高中數(shù)學 第二章231直線與平面垂直的判定導學案 新人教A版必修2

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1、 2.3　直線、平面垂直的判定及其性質 2.3.1　直線與平面垂直的判定 問題導學 一、直線與平面垂直的證明 活動與探究1 如圖所示，Rt△ABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點． (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC． 遷移與應用 1．一直線和三角形兩邊所在直線都垂直，則該直線和三角形所在平面的位置關系是__________． 2．在三棱錐V－ABC中，VA＝VC，BA＝BC，O是AC的中點，則AC與平面VOB的關系是________． 利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直，就是在平面內

2、找(或作)兩條相交直線，再證明已知直線與這兩條相交直線都垂直． 二、直線與平面垂直定義的應用 活動與探究2 如下圖，已知AP⊥⊙O所在平面，AB為⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，過點A作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC． 遷移與應用 1．如圖，P為△ABC所在平面外的一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則PA與BC的關系是__________． 2．如下圖，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B．求證：CD⊥AB． 在立體幾何中，為證兩直線垂直，常需證明一條直線與另一條直線所在的平面垂直．這體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉化，也是

3、證明兩直線垂直的重要方法． 三、直線與平面所成的角 活動與探究3 如圖所示，Rt△BMC中，斜邊BM=5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60，求MC與平面CAB所成角的正弦值． 遷移與應用 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值． 求斜線與平面所成角的步驟： ①尋找過直線上一點與平面垂直的直線； ②連接垂足和斜足得出射影，確定出所求角； ③把該角放入三角形中計算． 當堂檢測 1．下列命題中正確的個數(shù)是(　　) ①如果直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α； ②如果直

4、線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α； ③如果直線l不垂直于α，則α內沒有與l垂直的直線； ④如果直線l不垂直于α，則α內也可以有無數(shù)條直線與l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 3．直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關系為(　　) A．a⊥b，且a與b相交 B．a⊥b，且a與b不相交 C．a⊥b D．

5、a與b不一定垂直 4．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為__________． 5．如圖，在△ABC中，∠C＝90，若PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)為__________． 提示：用最精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記． 答案： 課前預習導學 【預習導引】 1．任意一條　垂直　l⊥α　垂線　垂面　垂足 預習交流1　(1)提示：不一定．若平面內的無數(shù)條直線是平行的，則直線l與平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不

6、垂直，也可能直線l在平面內． (2)提示：l⊥a． 2．(1)兩條相交直線　(3)a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b 預習交流2　(1)提示：定理中“相交”二字不可去掉，否則直線與平面不一定垂直． (2)提示：設法在平面內找(或作)兩條相交直線與已知直線垂直． 3．(1)斜線　斜足　(2)垂足O和斜足A　(3)射影　銳角　(4)直角　0　0≤θ≤90 課堂合作探究 【問題導學】 活動與探究1　思路分析：由于D是AC中點，SA＝SC，則SD是△SAC的高，可證△SDB≌△SDA．由AB＝BC，則Rt△ABC是等腰直角三角形，則BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可得證．

7、 證明：(1)∵SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS． ∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC． (2)∵BA＝BC，D為AC的中點，∴BD⊥AC． 又由(1)知SD⊥BD， 于是BD垂直于平面SAC內的兩條相交直線．∴BD⊥平面SAC． 遷移與應用　1．垂直 2．AC⊥平面VOB 活動與探究2　思路分析：要證AE⊥平面PBC，∵AE⊥PC，只需證AE⊥BC； 要證AE⊥BC，只需證BC⊥平面PAC． 證明：∵PA⊥⊙O所在平面，而BC在⊙O所在平面內，∴PA⊥BC． 又∵AB為

8、⊙O直徑，∴AC⊥BC． 又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC， ∴BC⊥AE． 又∵AE⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AE⊥平面PBC． 遷移與應用　1．垂直 2．證明：∵EA⊥α，CD?α， 根據直線和平面垂直的定義，則有CD⊥EA．同樣，∵EB⊥β，CD?β，則有EB⊥CD． 又EA∩EB＝E， ∴CD⊥平面AEB．又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB． 活動與探究3　解：由題意知，A是M在平面ABC內的射影， ∴MA⊥平面ABC．∴MC在平面CAB內的射影為AC． ∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角． 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠

9、MBC＝60，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60＝5＝． 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3． 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝．即MC與平面CAB所成角的正弦值為． 遷移與應用　解：取AA1的中點M，連接EM，BM．因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD．又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1， 從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角． 設正方體的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為． 【當堂檢測】 1．B　2．B　3．C　4．　5．4 4