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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪 函數(shù)性質(zhì)與圖象教案
命題要點：1.函數(shù)的圖象：（1）函數(shù)圖象的畫法，（2）函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用。
2.函數(shù)的性質(zhì)：（1）函數(shù)的單調(diào)性，（2）函數(shù)的奇偶性，（3）函數(shù)的周期性。
命題趨勢：1.函數(shù)的圖象及其性質(zhì)是高考命題的一個核心內(nèi)容，高考一般從以下幾個方面進行考查：（1）對基本初等函數(shù)圖象的考查，包括對二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象的考查；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系；（3）函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，即以函數(shù)的圖象為背景求函數(shù)零點的個數(shù)或則判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間等。
2.近幾年高考對函數(shù)的性質(zhì)的考查主要集中在單調(diào)性、奇偶性、周期性，其考查更具有綜合性，常常以三個性質(zhì)綜合考查或則以其中兩個性質(zhì)進行綜合考查。解決此類綜合問題的關(guān)鍵是靈活運用基礎(chǔ)知識，熟練判斷函數(shù)奇偶性常用的方法、判斷函數(shù)單調(diào)性常用方法，牢記函數(shù)周期性的表達式以及半周期形式。
命題規(guī)律：1基本初等函數(shù)的圖象是高考中的重要考查點之一，是用來研究其他圖象的基礎(chǔ)，且是研究韓式性質(zhì)的重要工具，該類題多以選擇、填空為主，難度為中低檔題。
2.函數(shù)的基本性質(zhì)主要從兩個方面進行考查：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其周期的應(yīng)用，如應(yīng)用單調(diào)求值域、比較大小、解（證明）不等式等，運用定義或?qū)?shù)判斷或則證明函數(shù)的單調(diào)性等，多以簡答題的形式出現(xiàn)；（2）函數(shù)的奇偶性、周期性常和函數(shù)的單調(diào)性綜合，奇偶性和單調(diào)性相結(jié)合的題目常通過畫示意圖解決，周期性與三角函數(shù)相結(jié)合，以客觀題為主，一般為容易題，對綜合性簡答題，常通過研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等全面了解函數(shù)圖象的變化趨勢，畫出示意圖，從而研究函數(shù)的最值、極值、單調(diào)區(qū)間等，是解決函數(shù)最值，不等式恒成立問題的基本思路，一般以客觀題為主，難度為中高檔題。
題型分析：
類型一 函數(shù)及其表示
1．函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則．
2．同一函數(shù)：函數(shù)的三要素完全相同時，才表示同一函數(shù)．
[例1] (xx年高考江西卷)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
[解析] 利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分式型函數(shù)定義域的確定方法求解．
函數(shù)y＝的定義域為{x|x≠0}，選項A中由sin x≠0?x≠k，k∈Z，故A不對；選項B中x>0，故B不對；選項C中x∈R，故C不對；選項D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域為{x|x≠0}，故選D.
[答案] D
跟蹤訓(xùn)練
1．(xx年高考福建卷)設(shè)f(x)＝ ， g(x)＝ 則f(g())的值為( )
A．1 B．0
C．－1 D．
解析：根據(jù)題設(shè)條件，∵π是無理數(shù)，∴g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案：B
2．設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，則f(x)的值域是( )
A．[－，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[－，0]∪(2，＋∞)
解析：令x
0，解得x<－1或x>2；
令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.
故函數(shù)f(x)＝
當x<－1或x>2時，函數(shù)f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；
當－1≤x≤2時，函數(shù)f()≤f(x)≤f(－1)，
即－≤f(x)≤0.
故函數(shù)f(x)的值域是[－，0]∪(2，＋∞)．
答案：D
3. (xx天津耀華中學(xué)月考)(1)已知f(x)的定義域為，求函數(shù)y＝f的定義域；
(2)已知函數(shù)f(3－2x)的定義域為[－1,2]，求f(x)的定義域．
解 (1)令x2－x－＝t，
知f(t)的定義域為，
∴－≤x2－x－≤，
整理得?
∴所求函數(shù)的定義域為∪.
(2)用換元思想，令3－2x＝t，
f(t)的定義域即為f(x)的定義域，
∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，
故f(x)的定義域為[－1,5]．
方法總結(jié)：
(1)解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域．
(2)用換元法解題時，應(yīng)注意換元前后的等價性．
（3）求復(fù)合函數(shù)y＝f(t)，t＝q(x)的定義域的方法：
①若y＝f(t)的定義域為(a，b)，則解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域．
類型二 函數(shù)的圖象
1．圖象的作法
(1)描點法．
(2)圖象變換法：平移變換、伸縮變換、對稱變換．
2．若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱，則f(x＋a)＝f(a－x)．
[例2] (xx年高考湖北卷)已知定義在區(qū)間[0，2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為( )
[解析] 解法一 由y＝f(x)的圖象寫出f(x)的解析式．
由y＝f(x)的圖象知f(x)＝
當x∈[0，2]時，2－x∈[0，2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝圖象應(yīng)為B.
解法二 利用特殊點確定圖象．
當x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
當x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
觀察各選項，可知應(yīng)選B.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
1.(xx年高考課標全國卷)已知函數(shù)f(x)＝，則y＝f(x)的圖象大致為( )
解析：結(jié)合函數(shù)的圖象，利用特殊函數(shù)值用排除法求解．
當x＝1時，y＝<0，排除A；當x＝0時，y不存在，排除D；當x從負方向無限趨近0時，y趨向于－∞，排除C，選B.
答案：B
2.(xx山東)函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是( )．
解析 當x＞0時，2x＝x2有兩根x＝2,4；當x＜0時，根據(jù)圖象法易得到y(tǒng)＝2x與y＝x2有一個交點，則y＝2x－x2在R上有3個零點，故排除B、C；當x→－∞時，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故選A.
答案 A
3. (xx湖北)若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點，則b的取值范圍是( )．
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C．[1－2，3] D．[1－，3]
解析 在同一坐標系下畫出曲線y＝3－(注：該曲線是以點C(2,3)為圓
心、2為半徑的圓不在直線y＝3上方的部分)與直線y＝x的圖象，平移該直線，結(jié)合圖形分析可知，當直線沿y軸正方向平移到點(0,3)的過程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y＝3－都有公共點；注意到與y＝x平行且過點(0,3)的直線的方程是y＝x＋3；當直線y＝x＋b與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時(圓不在直線y＝3上方的部分)，有＝2，b＝1－2.結(jié)合圖形可知，滿足題意的只有C選項．
答案 C
方法總結(jié)：明確函數(shù)圖象形狀和位置的方法大致有以下三種途徑．
(1)圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換．
(2)函數(shù)解析式的等價變換．
(3)研究函數(shù)的性質(zhì)．
類型三 函數(shù)的性質(zhì)
1．單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系
奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．
2．若奇函數(shù)的定義域有0，則必有f(0)＝0，但f(0)＝0是f(x)為奇函數(shù)的必要不充分條件．
3．周期性的幾個常用結(jié)論
(1)若f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期；
(2)若f(x＋a)＝(a>0)，則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期；
（3）若f(x＋a)＝－，則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期
(4)若f(x)是偶函數(shù)且關(guān)于x＝a(a>0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期．
[例3] (xx年高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338
C．1 678 D．2 012
[解析] 利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解．
∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；
當－1≤x<3時，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1335.
而f(2 011)＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＝3，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝335＋3＝338.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
1.(xx年高考江蘇卷)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝，其中a，b∈R.若f()＝f()，則a＋3b的值為________．
解析：由f(x)的周期為2，得f()＝f(－)是關(guān)鍵．
因為f(x)的周期為2，
所以f()＝f(－2)＝f(－)，
即f()＝f(－)．
又因為f(－)＝－a＋1，f()＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)．①
又因為f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝，
即b＝－2a.②
將②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3(－4)＝－10.
答案：－10
方法總結(jié)：1.判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法．
2. 函數(shù)單調(diào)性的判斷
(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論．
(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)．
(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性．
經(jīng)典作業(yè)：
1.(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域為( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析 ∵3x＋1＞1，
∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.
答案 A
2．(xx江西)若f(x)＝，則f(x)的定義域為( )．
A. B.
C. D．(0，＋∞)
解析 由log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，
解得－＜x＜0.
答案 A
3. (xx陜西)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( )．
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析 根據(jù)規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，即余數(shù)分別為7、8、9時可增選一名代表．因此利用取整函數(shù)可表示為y＝.故選B.
答案 B
4. (xx廣東茂名一模)設(shè)f(x)＝則f[f(2)]的值為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2e0＝2，∴f[f(2)]＝2.
5. (xx陜西理)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實數(shù)a等于( )
A. B.
C．2 D．9
[答案] C
[解析] f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
6. (人教A版教材習題改編)為了得到函數(shù)y＝lg的圖象，只需把函數(shù)y＝lg x的圖象上所有的點( )．
A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
解析 y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的圖象向左平移3個單位長度，向下平移1個單位長度而得到．
答案 C
7. (xx安徽)若點(a，b)在y＝lg x圖象上，a≠1，則下列點也在此圖象上的是( )
A. B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
解析 本題主要考查對數(shù)運算法則及對數(shù)函數(shù)圖象，屬于簡單題．當x＝a2時，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以點(a2,2b)在函數(shù)y＝lg x圖象上．
答案 D
8. (xx陜西)函數(shù)y＝x的圖象是( )．
解析 該題考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決此類問題首先是考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是奇偶性和單調(diào)性，再與函數(shù)y＝x比較即可．
由(－x)＝－x知函數(shù)是奇函數(shù)．同時由當0＜x＜1時，x＞x，當x＞1時，x＜x，知只有B選項符合．
答案 B
9. (xx湖南)已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為( )．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析 函數(shù)f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必須使得－x2＋4x－3＞－1.即x2－4x＋2＜0，解得2－＜x＜2＋.
答案 B
10. (xx保定一中質(zhì)檢)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f1，不等式等價于解得－10，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)時的x的取值范圍．
解：(1)當a>0，b>0時，任取x1，x2∈R，且x10?a(2x1－2 x2)<0,3 x1<3 x2，b>0?b(3x1－3 x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．
同理，當a<0，b<0時，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a2x＋2b3x>0
當a<0，b>0時，x>－，
則x>log1.5；
當a>0，b<0時， x <－，
則x
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函數(shù)性質(zhì)與圖象教案
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