2019-2020年高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項和》教案7 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項和》教案7 新人教A版必修5 我將從教材分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法、教學(xué)過程的構(gòu)思與設(shè)想以及教學(xué)反思等五個方面對本節(jié)課的設(shè)計進(jìn)行說明。 一、教材分析 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，現(xiàn)實生活和高等數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容常用到它，同時又是對學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、歸納、計算、推理等基本訓(xùn)練,提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。 學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、等差數(shù)列及其求和公式、等比數(shù)列的通項公式，這為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)又為數(shù)列在各方面的應(yīng)用奠定基礎(chǔ) 基于以上認(rèn)識，我認(rèn)為本節(jié)課的重點為：等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用。由于公式的推導(dǎo)方法學(xué)生不易想出，所以本節(jié)課的難點為：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程。突破難點的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境將學(xué)生的思維引導(dǎo)到最近的發(fā)現(xiàn)區(qū)。 二、教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)教材、教學(xué)大綱和學(xué)生實際，我確立了如下教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握并能靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項和公式，掌握該公式的推導(dǎo)方法——乘公比錯位相減法。 （2）滲透分類討論等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 2、過程與方法目標(biāo)：在公式及其推導(dǎo)方法的探究過程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想、分析、綜合的思維能力，使學(xué)生掌握研究問題的科學(xué)方法。 3、情感與態(tài)度目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)輕松愉快的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生在自主探究、合作交流過程中收獲知識，提升能力，獲得學(xué)習(xí)成功的愉悅和快樂，并關(guān)注其個性品質(zhì)；通過對公式的推導(dǎo)和對公比q的討論，進(jìn)一步形成學(xué)生勇于探索、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度。 三、教學(xué)方法 教學(xué)過程是教與學(xué)以及師生合作、生生合作的多邊活動過程，教學(xué)方法對 教學(xué)目的的實現(xiàn)和學(xué)生素質(zhì)的提高具有非常重要的意義。 （1） 教法 建構(gòu)主義認(rèn)為，知識不能由教師簡單地傳遞給學(xué)生而只能由學(xué)生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu)，因此本節(jié)課我主要采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”來突出重點，突破難點。 過程如下： 第一步，講述數(shù)學(xué)故事并設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 第二步，解決故事中提出的問題?！盁o意中”求出麥粒數(shù)這個等比數(shù)列前64項的和。引導(dǎo)學(xué)生反思求和過程，根據(jù)求和過程大膽猜想等比數(shù)列求和的方法。 第三步，通過特殊數(shù)列驗證改進(jìn)猜想。并嚴(yán)格證明猜想，得出等比數(shù)列求和公式及其推導(dǎo)方法。 第四步，通過例題和練習(xí)，鞏固所學(xué)內(nèi)容。 這樣設(shè)計將有利于調(diào)動學(xué)生思維的積極性，將學(xué)生的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生的自主探索過程，使學(xué)生真正成為課堂的主人，參與到整個教學(xué)活動的全過程中。采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”，通過教師精心設(shè)計教學(xué)情境和一系列活動，讓學(xué)生親身體驗知識發(fā)生、發(fā)展的過程，特別有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識，發(fā)展他們的研究能力和實踐能力。 （2）學(xué)法 我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，因而在教學(xué)中要特別重視對學(xué)法的指導(dǎo)。教師只有教給學(xué)生治學(xué)之道，求是之法，才能讓學(xué)生把握學(xué)習(xí)的靈魂。 本節(jié)課學(xué)生將經(jīng)歷觀察、猜想、分析、證明、練習(xí)及鞏固過程。 通過本節(jié)學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)的過程就是通過發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題進(jìn)一步擴(kuò)充自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。逐步掌握認(rèn)真觀察、動腦思考，大膽猜想，嚴(yán)格證明這一探索、研究問題的重要方法。 總之，本節(jié)教學(xué)方法設(shè)計是給學(xué)生提供眼耳腦口手五官并用的機(jī)會，優(yōu)化教學(xué)過程，把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，真正讓學(xué)生成為教學(xué)活動的主體。 同時還使用演示課件、投影等手段擴(kuò)大課堂容量、激發(fā)學(xué)生興趣。 四、教學(xué)過程 依據(jù)辯證唯物主義認(rèn)識論，教育心理學(xué)規(guī)律，根據(jù)教材分析和學(xué)生實際，本著提高學(xué)生探究能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力的目的，我把本節(jié)課的課堂結(jié)構(gòu)分為以下四環(huán)節(jié)。 1、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 本環(huán)節(jié)分為兩個層次： （1）復(fù)習(xí)等比數(shù)列定義和通項公式，并通過定義=q，得出an+1=anq， 啟發(fā)學(xué)生得出無窮等比數(shù)列的某一項乘以公比q所得結(jié)果仍然是這個數(shù)列中的項，并且是這一項的后一項，有窮數(shù)列的最后一項除外。 本層次主要是為掃除因舊知識不清而出現(xiàn)的障礙，為后面突破難點做好鋪墊。 （2）講述教學(xué)故事設(shè)置問題，創(chuàng)設(shè)情境。 師生一塊回憶本章引言中關(guān)于國際象棋的傳說：國際象棋起源于古代印度，國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上4顆麥粒，在第4個格子里放上8顆麥粒，依次類推，每一個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。國王覺得這并不是很難辦的事，就欣然同意了他的要求?？蓢蹂e了，皇家總管用了整整三天的時間才算出麥粒數(shù)是18446744073709551615。這些麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。7000億噸是一個多么龐大的數(shù)字，學(xué)生們可能想象不到，可以給學(xué)提供一個參照物：我們國家在xx年的糧食總產(chǎn)量不足5億噸，照我們國家現(xiàn)在的生產(chǎn)力水平7000億噸大約是1400多年的糧食總產(chǎn)量，何況古代印度的生產(chǎn)力水平呢？ 國王犯這樣的錯，主要是因為缺乏數(shù)學(xué)知識，那么，我們怎樣迅速計算出麥?？倲?shù)呢？ 因為在上一節(jié)等比數(shù)列的概念中，學(xué)生已經(jīng)知道麥粒數(shù)構(gòu)成了一個等比數(shù)列，此時提出等比數(shù)列怎樣求和水到渠成。 繼續(xù)講述故事：現(xiàn)在我們假設(shè)發(fā)明者要求使用另一種放法，在第1個格子里放2顆麥粒，在第2個格子里放4顆麥粒，在第3個格子里放8顆麥?！来晤愅?，每一個格子里放的麥粒數(shù)是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。 并設(shè)置問題：后一種放法與前一種放法相比，發(fā)明者能多得多少顆麥粒。 教師放手讓學(xué)生去研究、去探索、去討論。 學(xué)生比較容易得出： S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263 S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264 兩式相減得S-S64=264-1 也就是第二種放法比第一種放法能多得264-1顆麥粒。 教師引導(dǎo)學(xué)生考慮每一格中兩種放法對應(yīng)的麥粒數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得出兩種放法對應(yīng)的麥?？倲?shù)的關(guān)系。 至此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)S-S64=S64，也就是第二種放法比第一種放法多得的麥粒數(shù)恰好為第一種放法所得麥粒總數(shù)。 為引導(dǎo)學(xué)生觀察教師提出問題：“在S64 與S中有這么多項你是怎樣計算出結(jié)果的?！睂W(xué)生發(fā)現(xiàn)兩式中絕大多數(shù)項相同，在作差時被消去，從而為后面突破難點設(shè)置臺階。 本層次通過故事引入，可以極大地調(diào)動全體同學(xué)的積極性，使不同層次的學(xué)生都興致勃勃地參與課堂活動。改編故事設(shè)置第二種放法，主要是因為等比數(shù)列前n項和的求法，學(xué)生不易想出，而學(xué)生在解決故事中的問題時會在“不經(jīng)意”中求出一個等比數(shù)列的和，從而回頭反思求和的過程。當(dāng)然這里學(xué)生的“不經(jīng)意”是教師故意設(shè)置的教學(xué)情境。 2、自主探索、合作交流 本環(huán)節(jié)是教學(xué)過程的難點，我通過四個層次來分散難點、突出重點。 （1）觀察分析、提出猜想 教師提出問題：“剛才我們在不經(jīng)意中求出了一個數(shù)列的前64項和，現(xiàn)在我們回頭分析一下是怎求求和的，請大家首先觀察兩個等式之間有什么關(guān)系，并考慮我們求出和的過程。” 屏幕顯示：S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263 ------- ---① S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264 ---------------② 學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、討論，將兩式關(guān)系總結(jié)為兩點： （Ⅰ） ②式對應(yīng)的數(shù)列是①式的對應(yīng)數(shù)列的各項乘以2后得到的。 （Ⅱ）①式與②式絕大多數(shù)項相同，在相減時被消去。 教師設(shè)置問題：“據(jù)此分析，請同學(xué)們大膽猜想，求一個等比數(shù)列前n項和可以怎樣進(jìn)行？” 讓學(xué)生暢所欲言，大膽發(fā)表自己的看法。如果學(xué)生回答確有困難，教師可對照上面的解法給予適當(dāng)提示。根據(jù)以往授課經(jīng)驗，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以將Sn乘以2后再與Sn相減。 （2）驗證猜想，改進(jìn)猜想 教師指導(dǎo)全體學(xué)生按照多數(shù)學(xué)生的猜想進(jìn)行研究，其他同學(xué)的猜想在課后自己進(jìn)行研究。 啟發(fā)學(xué)生先用特殊數(shù)列驗證猜想。 屏幕顯示等比數(shù)列：1，3，9，27，……，3n-1，… 學(xué)生驗證后發(fā)現(xiàn)不能求出Sn 學(xué)生思路受阻，教師選擇適當(dāng)時機(jī)點撥，引導(dǎo)學(xué)生觀察：第二個數(shù)列對應(yīng)的兩個等式和第一個數(shù)列對應(yīng)的兩個等式之間有什么差別。 經(jīng)過學(xué)生觀察、討論可以得到第二個數(shù)列的兩式?jīng)]有出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項。 教師組織學(xué)生進(jìn)一步討論：“為什么第一個數(shù)列乘以2后能出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項因而能求和，而第二個數(shù)列乘以2后不能出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項因而不能求和？第一個數(shù)列乘以2后能求和是不是一種偶然的巧合呢？” 學(xué)生思考、分析、討論，如果學(xué)生回答確有困難，教師可以提示：第一個數(shù)列乘以2后能求和而第二個數(shù)列乘以2后不能求和，是不是2相對于兩個數(shù)列角色不一樣？ 學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、討論后認(rèn)定2是第一個數(shù)列的公比，但并不是第二個數(shù)列的公比。 教師及時引導(dǎo)：“看來我們的猜想還需要進(jìn)一步改進(jìn)，那么應(yīng)怎樣改進(jìn)呢？” 學(xué)生很快得出：應(yīng)將Sn乘以公比后再與Sn作差 教師啟發(fā)學(xué)生先用特殊數(shù)列驗證。 學(xué)生按改進(jìn)后的猜想，去求剛才的第二個等比數(shù)列1，3，9，27，…，3n-1…的前n項和，發(fā)現(xiàn)能求出Sn . 教師提出問題：改進(jìn)后的猜想能用來求這兩個數(shù)列的和，那么是不是所有的等比數(shù)列都可以這樣求和呢？ 學(xué)生得出肯定的結(jié)論后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：為什么乘以公比以后能求和。 如果學(xué)生回答確有困難，教師可提示學(xué)生出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項作差時能消去是關(guān)鍵，再結(jié)合剛上課復(fù)習(xí)等比數(shù)列定義時得出的等比數(shù)列中的項乘以公比q所得結(jié)果為該數(shù)列中這一項的后一項，則可以斷定Sn乘以公比q后的qSn表達(dá)式與Sn表達(dá)式中絕大多數(shù)項相同，作差時能消去。 再回頭看第一個數(shù)列乘以2，再作差能求和，表面現(xiàn)象是乘以2，其本質(zhì)是乘以等比數(shù)列的公比。也就是出現(xiàn)那么多相同項的根本原因在于將每一項均乘以公比q后得到了這一項的下一項（有窮數(shù)列最后一項除外）。 分析至此，等比數(shù)列求和的方法已浮出水面。 （3）證明猜想 教師繼續(xù)引導(dǎo)：“這只是我們的分析過程，下面需要做的工作大家認(rèn)為是什么？” 在學(xué)生答出證明以后，教師用屏幕顯示： 設(shè)公比為q的等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…的前n項和Sn=a1+a2+…+an 讓學(xué)生按照改進(jìn)后的猜想去推導(dǎo)Sn，讓一名學(xué)生到黑板板演，教師巡回觀察。 學(xué)生一般出現(xiàn)兩種解法： 解法一： Sn=a1+a2+a3+a4…+an-1+an （a） q Sn=a1q+a2q+a3q+a4q…+an-1q+anq （b） （a）-（b）得（1-q）Sn=a1-anq，繼而求出Sn 解法二： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1 （c） qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn （d） （c）-（d）得（1-q）Sn=a1-a1qn，繼而求出Sn 不論采用哪種解法，學(xué)生能夠比較容易地推出預(yù)定結(jié)論，但是，學(xué)生易在由（1-q）Sn=a1-anq或（1-q）Sn=a1-a1qn求出Sn時忽視對公比q的討論。 此處我的設(shè)計是，如果板演的同學(xué)討論了，則讓其他同學(xué)研究為什么討論；如果板演的同學(xué)沒有討論，則讓全體同學(xué)觀察其推理過程是否嚴(yán)密，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性。 當(dāng)q=1時的情形由學(xué)生自己得出。 投影學(xué)生的另一種解法，并讓學(xué)生研究兩種結(jié)果的一致性。 （4）加深認(rèn)識 為使加深學(xué)生對公式及其推導(dǎo)過程的認(rèn)識并進(jìn)一步滲透分類討論思想，我設(shè)置以下兩點： ①給推導(dǎo)過程命名。引導(dǎo)學(xué)生對照前n項和公式的推導(dǎo)過程給這種方法取一個能夠體現(xiàn)該方法特點的名字，如果學(xué)生總結(jié)確有難度，教師可啟發(fā)學(xué)生觀察公式推導(dǎo)的步驟和作差時項的對應(yīng)關(guān)系，最終得出乘公比錯位相減法。 ②總結(jié)公式。讓學(xué)生總結(jié)等比數(shù)列前n項和公式的表達(dá)式，啟發(fā)學(xué)生用分段函數(shù)的形式來表示： Sn= 讓學(xué)生閱讀課本，對所學(xué)內(nèi)容及時回顧、反思，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 3、練習(xí)應(yīng)用、鞏固提高 為鞏固所學(xué)知識，我設(shè)置了3道例題： 例1、根據(jù)下列條件求相應(yīng)的等比數(shù)列{an}的前n項和Sn （1）a1=3，q=2，n=6； （2）a1=8，q=，an=； 例2、計算等比數(shù)列1，2，4，8，…，263的和。 例3、求等比數(shù)列 1，a，a2，…，an-1，…的前n項和.（a∈R，a≠0） 三個例題都直接應(yīng)用公式求解例1由學(xué)生自己完成；例2由師生一塊完成教師書寫規(guī)范的解題步驟，為學(xué)生規(guī)范解題樹立良好的榜樣，同時用例2照應(yīng)本節(jié)課開始的數(shù)學(xué)故事；例3用來強(qiáng)化學(xué)生的分類討論思想學(xué)生先做最后教師講評。 4、課堂小結(jié) 本環(huán)節(jié)分為兩個層次，第一層次由學(xué)生小結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，回憶學(xué)習(xí)過程，歸納最重要的收獲。以鞏固新知，及時反思，提高能力。第二層次由教師小結(jié)教材體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法。 以上四環(huán)節(jié)的時間分配設(shè)計： 1、創(chuàng)設(shè)情境、引入課題大約6分鐘 2、合作討論、探索方法大約25分鐘 3、練習(xí)應(yīng)用、鞏固提高大約10分鐘 4、課堂小結(jié)大約4分鐘 為更好地復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容布置如下作業(yè)。第3題為研究性作業(yè)，用于訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，進(jìn)一步提升學(xué)生的探索和研究能力。 1、求等比數(shù)列8，-4，2，-1, …的前5項的和 2、求等比數(shù)列1，2，4，……從第5項到第10項的和。 3、研究性作業(yè)(選做)：探究等比數(shù)列前n項和公式的其他證明方法。 板書設(shè)計 標(biāo)題 1、定義、通項公式 2、第二種放法比第一種放法多得麥粒數(shù)的計算及猜想的驗證、改進(jìn)等 證明過程 ----------------------- ----------------------- ----------------------- ----------------------- 3、例題1------------------------ --------------------------- 例題2------------------------- 例題3-------------------------- --------------------------- 4、小結(jié)------------------------ ------------------------- 5、作業(yè)----------------------- ------------------------------ --------------------- 五、教學(xué)反思 本節(jié)課根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，結(jié)合多媒體課件的使用，使難以入手的公式推導(dǎo)變得簡單可行。 在教學(xué)過程中積極為學(xué)生創(chuàng)造開放民主、和諧自由的課堂氛圍，可以極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，并關(guān)注學(xué)生個性品質(zhì)，讓學(xué)生在一種輕松愉快的氣氛中自主探索、合作交流，體驗知識的形成過程，主動攝取知識形成能力，獲得積極的情感體驗，形成科學(xué)的態(tài)度和價值觀，從而促進(jìn)每一個學(xué)生全面和諧健康地發(fā)展。 說課到此結(jié)束，請各位專家多提寶貴意見！ 謝謝！