2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2-3 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系教案 新人教A版選修1-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2-3 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系教案 新人教A版選修1-1三維目標(biāo)1.知識與技能初步理解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式；初步理解四種命題間的相互關(guān)系并能判斷命題的真假2過程與方法培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，勇于探索的創(chuàng)新意識，感受探索的樂趣重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：四種命題之間相互的關(guān)系難點(diǎn)：正確區(qū)分命題的否定形式及否命題通過一個(gè)生活中的場景引出邏輯在生活中必不可少的重要地位，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)四種命題的興趣，然后主要通過對概念的講解和分析，并配以適量的課堂練習(xí)，讓學(xué)生掌握四種命題的概念，會寫四種命題，并掌握四種命題之間的關(guān)系以及通過逆否命題來判斷命題的真假；最后運(yùn)用所學(xué)命題知識解決實(shí)際生活中的問題，讓學(xué)生學(xué)會用理性的邏輯推理能力思考問題，從而突破重難點(diǎn)(教師用書獨(dú)具)教學(xué)建議 這節(jié)內(nèi)容是以概念的理解和關(guān)系的思辨為主的，因此采用以講解和練習(xí)強(qiáng)化為主要方法，并在講解過程中引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生充分地思考和動手演練宜采取的教學(xué)方法：(1)啟發(fā)式教學(xué)這能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動建構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；(2)講練結(jié)合法這樣更能突出重點(diǎn)、解決難點(diǎn)，讓學(xué)生的分析問題和解決問題的能力得到進(jìn)一步的提高學(xué)習(xí)方法：(1)由特殊到一般的化歸方法：學(xué)習(xí)中學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過具體的實(shí)例，讓學(xué)生去觀察、討論、探索、分析、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括；(2)講練結(jié)合法：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重生在運(yùn)用，從而檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距并及時(shí)加以補(bǔ)救通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解命題的四種形式及其關(guān)系，利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題之間的等價(jià)性解決有關(guān)問題，滲透由特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想教學(xué)流程(對應(yīng)學(xué)生用書第4頁)課標(biāo)解讀1.了解四種命題的概念，會寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題(重點(diǎn))2認(rèn)識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的關(guān)系(難點(diǎn))3利用命題真假的等價(jià)性解決簡單問題(難點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn))四種命題的概念【問題導(dǎo)思】給出以下四個(gè)命題：(1)對頂角相等；(2)相等的兩個(gè)角是對頂角；(3)不是對頂角的兩個(gè)角不相等；(4)不相等的兩個(gè)角不是對頂角；1你能說出命題(1)與(2)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？【提示】它們的條件和結(jié)論恰好互換了2命題(1)與(3)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系？命題(1)與(4)呢？【提示】命題(1)的條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果是另一個(gè)命題條件的否定和結(jié)論的否定，那么把兩個(gè)命題叫做互否命題如果是另一個(gè)命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題把第一個(gè)叫做原命題時(shí)，另三個(gè)可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題四種命題的關(guān)系【問題導(dǎo)思】1為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“綈p”和“綈q”，如果原命題是“若p，則q”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題該如何表示？【提示】逆命題：若q，則p.否命題：若綈p，則綈q.逆否命題：若綈q，則綈p.2原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其否命題呢？【提示】互逆、互否、互為逆否四種命題的相互關(guān)系四種命題的真假關(guān)系【問題導(dǎo)思】1知識1的“問題導(dǎo)思”中四個(gè)命題的真假性是怎樣的？【提示】(1)真命題，(2)假命題，(3)假命題，(4)真命題2如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的逆否命題呢？【提示】原命題為真，其逆命題不一定為真，但其逆否命題一定為真1在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題真假性相同的是逆否命題2兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題時(shí)，它們的真假性沒有關(guān)系. (對應(yīng)學(xué)生用書第5頁)四種命題的概念把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題(1)全等三角形的對應(yīng)邊相等；(2)當(dāng)x2時(shí)，x23x20.【思路探究】(1)原命題的條件與結(jié)論分別是什么？(2)把原命題的條件與結(jié)論作怎樣的變化就能寫出它的逆命題、否命題和逆否命題？【自主解答】(1)原命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形三邊對應(yīng)相等逆命題：若兩個(gè)三角形三邊對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則兩個(gè)三角形三邊對應(yīng)不相等逆否命題：若兩個(gè)三角形三邊對應(yīng)不相等，則這兩個(gè)三角形不全等(2)原命題：若x2，則x23x20，逆命題：若x23x20，則x2，否命題：若x2，則x23x20，逆否命題：若x23x20，則x2.1給出一個(gè)命題，寫出該命題的其他三種命題時(shí)，首先考慮弄清所給命題的條件與結(jié)論，若給出的命題不是“若p，則q”的形式，應(yīng)改寫成“若p，則q”的形式2把原命題的結(jié)論作為條件，條件作為結(jié)論就得到逆命題；否定條件作為條件，否定結(jié)論作為結(jié)論便得到否命題；否命題的逆命題就是原命題的逆否命題分別寫出下列命題的逆命題 、否命題和逆否命題(1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(2)若ab，則ac2bc2.【解】(1)原命題可以改寫成：若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)；逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)；否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)；逆否命題：若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)(2)逆命題：若ac2bc2，則ab；否命題：若ab，則ac2bc2；逆否命題：若ac2bc2，則ab.四種命題真假的判斷寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，然后判斷真假(1)菱形的對角線互相垂直；(2)等高的兩個(gè)三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分線平分弦所對的弧【思路探究】【自主解答】(1)逆命題：若一個(gè)四邊形的對角線互相垂直，則它是菱形，是假命題否命題：若一個(gè)四邊形不是菱形，則它的對角線不互相垂直，是假命題逆否命題：若一個(gè)四邊形的對角線不互相垂直，則這個(gè)四邊形不是菱形，是真命題(2)逆命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形等高，是真命題否命題：若兩個(gè)三角形不等高，則這兩個(gè)三角形不全等，是真命題逆否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形不等高，是假命題(3)逆命題：若一條直線平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線，是假命題否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不平分弦所對的弧，是假命題逆否命題：若一條直線不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，是真命題1本例題目中命題的條件和結(jié)論不明顯，為了不出錯(cuò)誤，可以先改寫成“若p，則q”的形式，再寫另外三種命題，進(jìn)而判斷真假2要判定四種命題的真假，首先，要正確理解四種命題間的相互關(guān)系；其次，正確利用相關(guān)知識進(jìn)行判斷推理若由“p經(jīng)邏輯推理得出q”，則命題“若p，則q”為真；確定“若p，則q”為假時(shí)，則只需舉一個(gè)反例說明3互為逆否命題等價(jià)當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可通過判定其逆否命題的真假來判斷下列命題中正確的是()“若x2y20，則x，y不全為零”的否命題；“正三角形都相似”的逆命題；“若m0，則x2xm0有實(shí)根”的逆否命題ABC D【解析】原命題的否命題為“若x2y20，則x，y全為零”真命題原命題的逆命題為“若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形是正三角形”假命題原命題的逆否命題為“若x2xm0無實(shí)根，則m0”方程x2xm0無實(shí)根，判別式14m0，m.故m0，為真命題故正確的命題是，選B.【答案】B等價(jià)命題的應(yīng)用若a2b2c2，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)【思路探究】(1)a，b，c不可能都是奇數(shù)包含幾種情況？(2)它的反面是什么？能否考慮證它的逆否命題？【自主解答】若a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，所以a2b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2b2c2.即原命題的逆否命題為真命題，故原命題為真，所以若a2b2c2，則a、b、c不可能都是奇數(shù)1因?yàn)椤癮、b、c不可能都是奇數(shù)”這一結(jié)論包含多種情況，而其否定只有一種情況，即“a、b、c都是奇數(shù)，”故應(yīng)選擇證明它的逆否命題為真命題，以使問題簡單化2當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難，或者在判斷真假時(shí)涉及到分類討論時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假，因?yàn)榛槟娣衩}的真假是等價(jià)的，也就是我們講的“正難則反”的一種策略3四種命題中，原命題與其逆否命題是等價(jià)的，有相同的真假性，原命題的否命題與其逆命題也是互為逆否命題，解題時(shí)不要忽視“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，則a2”，判斷其逆否命題的真假【解】a，xR，且x2(2a1)xa220的解集是空集(2a1)24(a22)0，則4a70，解得a.因此a2，原命題是真命題又互為逆否命題的命題等價(jià)，故逆否命題是真命題.(對應(yīng)學(xué)生用書第6頁)因否定錯(cuò)誤致誤寫出命題“若x2y20，則x，y全為零”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假【錯(cuò)解】逆命題：若x，y全為零，則x2y20，是真命題；否命題：若x2y20，則x，y全不為零，是假命題【錯(cuò)因分析】本題中的錯(cuò)解主要是對原命題中結(jié)論的否定錯(cuò)誤對“x，y全為零”的否定，應(yīng)為“x，y不全為零”，而不是“x，y全不為零”【防范措施】要寫出一個(gè)命題的否命題，需要既否定條件，又否定結(jié)論，否定時(shí)一定要注意一些詞語，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等【正解】逆命題：若x，y全為零，則x2y20，是真命題；否命題：若x2y20，則x，y不全為零，是真命題1寫出四種命題的方法：(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題2四種命題的真假關(guān)系：若原命題為真，它的逆命題、否命題不一定為真，它的逆否命題一定為真；互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同因此，若一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，我們可借助它的逆否命題進(jìn)行判斷.(對應(yīng)學(xué)生用書第7頁)1(xx福州高二檢測)已知a，bR，命題“若ab1，則a2b2”的否命題是()A若a2b2，則ab1B若ab1，則a2b2C若ab1，則a2b2D若a2b2，則ab1【解析】“ab1”，“a2b2”的否定分別是“ab1”，“a2b2”，故否命題為：“若ab1，則a2b2”【答案】C2命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的()A逆命題B否命題C逆否命題 D無關(guān)命題【解析】從兩種命題的形式來看是條件與結(jié)論換位，因此為逆命題【答案】A3命題“當(dāng)x2時(shí)，x2x60”的逆否命題是_【解析】原命題結(jié)論的否定作條件，條件的否定作結(jié)論，寫出逆否命題即可【答案】當(dāng)x2x60時(shí)，x2.4寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假(1)若mn0，則方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根；(2)若ab0，則a0或b0.【解】(1)逆命題：若方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根，則mn0.假命題；否命題：若mn0，則方程mx2xn0沒有實(shí)數(shù)根假命題；逆否命題：若方程mx2xn0沒有實(shí)數(shù)根，則mn0.真命題(2)逆命題：若a0或b0，則ab0.真命題；否命題：若ab0，則a0且b0.真命題；逆否命題：若a0且b0，則ab0.真命題一、選擇題1命題“若綈p，則q”是真命題，則下列命題一定是真命題的是()A若p，則綈qB若q，則綈pC若綈q，則p D若綈q，則綈p【解析】若“綈p，則q”的逆否命題是“若綈q，則p”，又互為逆否命題真假性相同“若綈q，則p”一定是真命題【答案】C2若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是()A互逆命題 B互否命題C互為逆否命題 D以上都不正確【解析】設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若綈A，則綈B”，r為“若綈B，則綈A”，故q與r為互逆命題【答案】A3(xx臺州高二檢測)已知命題p：若a0，則方程ax22x0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為()A3B2C1D0【解析】易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題故選B.【答案】B4(xx大慶高二檢測)下列判斷中不正確的是()A命題“若ABB，則ABA”的逆否命題為真命題B“矩形的兩條對角線相等”的逆否命題為真命題C“已知a，b，mR，若am2<bm2，則ab”的逆命題是真命題D“若xN*，則(x1)20”是假命題【解析】若ABB，則有BA，從而有ABA，A正確；B中的逆否命題：“若一個(gè)四邊形兩條對角線不相等，則它不是矩形”為真命題B正確C中的逆命題為：“已知a，b，mR，若ab，則am2bm2為假命題，故C不正確D中x1時(shí)，(x1)20顯然是假命題故D正確【答案】C5下列命題中，不是真命題的為()A“若b24ac0，則關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)有實(shí)根”的逆否命題B“四邊相等的四邊形是正方形”的逆命題C“若x29，則x3”的否命題D“對頂角相等”的逆命題【解析】A中命題為真命題，其逆否命題也為真命題；B中命題的逆命題為“正方形的四邊相等”，為真命題；C中命題的否命題為“若x29，則x3”為真命題；D中命題的逆命題為“相等的角為對頂角”是假命題【答案】D二、填空題6命題“若ABB，則AB”的否命題是_【答案】若ABB，則AB.7已知命題“若m1xm1，則1x2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是_【解析】由已知得，若1x2成立，則m1xm1也成立，1m2.【答案】1,28(xx菏澤高二檢測)給定下列命題：若a0，則方程ax22x0有解“等腰三角形都相似”的逆命題；“若x是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題；“若a1且b1，則ab2”的否命題其中真命題的序號是_【解析】顯然為真，為假對于中，原命題“若x是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”為假命題，逆否命題為假命題對于中，“若a1且b1，則ab2”的否命題是“若a1或b1，則ab2”為假命題【答案】三、解答題9設(shè)原命題是“當(dāng)c0時(shí)，若ab，則acbc”，寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷它們的真假【解】原命題是真命題逆命題是“當(dāng)c0時(shí)，若acbc，則ab”，是真命題否命題是“當(dāng)c0時(shí)，若ab，則acbc”，是真命題逆否命題是“當(dāng)c0時(shí)，若acbc，則ab”，是真命題10已知命題p：“若ac0，則二次方程ax2bxc0沒有實(shí)根”(1)寫出命題p的否命題；(2)判斷命題p的否命題的真假，并證明你的結(jié)論【解】(1)命題p的否命題為：“若ac0，則二次方程ax2bxc0有實(shí)根”(2)命題p的否命題是真命題，證明如下：ac0，ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有實(shí)根該命題是真命題11已知奇函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，a，bR，若f(a)f(b)0，求證：ab0.【證明】假設(shè)ab0，則ab.f(x)在R上是增函數(shù)f(a)f(b)，又f(x)為奇函數(shù)f(b)f(b)，f(a)f(b)即f(a)f(b)0.原命題的逆否命題為真，故原命題為真.(教師用書獨(dú)具)判斷命題“若m0，則方程x22x3m0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題的真假【解】m0，12m0，12m40.方程x22x3m0的判別式2241(3m)412m0，原命題“若m0，則方程x22x3m0有實(shí)數(shù)根”為真又原命題與它的逆否命題等價(jià)，“若m0，則方程x22x3m0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為真已知adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.【證明】設(shè)a2b2c2d2abcd1，則2a22b22c22d22ab2bc2cd2ad2bc2ad2，即(ab)2(bc)2(cd)2(ad)22ad2bc2，若(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20，則abcd0，于是adbc1；若(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20，則(ab)2(bc)2(cd)2(ad)2為正數(shù)，所以必有adbc1.綜上，命題“若a2b2c2d2abcd1，則adbc1”成立，由原命題與它的逆否命題等價(jià)，知原命題也成立，從而原命題得證.