2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第十三章導(dǎo)數(shù)13.3 導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題教案 （文） 新人教A版.doc

2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第十三章導(dǎo)數(shù)13.3 導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題教案 （文） 新人教A版鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.若函數(shù)f(x)有導(dǎo)數(shù),它的極值可在方程f(x)=0的根處來(lái)考察,求函數(shù)y=f(x)的極值方法如下: (1)求導(dǎo)數(shù)f(x)； (2)求方程f(x)=0的根； (3)檢查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的值的符號(hào),如果左負(fù)右正,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左正右負(fù),那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極大值. 2.設(shè)y=f(x)是一多項(xiàng)式函數(shù),比較函數(shù)在閉區(qū)間a,b內(nèi)所有的極值,以及f(a)和f(b),最大者為最大值,最小者為最小值. 二、點(diǎn)擊雙基1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)( )A.無(wú)極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值點(diǎn) B.有三個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)C.有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn) D.有四個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn)解析:根據(jù)圖象,用極值的定義直接判斷,得出答案.答案:C2.函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則( )A.b>0 B.0<b<1 C.b<1 D.b<解析:利用導(dǎo)數(shù),由題設(shè)可得f(x)=3x2-3b,若該函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值時(shí),只需該二次函數(shù)的較大根在此區(qū)間內(nèi)即可,即0<<1,從而有0<b<1成立.選項(xiàng)為B.答案:B3.如圖所示曲線是函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的大致圖象,則x12+x22等于( )A. B. C. D.解析:由圖可知0,-1,2是方程f(x)=0的根, 所以b=-1,c=-2,d=0. 所以f(x)=x3-x2-2x,f(x)=3x2-2x-2. 又x1、x2是方程f(x)=0的根, 所以 所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=+=.故選C.答案:C4.已知函數(shù)y=x3+ax2+bx+27在x=-1處有極大值,在x=3處有極小值,則a+b=_.解析:y=3x2+2ax+b,-1、3是3x2+2ax+b=0的兩根,a=-3,b=-9.答案:-125.已知f(x)=2x3-6x2+a(a為常數(shù))在-2,2上有最小值3,那么f(x)在-2,2上的最大值是_.解析:令f(x)=6x2-12x=0,則x=0或x=2.因f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40, 故a=43.-2,2上最大值為f(x)max=f(0)=43.答案:43誘思實(shí)例點(diǎn)撥【例1】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=1處取得極值.(1)討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(2)過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程.剖析:(1)分析x=1處的極值情況,關(guān)鍵是分析x=1左右f(x)的符號(hào). (2)要分清點(diǎn)A(0,16)是否在曲線上.解:(1)f(x)=3ax2+2bx-3，依題意，f(1)=f(-1)=0，即 解得a=1,b=0. f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1,x=1. 若x(-,-1)(1,+)，則f(x)0, 故f(x)在(-，-1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，+)上是增函數(shù). 若x(-1,1)，則f(x)0，故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù). f(-1)=2是極大值,f(1)=-2是極小值. (2)曲線y=x3-3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)M(x0,y0),則y0=x03-3x0. f(x0)=3x02-3, 切線方程為y-y0=3(x02-1)(x-x0).代入A(0,16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0). 解得x0=-2,M(-2,-2),切線方程為9x-y+16=0.講評(píng):過(guò)已知點(diǎn)求切線,當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí),求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.鏈接提示 求函數(shù)的極值可分以下幾條:(1)求出可能的點(diǎn),即f(x)=0的解x0與不可導(dǎo)點(diǎn);(2)用確定極值的方法確定極值;(3)在a,b上的最值的求法:將(a,b)內(nèi)的極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的為最大值,最小的為最小值;當(dāng)f(x)在(a,b)內(nèi)有一個(gè)可能的點(diǎn)時(shí),若在這一點(diǎn)處的f(x)有極大(小)值,則可以確定f(x)在該點(diǎn)處取到最大(小)值.【例2】已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極值2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)于任意x1、x2-1,1,不等式|f(x1)-f(x2)|m,求m的最小值.剖析:(1)由題設(shè)條件易求得a、c、d的值.因此由f(x)>0和f(x)<0可求f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)若對(duì)于任意x1、x2-1,1,不等式|f(x1)-f(x2)|m恒成立,即|f(x1)-f(x2)|是函數(shù)f(x)的最大值和最小值之差的絕對(duì)值.因此,這一問(wèn)主要是f(x)在-1,1上的最大值和最小值.解:(1)由f(-x)=-f(x),xR,f(0)=0,即d=0. f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c. 由題設(shè)f(-1)=2為f(x)的極值,必有f(-1)=0. 解得a=1,c=-3. f(x)=x3-3x. f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)>0,解得x>1或x<-1. f(x)<0,解得-1<x<1. f(x)在(-,-1)(1,+)上單調(diào)遞增, 在(-1,1)上單調(diào)遞減. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x在-1,1上是減函數(shù)且f(x)在-1,1上的最大值M=f(-1)=2,最小值N=f(1)=-2. 對(duì)任意的x1、x2-1,1,恒有|f(x1)-f(x2)|M-N=2-(-2)=4. m的最小值為4.講評(píng):由奇函數(shù)定義可知當(dāng)x=0時(shí),則有f(0)=0,即函數(shù)過(guò)原點(diǎn).對(duì)于本題的第(2)問(wèn),是恒成立問(wèn)題,只需使m的最小值|f(x1)-f(x2)|即可.【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx+p在(-,0上是增函數(shù),在0,2上是減函數(shù),x=2是方程f(x)=0的一個(gè)根.(1)求n的值；(2)求證:f(1)2.剖析:由題知x=0是極值點(diǎn),那么另一個(gè)極值點(diǎn)在哪兒呢?是x=2嗎?不一定.會(huì)在x=2的哪一側(cè)呢?(1)解:f(x)=3x2+2mx+n. f(x)在(-,0)上是增函數(shù),在0,2上是減函數(shù), 當(dāng)x=0時(shí),f(x)取到極大值. f(0)=0.n=0.(2)證明:f(2)=0,p=-4(m+2). f(x)=3x2+2mx=0的兩個(gè)根分別為x1=0,x2=-, 函數(shù)f(x)在0,2上是減函數(shù), x2=-2. m-3. f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m2.講評(píng):此題學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn).再證f(1)2時(shí),首先將f(1)化成關(guān)于m的式子,知道m(xù)的范圍,便可證之.【例4】對(duì)于函數(shù)y=f(x)(xD)若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件,則稱f(x)為D上的閉函數(shù).f(x)在D上為單調(diào)函數(shù)；存在閉區(qū)間a,bD,使f(x)在a,b上的值域也是a,b.(1)求閉函數(shù)y=-x3符合上述條件的區(qū)間a,b；(2)若f(x)=x3-3x2-9x+4,判斷f(x)是否為閉函數(shù).剖析:這是個(gè)知識(shí)遷移題,這類(lèi)問(wèn)題一般是考查學(xué)生的類(lèi)比猜想能力、探索問(wèn)題的能力.解:(1)y=-x3,y=-3x20. 函數(shù)y=-x3為減函數(shù). 故即 故所求閉區(qū)間為-1,1. (2)f(x)=3x2-6x-9.由f(x)0,得x3或x-1. 由f(x)0,得-1x3.f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).故f(x)不是閉函數(shù).講評(píng):這類(lèi)問(wèn)題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn),很能考查學(xué)生分析問(wèn)題、探索問(wèn)題的潛在的能力.