16二次根式教案

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1、第16章 二次根式 教材內(nèi)容 1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡(jiǎn)二次根式． 2．本單元在教材中的地位和作用： 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握＝（a≥0，b≥0），=； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減． 教學(xué)難點(diǎn) 1．對(duì)（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)

2、的理解；對(duì)等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及應(yīng)用． 2．二次根式的乘法、除法的條件限制． 3．利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式． 16．1 二次根式 第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解二次根式的概念。 2、利用（a≥0）的意義解答具體題目． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“（a≥0）”解決具體問(wèn)題． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題1：已知反比例函數(shù)y=，那

3、么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________． 問(wèn)題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90，那么AB邊的長(zhǎng)是__________． 二、探索新知 因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)． 1．-1有算術(shù)平方根嗎？ 2．0的算術(shù)平方根是多少？ 3．當(dāng)a<0，有意義嗎？ 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）． 分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0．

4、例2．當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 例3．當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2) (2)若+=0，求a2010+b2010的值． 五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)． 2．要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)． 課后反思： 16.1 二次根式(2) 第二課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（）2=a（a≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算

5、和化簡(jiǎn)． 2、通過(guò)復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（）2=a（a≥0）；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2=a（a≥0）及其運(yùn)用． 2．難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（）2=a（a≥0）． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）口答 1．什么叫二次根式？ 2．當(dāng)a≥0時(shí)，叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，有意義嗎？ 二、探究新知 （a≥0）是一個(gè)什

6、么數(shù)呢？ （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)． 做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空： （）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______； （）2=______；（）2=_______；（）2=_______． （）2=a（a≥0） 例1 計(jì)算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 三、鞏固練習(xí) 計(jì)算下列各式的值： （）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、應(yīng)用拓展 例2 計(jì)算：1．（）2（x≥0）；

7、 2．（）2 ； 3．（）2 ； 4．（）2 所以上面的4題都可以運(yùn)用（）2=a（a≥0）的重要結(jié)論解題． 例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）． 課后反思： 16.1 二次根式(3) 第三課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解=a（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)． 2、通過(guò)具體數(shù)據(jù)的解答，探究=a（a≥0），并利用這

8、個(gè)結(jié)論解決具體問(wèn)題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：＝a（a≥0）． 2．難點(diǎn)：探究結(jié)論． 3．關(guān)鍵：講清a≥0時(shí)，＝a才成立． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容； 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 3．()2＝a（a≥0）． 那么，我們猜想當(dāng)a≥0時(shí)，=a是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題． 二、探究新知 （學(xué)生活動(dòng)）填空： =___；=___；=___；=___；=___；=___．

9、 （老師點(diǎn)評(píng)）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；=． 因此，一般地：=a（a≥0） 例1 化簡(jiǎn) （1） （2） （3） （4） 四、應(yīng)用拓展 例2 填空：當(dāng)a≥0時(shí)，=_____；當(dāng)a<0時(shí)，=_______，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問(wèn)題． （1）若=a，則a可以是什么數(shù)？ （2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？ （3）>a，則a可以是什么數(shù)？ 例3當(dāng)x>2，化簡(jiǎn)-． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：=a（a≥0）及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，

10、＝－a的應(yīng)用拓展． 課后反思： 16．2 二次根式的乘除 第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn) 2、由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出＝（a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆向思維，得出=（a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 重點(diǎn)：＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及它們的運(yùn)用． 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出＝（a≥0，b≥0）． 關(guān)鍵：要講清（a<0,b<0）=，如=或==． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入

11、 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題． 1．填空 （1）=_______，=______； （2）=_______，=________． （3）=________，=_______． 參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝”填空． _____，_____，________ 2．利用計(jì)算器計(jì)算填空 （1）______，（2）______， （3）______，（4）______， （5）______． 老師點(diǎn)評(píng)（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤） 二、探索新知 （學(xué)生活動(dòng)）讓3、4個(gè)同

12、學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律． 老師點(diǎn)評(píng)：（1）被開(kāi)方數(shù)都是正數(shù)； （2）兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開(kāi)方數(shù)． 一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為 ＝．（a≥0，b≥0） 反過(guò)來(lái): =（a≥0，b≥0） 例1．計(jì)算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用＝（a≥0，b≥0）計(jì)算即可． 例2 化簡(jiǎn) （1） （2） （3） （4） （5） 三、鞏固練習(xí)

13、 （1）計(jì)算（學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng)） ① ②32 ③ (2) 化簡(jiǎn): ; ; ; ; 教材P11練習(xí)全部 四、應(yīng)用拓展 例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）＝=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及其運(yùn)用． 課后反思： 16．2 二次根式的乘除 第二課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算． 2、利用具體數(shù)據(jù)，通過(guò)學(xué)生練習(xí)活動(dòng)

14、，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題： 1．寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式． 2．填空 （1）=________，=_________； （2）=________，=________； （3）=________，=_________；

15、 （4）=________，=________． 規(guī)律：______；______；_______； _______． 二、探索新知 剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到： 一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定： =（a≥0，b>0）， 反過(guò)來(lái)，=（a≥0，b>0） 下面我們利用這個(gè)規(guī)定來(lái)計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目． 例1．計(jì)算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小題利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案． 例2．化簡(jiǎn)： （1） （2）

16、（3） （4） 分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的． 四、應(yīng)用拓展 例3．已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其運(yùn)用． 課后反思： 16.2 二次根式的乘除(3) 第三課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式． 2、通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來(lái)提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)最后結(jié)果是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的要求． 重難點(diǎn)關(guān)鍵

17、 1．重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書） 1．計(jì)算（1），（2），（3） 老師點(diǎn)評(píng)：=，=，= 2．現(xiàn)在我們來(lái)看本章引言中的問(wèn)題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________． 它們的比是． 二、探索新知 觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)： 1．被開(kāi)方數(shù)不含分母； 2．被

18、開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式． 我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式． 那么上題中的比是否是最簡(jiǎn)二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡(jiǎn)二次根式． 學(xué)生分組討論，推薦3～4個(gè)人到黑板上板書． 老師點(diǎn)評(píng)：不是． =. 例1．(1) ; (2) ; (3) 例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長(zhǎng)． 課后反思： 16.3 二次根式的加減(1) 第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、理解和掌握二次根式加減的方法． 2、先提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，在分析

19、問(wèn)題中，滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解．再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來(lái)指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教師點(diǎn)評(píng)：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并．同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減． 二、探索新知 學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式． （1）2+3

20、 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并． 例1．計(jì)算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并． 例2．計(jì)算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 四、應(yīng)用拓展 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式

21、的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并． 課后反思： 16.3 二次根式的加減(2) 第二課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題． 2、通過(guò)復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問(wèn)題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；第二步，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下

22、面我們講三道例題以做鞏固． 二、探索新知 例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．問(wèn)：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示） 分析：設(shè)x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值． 例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長(zhǎng)度． 四、應(yīng)

23、用拓展 例3．若最簡(jiǎn)根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．（同類二次根式就是被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把化簡(jiǎn)成|b|，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b． 課后反思 16.3 二次根式的加減(3) 第三課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算． 重難點(diǎn)關(guān)鍵

24、 重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律； 難點(diǎn)及關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題: 1．計(jì)算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2．計(jì)算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn)．它主要有（1）單項(xiàng)式單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式單項(xiàng)式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運(yùn)用． 二、探索新知

25、 如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立． 整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式． 例1．計(jì)算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律． 例2．計(jì)算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立． 四、應(yīng)用拓展 例3．已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b≠0， 化簡(jiǎn)+，并求值． 五、課后反思： 13