析 基礎鞏固 1．A　2.B 3．75　W＝|F|||cos30＝510＝75. 4．① 5．1　b在a上的投影是|b|cos60＝2＝1. 6．D　|c|2＝c2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab，∵a⊥b，∴ab＝0.∴|c|2＝1＋22＝5. 7．C 8．B　(＋－2)(－)＝[(－)＋(－)](－)＝(＋)(－)＝||2－||2＝0，∴||＝||. 9．C　0＝(2a＋b)b＝2ab＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2， ∵|a|＝|b|≠0， ∴2cos〈ab〉＋1＝0，cos〈a，b〉＝－，〈a，b〉＝120. 10．④⑤ 11．解：(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab ＝1＋()2＋21cos＝3＋，∴|a＋b|＝. (2)由條件得a(a－b)＝0，∴a2＝ab＝|a||b|cosθ. ∴cosθ＝＝＝. ∴θ＝. 能力提升 12．D　因為(a＋2b)⊥(a－2b)，所以(a＋2b)(a－2b)＝0.所以a2＝4b2.所以|a|＝2|b|.故＝2. 13．A　由于cos〈a，b〉＝＝＝， ∴|a|cos〈a，b〉＝3＝. 14．C 15．D　∵a(b－a)＝ab－|a|2＝ab－4，∴ab＝6. |a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λab＝4＋36λ2－12λ＝36(λ－)2＋3， ∴當λ＝時，|a－λb|2取最小值3.∴|a－λb|的最小值為. 16．　由于(a＋λb)(a－λb)＝0， ∴|a|2－λ2|b|2＝0. ∴λ2＝＝. ∴λ＝. 17．解：設a與b的夾角為θ，根據題意得Δ≥0，即|a|2－4ab≥0， 即|a|2－4|a||b|cosθ≥0， ∴|a|2－4|a||a|cosθ≥0. ∴cosθ≤.∴θ∈[，π]． 18．解：(1)∵a⊥b，∴ab＝0. 又x⊥y，∴xy＝0， 即[a＋(t－3)b](－ka＋tb)＝0. －ka2－k(t－3)ab＋tab＋t(t－3)b2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1， ∴－4k＋t2－3t＝0， 即k＝(t2－3t)． (2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－， 即函數(shù)最小值為－，此時t＝， ∴x＝a－b，y＝a＋b. 19．D　由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos60＝28. ∴|F3|＝2. 20．C　因為|＋|＝|－|，平方得＝0，即⊥， 又2＝16， 所以||＝4. 所以||＝||＝2. 21．D　設||＝x，則||＝x， ＝(＋)＝＝||||cos∠ADB＝x1＝. 22．－3 23．解：∵ab＝bc， ∴b(a－c)＝0. 又b＝－(a＋c)，則有－(a＋c)(a－c)＝0， 即c2－a2＝0，也即|c|＝|a|. 同理|b|＝|a|，故|a|＝|b|＝|c|. 所以△ABC為正三角形． 拓展探究 24．證明：方法一：＝(＋)(＋) ＝＋＋＋ ＝－＋()＋0＋ ＝－||2＋||||cos45＋||||cos45 ＝－||2＋||||＋|||| ＝－||2＋||2＋||2＝0. ∴⊥，即AD⊥CE. 方法二：設＝a，＝b. 由題設得|a|＝|b|，ab＝0. ∵D為CB的中點， ∴＝b－a. ∵AE＝2EB， ∴＝＝(b－a)＝b－a. ∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b. ∴＝(b－a)(a＋b) ＝ab－ab＋b2－a2 ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥，即AD⊥CE.