2019-2020年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（1）教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（1）教案 新人教A版 教學(xué)分析 課本從引進(jìn)函數(shù)概念開(kāi)始就比較注重函數(shù)的不同表示方法:解析法,圖象法,列表法.函數(shù)的不同表示方法能豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí),幫助理解抽象的函數(shù)概念.特別是在信息技術(shù)環(huán)境下,可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn),使學(xué)生通過(guò)函數(shù)的學(xué)習(xí)更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想方法.因此,在研究函數(shù)時(shí),要充分發(fā)揮圖象的直觀作用.在研究圖象時(shí),又要注意代數(shù)刻畫(huà)以求思考和表述的精確性.課本將映射作為函數(shù)的一種推廣,這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化.這樣處理,主要是想較好地銜接初中的學(xué)習(xí),讓學(xué)生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念,同時(shí),也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過(guò)程. 三維目標(biāo) 1.了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、解析法),會(huì)根據(jù)不同實(shí)際情境選擇合適的方法表示函數(shù),樹(shù)立應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想. 2.通過(guò)具體實(shí)例,了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用,提高應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 3.會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的圖象解決問(wèn)題的能力. 4.了解映射的概念及表示方法,會(huì)利用映射的概念來(lái)判斷“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是否是映射,感受對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)和映射概念中的作用,提高對(duì)數(shù)學(xué)高度抽象性和廣泛應(yīng)用性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí). 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)的三種表示方法,分段函數(shù)和映射的概念. 教學(xué)難點(diǎn):分段函數(shù)的表示及其圖象,映射概念的理解;運(yùn)用集合兩種常用表示——列舉法與描述法. 課時(shí)安排 3課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.語(yǔ)言是溝通人與人之間的聯(lián)系的,同樣的祝福又有著不同的表示方法.例如,簡(jiǎn)體中文中的“生日快樂(lè)！”用繁體中文為:生日快樂(lè)！英文為:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中稱iFeliz CumpleaRos!印度尼西亞文是Selamat Ulang Tahun！荷蘭文的生日快樂(lè)為Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄語(yǔ)中則是С днем рождения!……那么對(duì)于函數(shù),又有什么不同的表示方法呢？引出課題:函數(shù)的表示法. 思路2.我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義,函數(shù)的定義域的求法,函數(shù)值的求法,兩個(gè)函數(shù)是否相同的判定方法,那么函數(shù)的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題(板書(shū)課題). 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 初中學(xué)過(guò)的三種表示法:解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數(shù)的？ 討論結(jié)果：(1)解析法:用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,這種表示方法叫做解析法,這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做函數(shù)的解析式. (2)圖象法:以自變量x的取值為橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出各個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)構(gòu)成了函數(shù)的圖象,這種用圖象表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法. (3)列表法:列一個(gè)兩行多列的表格,第一行是自變量的取值,第二行是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,這種用表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法. 應(yīng)用示例 思路1 1.某種筆記本的單價(jià)是5元,買(mǎi)x(x∈{1,2,3,4,5})個(gè)筆記本需要y元,試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x). 活動(dòng)：學(xué)生思考函數(shù)的表示法的規(guī)定.注意本例的設(shè)問(wèn),此處“y=f(x)”有三種含義,它可以是解析表達(dá)式,可以是圖象,也可以是對(duì)應(yīng)值表.本題的定義域是有限集,且僅有5個(gè)元素. 解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5}, 用解析法可將函數(shù)y=f(x)表示為 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}. 用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為 筆記本數(shù)x 1 2 3 4 5 錢(qián)數(shù)y 5 10 15 20 25 用圖象法可將函數(shù)y=f(x)表示為圖1-2-2-1. 圖1-2-2-1 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的三種表示法.解析法的特點(diǎn)是:簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系;可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,便于用解析式來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì),還有利于我們求函數(shù)的值域;圖象法的特點(diǎn)是:直觀形象地表示自變量的變化,相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì),有利于我們通過(guò)圖象來(lái)研究函數(shù)的某些性質(zhì),圖象法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用,如企業(yè)生產(chǎn)圖,股市走勢(shì)圖等;列表法的特點(diǎn)是:不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,列表法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛的應(yīng)用,如銀行利率表、列車(chē)時(shí)刻表等等.但是并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示,只有函數(shù)值隨自變量的變化發(fā)生有規(guī)律的變化時(shí),這樣的函數(shù)才可能有解析式,否則寫(xiě)不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:張丹的年齡n(n∈N*)每取一個(gè)值,那么他的身高y(單位:cm)總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),因此身高y是年齡n的函數(shù)y=f(n),但是這個(gè)函數(shù)的解析式不存在,函數(shù)y=f(n)不能用解析法來(lái)表示. 注意：①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等; ②解析法:必須注明函數(shù)的定義域,否則使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍是函數(shù)的定義域; ③圖象法:根據(jù)實(shí)際情境來(lái)決定是否連線; ④列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征. 變式訓(xùn)練 1.已知函數(shù)f(x)在［-1,2］上的圖象如圖1-2-2-2所示,求f(x)的解析式. 圖1-2-2-2 解：觀察圖象,知此函數(shù)是分段函數(shù),并且在每段上均是一次函數(shù),利用待定系數(shù)法求出解析式為: 當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=x+1; 當(dāng)0, 即水深為一半時(shí),實(shí)際注水量大于水瓶總水量的一半. A中V′<,C、D中V′=,故排除A、C、D. 答案：B 思路2 1.xx寧夏銀川一模,理14已知f()=,則f(x)=________. 活動(dòng)： 學(xué)生思考函數(shù)的解析式表達(dá)的含義.設(shè)=t,利用換元法,轉(zhuǎn)化為求f(t).利用整體思想把看成一個(gè)整體,即可得函數(shù)的解析式.要注意函數(shù)f(t)與f(x)是同一個(gè)函數(shù). 分析: 可設(shè)=t,則有x=, 所以f(t)==, 所以f(x)=. 答案： 變式訓(xùn)練 課本P26練習(xí)1. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式.已知f［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式時(shí),通常用換元法,其步驟是:①設(shè)g(x)=t;②把t看成常數(shù),解關(guān)于x的方程g(x)=t得x=h(t);③將x=h(t)代入φ(x),得函數(shù)f(t)的解析式;④再用x替換f(t)的解析式中的t得函數(shù)f(x)的解析式. 其實(shí)求函數(shù)的解析式方法很多,例如方程法:對(duì)于已知等式中出現(xiàn)兩個(gè)不同變量的函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)這兩個(gè)變量的關(guān)系,重新建立關(guān)于這兩個(gè)變量的不同等式,利用整體思想,把f(x)和另一個(gè)函數(shù)看成未知數(shù),解方程組得函數(shù)f(x)的解析式.類(lèi)似于解二元一次方程組,故稱為方程法.待定系數(shù)法:已知函數(shù)的模型求其解析式時(shí),常用待定系數(shù)法. 2.已知函數(shù)f(x)=. (1)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象; (2)觀察圖象寫(xiě)出函數(shù)的定義域和值域. 活動(dòng)：學(xué)生思考函數(shù)圖象的畫(huà)法.利用變換法畫(huà)函數(shù)f(x)的圖象,利用圖象法寫(xiě)出函數(shù)的定義域和值域.形如函數(shù)y=(c≠0,a2+b2≠0)的圖象均可由反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)平移得到,因此函數(shù)y=(c≠0,a2+b2≠0)的圖象形狀是雙曲線. 解：(1)y===. 將y=的圖象向左平移兩個(gè)單位得y=的圖象,再向上平移三個(gè)單位得y=+3的圖象. 圖象如圖1-2-2-7所示. 圖1-2-2-7 (2)觀察函數(shù)的圖象圖1-2-2-7, 可知圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,-2)∪(-2,+∞), 圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,3)∪(3,+∞). 則函數(shù)的定義域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞). 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域、值域和圖象.畫(huà)不熟悉的函數(shù)的圖象,可以變形成由基本函數(shù),利用變換法畫(huà)出圖象,但要注意變形過(guò)程是否等價(jià),注意x,y的變化范圍.因此必須熟記基本初等函數(shù)的圖象,如:正、反比例函數(shù),一次、二次函數(shù)的圖象,在變換函數(shù)的解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的思想. 求函數(shù)值域的方法: ①圖象法,借助于函數(shù)值域的幾何意義,利用函數(shù)的圖象求值域; ②觀察法,對(duì)于解析式比較簡(jiǎn)單的函數(shù),利用常見(jiàn)的結(jié)論如x2≥0,|x|≥0,x≥0等觀察出函數(shù)的值域; ③換元法,利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見(jiàn)函數(shù)如二次函數(shù)的值域等. 注意：討論函數(shù)的值域要先考慮函數(shù)的定義域,本例中(1)如果忽視函數(shù)的定義域,那么會(huì)錯(cuò)誤地得函數(shù)值域?yàn)椋?1,+∞).避免此類(lèi)錯(cuò)誤的方法是研究函數(shù)時(shí)要遵守定義域優(yōu)先的原則. 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1. 分析:本題主要考查函數(shù)的值域及其求法.(1)借助于函數(shù)值域的幾何意義,利用函數(shù)的圖象求值域;(2)觀察得x4≥0,得函數(shù)的值域,也可以利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域. (1)解：(圖象法)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-2x(-1≤x≤2)的圖象,如圖1-2-2-8所示: 圖1-2-2-8 函數(shù)y=x2-2x(-1≤x≤2)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍就是函數(shù)的值域,觀察圖象知函數(shù)的值域是［-1,3］. (2)解法一：(觀察法)函數(shù)的定義域是R,則x4≥0,有x4+1≥1,即函數(shù)y=x4+1的值域是［1,+∞). 解法二：(換元法)函數(shù)的定義域是R,設(shè)x2=t,則t≥0,則有y=t2+1.利用圖象可求得當(dāng)t≥0時(shí),二次函數(shù)y=t2+1的值域是［1,+∞),即函數(shù)y=x4+1的值域是［1,+∞). 3.車(chē)管站在某個(gè)星期日保管的自行車(chē)和電動(dòng)車(chē)共有3 500輛次,其中電動(dòng)車(chē)保管費(fèi)是每輛一次0.5元,自行車(chē)保管費(fèi)是每次一輛0.3元. (1)若設(shè)自行車(chē)停放的輛次數(shù)為x,總的保管費(fèi)收入為y元,試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)若估計(jì)前來(lái)停放的3 500輛次自行車(chē)中,電動(dòng)車(chē)的輛次不小于25%,但不大于40%,試求該保管站這個(gè)星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍. 活動(dòng)：讓學(xué)生審清題意讀懂題.求解析式時(shí)不要忘記函數(shù)的定義域,要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.然后再根據(jù)解析式列不等式求解.總的保管費(fèi)=自行車(chē)保管費(fèi)+電動(dòng)車(chē)保管費(fèi). 解：(1)由題意得 y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500. (2)若電動(dòng)車(chē)的輛次不小于25%,但不大于40%, 則3500(1-40%)≤x≤3 500(1-25%), 即2100≤x≤2 625, 畫(huà)出函數(shù)y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的圖象,可得 函數(shù)y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］, 即收入在1225元至1330元之間. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式和值域,以及應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟是①審清題意讀懂題;②恰當(dāng)設(shè)未知數(shù);③列出函數(shù)解析式,并指明定義域;④轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,并解決函數(shù)問(wèn)題;⑤將數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案還原為實(shí)際答案. 變式訓(xùn)練 xx山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)級(jí)第一次診斷性測(cè)試,文13水池有2個(gè)進(jìn)水口,1個(gè)出水口,每個(gè)水口進(jìn)出水的速度如圖1-2-2-9甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖1-2-2-9丙所示(至少打開(kāi)一個(gè)水口). 圖1-2-2-9 給出以下三個(gè)論斷: ①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水; ②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水; ③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水; 其中一定正確的論斷是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 分析:由圖1229甲可看出,如果進(jìn)水口與出水口同時(shí)打開(kāi),每個(gè)進(jìn)水口的速度為出水口速度的一半,即v進(jìn)水=v出水;由圖丙可看出在0點(diǎn)到3點(diǎn)之間蓄水量以速度2勻速增加,所以在此時(shí)間段內(nèi)一定是兩個(gè)進(jìn)水口均打開(kāi),出水口關(guān)閉,故①正確.由圖丙可看出在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間蓄水量以速度1勻速減少,所以在此時(shí)間段內(nèi)一定是一個(gè)進(jìn)水口打開(kāi),出水口打開(kāi),故②不正確.由圖丙可看出在4點(diǎn)到6點(diǎn)之間蓄水量不變,所以在此時(shí)間段內(nèi)一定是兩個(gè)進(jìn)水口打開(kāi),出水口打開(kāi),或者兩個(gè)進(jìn)水口關(guān)閉,出水口關(guān)閉,故③不正確.綜上所述論斷僅有①正確. 答案：A 知能訓(xùn)練 課本P23練習(xí)2、3. 【補(bǔ)充練習(xí)】 1.等腰三角形的周長(zhǎng)是20,底邊長(zhǎng)y是一腰長(zhǎng)x的函數(shù),則( ) A.y=10-x(00.∴x<10.由構(gòu)成三角形的條件(兩邊之和大于第三邊)可知2x>20-2x,得x>5,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|50)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x+a)的圖象; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移a(a>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x-a)的圖象; (3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移b(b>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x)+b的圖象; (4)將函數(shù)y=f(x)的圖象向下平移b(b>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x)-b的圖象. 簡(jiǎn)記為“左加(+)右減(-),上加(+)下減(-)”. 2.對(duì)稱變換: (1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0即y軸對(duì)稱; (2)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于直線x=0即x軸對(duì)稱; (3)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 3.翻折變換: (1)函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以將函數(shù)y=f(x)的圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方,去掉原x軸下方部分,并保留y=f(x)的x軸上方部分即可得到. (2)函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以將函數(shù)y=f(x)的圖象y軸右邊部分翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y=f(x)在y軸右邊部分圖象即可得到. 函數(shù)的圖象是對(duì)函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示,可以直觀地顯示出函數(shù)的變化狀況及其特性,它是研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的重要參考,也是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想研究和運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).另一方面,函數(shù)的一些特性又能指導(dǎo)作圖,函數(shù)與圖象是同一事物的兩個(gè)方面,是函數(shù)的不同表現(xiàn)形式.函數(shù)的圖象可以比喻成人的相片,觀察函數(shù)的圖象可以解決研究其性質(zhì),當(dāng)然,也可以由函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的特點(diǎn).借助函數(shù)的圖象來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題,函數(shù)的圖象問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)之一,應(yīng)引起重視. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了:函數(shù)的三種表示方法,在具體的實(shí)際問(wèn)題中能夠選用恰當(dāng)?shù)谋硎痉▉?lái)表示函數(shù). 作業(yè) 課本P24習(xí)題1.2A組7、8、9. 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)容量較大,盡量借助于信息技術(shù)來(lái)完成.本節(jié)的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是函數(shù)的三種表示方法,提出了表示法的應(yīng)用,特別是用圖象法求函數(shù)的值域,并對(duì)求函數(shù)值域的方法進(jìn)行了總結(jié)以滿足高考的要求.