2019-2020年高二數(shù)學(xué)特征值與特征向量教案.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)特征值與特征向量教案.doc
2019-2020年高二數(shù)學(xué)特征值與特征向量教案變換的不變量(1)掌握矩陣特征值與特征向量的定義,能從幾何變換的角度說(shuō)明特征向量的意義。(2)會(huì)求二階方陣的特征值與特征向量(只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形)。引例:根據(jù)下列條件試判斷M是否與共線:M= ,非零向量= M= ,非零向量=M ,非零向量a,解: M= =3,所以M與共線。 M= =,而與不共線。 即此時(shí)M與不共線。M與共線。二、特征向量與特征值設(shè)二階矩陣A ,對(duì)于實(shí)數(shù)l,存在一個(gè)非零向量a,使得Aala,那么l稱為A的一個(gè)特征值,而a稱為A的屬于特征值l的一個(gè)特征向量。幾何觀點(diǎn):特征向量的方向經(jīng)過(guò)變換矩陣A的作用后,保持在同一直線上。l0方向不變;l0方向相反;l0,特征向量就被變換成零向量。代數(shù)方法:特征多項(xiàng)式例2 求初等變換矩陣的特征值與特征向量,并作出幾何解釋。例3 求矩陣M= 的特征值和特征向量:解:矩陣M的特征值滿足方程 =(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0解得,矩陣M的兩個(gè)特征值1=4,2=-2設(shè)屬于特征值1=4的特征向量為,則它滿足方程:(1+1)x+(-2)y=0 即:(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,則可取為屬于特征值1=4的一個(gè)特征向量。設(shè)屬于特征值1=-2的特征向量為,則它滿足方程:(2+1)x+(-2)y=0 即:(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 則可取為屬于特征值2=-2的一個(gè)特征向量。綜上所述:M= 有兩個(gè)特征值1=4,2=-2,屬于1=4的一個(gè)特征向量為,屬于2=-2的一個(gè)特征向量為。例3 已知:矩陣M= ,向量 = 求M3解:由上題可知1 =,2 =是矩陣M= 分別對(duì)應(yīng)特征值1=4,2=-2的兩個(gè)特征向量,而1與2不共線。又=3+=31+2M3= M3(31+2)=3 M31+ M32 =3131+232=343+(-2)3 =192-8=例4 已知M,b,試計(jì)算M50b例5 自然界生物種群的成長(zhǎng)受到多種條件因素的影響,比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競(jìng)爭(zhēng)、捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等。因此,它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系。但是,如果沒有任何限制,種群也會(huì)泛濫成災(zāi)。現(xiàn)假設(shè)兩個(gè)互相影響的種群X,Y隨時(shí)間段變化的數(shù)量分別為an,bn,并有關(guān)系式,其中a16,b14,試分析20個(gè)時(shí)段后這兩個(gè)種群的數(shù)量變化趨勢(shì)。