2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問(wèn)題 文.doc

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問(wèn)題 文一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(xx全國(guó)卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為 ()A.B.C.D.【解析】選A.直線bx-ay+2ab=0與圓相切,所以圓心到直線的距離d=a,整理為a2=3b2,即a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即= ,e=.【變式備選】橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則=()A.B.C.D.4【解析】選C.因?yàn)?,所以=22-=4-=.2.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(3,0)的距離與它到直線x=的距離之比為,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】選A.由題意可知=,化簡(jiǎn)整理得+=1.3.已知橢圓+=1上一點(diǎn)P,橢圓的焦點(diǎn)為F1,F2,若三角形PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為,則三角形PF1F2的面積為()A.B.C.D.【解析】選B.因?yàn)槿切蔚拿娣e公式S=pr(其中p為三角形的周長(zhǎng)的一半,r為內(nèi)切圓的半徑),所以三角形PF1F2的面積為(PF1+PF2+F1F2)r=(2a+2c)r=(3+1)=.【變式備選】1.已知橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P在第一象限,則PF2的斜率為()A.B.C.-D.-【解析】選B.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為F1(0,1),F2(0,-1),所以P,所以= =.2.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=,且它的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2+y2+2x-2 019=0的圓心,則此橢圓方程為()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1【解析】選A.因?yàn)閳A心為(-1,0),所以c=1,因?yàn)殡x心率為,所以a=2,所以b2=3,所以橢圓方程為+=1.4.已知F1,F2是橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),該橢圓上存在兩點(diǎn)A,B使=3,則該橢圓的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選C.=3F1AF2B,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓b2x2+a2y2=a2b2得(*)由=3得代入(*)得消去y2得x2=<a,所以2e2-3e+1<0,所以<e<1.5.設(shè)直線y=kx與橢圓+=1相交于A,B兩點(diǎn),分別過(guò)A,B兩點(diǎn)向x軸作垂線,若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則k等于()A.B.C.D.2【解析】選A.由題意可知,點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)即為焦點(diǎn)的橫坐標(biāo),又c=1,當(dāng)k>0時(shí),不妨設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,y1),(1,y2),代入橢圓方程得解得:k=;同理可得當(dāng)k<0時(shí),k=-.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知橢圓:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A,B,C(C在第三象限),線段BC的中點(diǎn)在直線OA上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi).【解析】由點(diǎn)A,B在橢圓上,得解得所以橢圓的方程為+=1.設(shè)C坐標(biāo)為(m,n),(m<0,n<0),由已知,求得直線OA的方程為x-2y=0,從而m=2n-1.(1)又點(diǎn)C在橢圓上,故2m2+8n2=5.(2)由(1)(2)解得n=(舍去)或n=-,從而m=-,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.答案:7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi).【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得=-,化簡(jiǎn)得x2+3y2=4(x1).故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x1).答案:x2+3y2=4(x1)8.如圖,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓+=1于四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,則四邊形ABCD的面積的取值范圍為_(kāi).【解析】由對(duì)稱性可知四邊形ABCD的面積等于直角三角形AOB的面積的4倍.設(shè)OA的方程為y=kx,代入橢圓方程解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=12,所以=12,同理可知=12,所以SAOB=72,換元設(shè)1+k2=t(t1),所以=所以四邊形ABCD的面積的取值范圍為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(xx全國(guó)卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上.(1)求C的方程.(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不垂直于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解析】(1)由題意有=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程為+=1.(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=,yM=kxM+b=.于是直線OM的斜率kO M=-,即kO Mk=-.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,橢圓C:+y2=1,A為橢圓右頂點(diǎn).過(guò)原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B,C兩點(diǎn),直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P,直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q,其中D.設(shè)直線AB,AC的斜率分別為k1,k2.(1)求k1k2的值.(2)記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC,是否存在常數(shù),使得kPQ=kBC?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.(3)求證:直線AC必過(guò)點(diǎn)Q.【解析】(1)設(shè)B(x0,y0),則C(-x0,-y0),+=1,所以k1k2=-.(2)聯(lián)立得(1+)x2-4x+4(-1)=0,解得xP=,yP=k1(xP-2)=;聯(lián)立得(1+4)x2-16x+4(4-1)=0,解得xB=,yB=k1(xB-2)=,所以kBC=,kPQ=,所以kPQ=kBC,故存在常數(shù)=,使得kPQ=kBC.(3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),Q,P,得k1=-,k2=,則kAQ=k2,所以直線AC必過(guò)點(diǎn)Q,當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),直線PQ方程為:y=,聯(lián)立,解得xQ=,yQ=,所以kAQ=-=k2,故直線AC必過(guò)點(diǎn)Q.1.(5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為,過(guò)F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn).若AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】選A.根據(jù)題意,因?yàn)锳F1B的周長(zhǎng)為4,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因?yàn)闄E圓的離心率e=,所以c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以橢圓C的方程為+=1.2.(5分)(xx呂梁模擬)設(shè)F1,F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)P,使(+)=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則F1PF2的面積是 ()A.4B.3C.2D.1【解析】選D.因?yàn)?+)=(+)=0,所以PF1PF2,F1PF2=90.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以=mn=1.3.(5分)橢圓+=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,E(3,0),EPEQ,則的最小值為()A.6B.3-C.9D.12-6【解析】選A.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則+=1,|PE|=,因?yàn)?6m6,所以|PE|的最小值為.又因?yàn)?(-)=-=|2,所以的最小值為6.4.(12分)已知長(zhǎng)為1+的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),P是AB上一點(diǎn),且=,求點(diǎn)P的軌跡C的方程.【解析】設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),=,又=(x-x0,y),=(-x,y0-y),所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因?yàn)閨AB|=1+,即+=(1+)2,所以+(1+)y2=(1+)2,化簡(jiǎn)得+y2=1.所以點(diǎn)P的軌跡方程為+y2=1.5.(13分)(xx全國(guó)卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程.(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)根據(jù)橢圓對(duì)稱性,必過(guò)P3,P4,又P4橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過(guò)P1,所以過(guò)P2,P3,P4三點(diǎn),將P2,P3代入橢圓方程得解得a2=4,b2=1.所以橢圓C的方程為:+y2=1.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè)l:x=m,A,B,+=+=-1,得m=2,此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn),不存在兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足.當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)l:y=kx+n,A,B,聯(lián)立整理得x2+8knx+4n2-4=0,x1+x2=,x1x2=,則+=+=-1,又n1n=-2k-1,此時(shí)=-64k,存在k使得>0成立,所以直線l的方程為y=kx-2k-1,當(dāng)x=2時(shí),y=-1,所以l過(guò)定點(diǎn).