2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 12.11 正態(tài)分布教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 12.11 正態(tài)分布教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 研究正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值 【例1】 某正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù),而且該函數(shù)的最大值為,求總體位于區(qū)間[-4,-2]的概率. 【解析】由正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù)知μ=0,由最大值為知σ=2, 所以P(-2≤x≤2)=P(μ-σ≤x≤μ+σ)=0.682 6, P(-4≤x≤4)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)=0.954 4, 所以P(-4≤x≤-2)=(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 【點撥】應當熟記: P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.682 6; P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 4; P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997 4. 【變式訓練1】設X~N(1,22),試求: (1)P(-1<X≤3); (2)P(X≥5). 【解析】因為X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)因為P(X≥5)=P(X≤-3), 所以P(X≥5)=[1-P(-3<X≤5)] =[1-P(1-4<X≤1+4)] =[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] =(1-0.954 4)=0.022 8. 題型二 利用正態(tài)總體密度函數(shù)估計某區(qū)間的概率 【例2】 已知某地區(qū)數(shù)學考試的成績X~N(60,82)(單位:分),此次考生共有1萬人,估計在60分到68分之間約有多少人? 【解析】由題意μ=60,σ=8, 因為P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, 所以P(52<X≤68)=0.682 6, 又此正態(tài)曲線關于x=60對稱, 所以P(60<X≤68)=P(52<X≤68)=0.341 3, 從而估計在60分到68分之間約有341 3人. 【點撥】本題是教材變式題,將原題中單純(μ-σ,μ+σ)的概率考查結合了正態(tài)曲線的對稱性以及概率的意義,使題目更具實際意義.另外,還可將問題變?yōu)?44,76)、(68,76)等區(qū)間進行探討. 【變式訓練2】某人乘車從A地到B地,所需時間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100),求此人在40分鐘至50分鐘到達目的地的概率. 【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6知此人在20分鐘至40分鐘到達目的地的概率為0.682 6,又由于P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,所以此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達目的地的概率為0.954 4-0.682 6=0.271 8,由正態(tài)曲線關于直線x=30對稱得此人在40分鐘至50分鐘到達目的地的概率為0.135 9. 總結提高 1.服從正態(tài)分布的隨機變量X的概率特點 若隨機變量X服從正態(tài)分布,則X在一點上的取值概率為0,即P(X=a)=0,而{X=a}并不是不可能事件,所以概率為0的事件不一定是不可能事件,從而P(X<a)=P(X≤a)是成立的,這與離散型隨機變量不同. 2.關于正態(tài)總體在某個區(qū)間內取值的概率求法 (1)熟記P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. ①正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱,從而在關于x=μ對稱的區(qū)間上概率相同. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).- 配套講稿:
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