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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線試題
1．(xx福建)若雙曲線E：－＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
2．(xx課標全國Ⅰ)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于( )
A. B.
C．3 D．2
3．(xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點．若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為________．
4．(xx安徽)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0
|F1F2|)；
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.
2．求解圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”
所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)若橢圓C：＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且|PF2|＝4，則∠F1PF2等于( )
A．30 B．60 C．120 D．150
(2)(xx豐臺模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點坐標為(2,0)，則雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
思維升華 (1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質，注意焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結合草圖確定．
跟蹤演練1 (1)(xx大綱全國)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)(xx天津)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(2，)，且雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4x的準線上，則雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
熱點二 圓錐曲線的幾何性質
1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關系
(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ；
(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝.
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為
y＝x.注意離心率e與漸近線的斜率的關系．
例2 (1)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
(2)(xx西北工業(yè)大學附中四模)已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|＝|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝3x B．y＝2x
C．y＝(＋1)x D．y＝(－1)x
思維升華 (1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關系是求解問題的關鍵．
(2)在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．
跟蹤演練2 (1)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1 (a>b>0)的左，右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
(2)(xx重慶)設雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a＋，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
熱點三 直線與圓錐曲線
判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法
(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標；
(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)．
例3 (xx江蘇改編)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且右焦點F到直線l：x＝－的距離為3.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若|PC|＝2|AB|，求直線AB的方程．
思維升華 解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關系，設而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解．
跟蹤演練3 (1)(xx四川)過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|等于( )
A. B．2
C．6 D．4
(2)(xx南開中學月考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線上有兩點A，B，若直線l的方程為x＋y－2＝0，且AB⊥l，則橢圓＋＝1的離心率為( )
A. B.
C. D.
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點(1，)在該橢圓上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B
兩點，若△AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．
提醒：完成作業(yè) 專題六 第2講
二輪專題強化練
專題六
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
A組 專題通關
1．已知橢圓＋＝1(00，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為( )
A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)
C．x2＝8y D．x2＝16y
5．(xx課標全國Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為( )
A. B. C. D.
6．已知P為橢圓＋＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為________．
7．已知點P(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，線段PF與拋物線C的交點為M，過M作拋物線準線的垂線，垂足為Q，若∠PQF＝90，則p＝________.
8．(xx山東)平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為________．
9．(xx威海模擬)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線l經(jīng)過點M(0,1)，且與橢圓C交于A，B兩點，若＝2，求直線l的方程．
10．(xx浙江)如圖，已知拋物線C1：y＝x2，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，過點P(t,0)(t＞0)作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點．
(1)求點A，B的坐標；
(2)求△PAB的面積．
注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則稱該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點．
B組 能力提高
11．(xx遼寧)已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為( )
A. B.
C. D.
12．已知圓x2＋y2＝上點E處的一條切線l過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F，且與雙曲線的右支交于點P，若＝(＋)，則雙曲線的離心率是________．
13．已知拋物線y2＝4x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點且與雙曲線交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB的面積為，則雙曲線的離心率為________．
14．已知橢圓C的長軸左、右頂點分別為A，B，離心率e＝，右焦點為F，且＝－1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若P是橢圓C上的一動點，點P關于坐標原點的對稱點為Q，點P在x軸上的射影點為M，連接QM并延長交橢圓于點N，求證：∠QPN＝90.
學生用書答案精析
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
高考真題體驗
1．B [由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，
∴|PF2|－|PF1|＝6，
∴|PF2|＝9，故選B.]
2．C [∵＝4，∴||＝4||，
∴＝.
如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，
設l與x軸的交點為A，
則|AF|＝4，
∴＝
＝，
∴|QQ′|＝3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ′|＝|QF|＝3，故選C.]
3.
解析 雙曲線x2－y2＝1的漸近線為xy＝0，直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，故兩平行線的距離d＝＝.由點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，得c≤，故c的最大值為.
4．x2＋y2＝1
解析 設點B的坐標為(x0，y0)．
∵x2＋＝1，
∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
∵AF2⊥x軸，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－，y0＝－.
∴點B的坐標為.
將B代入x2＋＝1，
得b2＝.∴橢圓E的方程為x2＋y2＝1.
熱點分類突破
例1 (1)C (2)C
解析 (1)由題意得a＝3，c＝，
所以|PF1|＝2.
在△F2PF1中，
由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－.
又因為cos∠F2PF1∈(0，180)，所以∠F2PF1＝120.
(2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是
y＝x，故可知＝，
又∵焦點坐標為(2,0)，
∴c＝＝2，
解得a＝1，b＝.
∴雙曲線方程為x2－＝1.
跟蹤演練1 (1)A (2)D
解析 (1)由e＝得＝.①
又△AF1B的周長為4，
由橢圓定義，得4a＝4，得a＝，
代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，
故C的方程為＋＝1.
(2)雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，又漸近線過點(2，)，所以＝，即2b＝a，①
拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－，
由已知，得＝，即a2＋b2＝7，②
聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3，
所求雙曲線的方程為－＝1，選D.
例2 (1)－1 (2)C
解析 (1)直線y＝(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60，所以∠MF1F2＝60，從而∠MF2F1＝30，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1.
(2)由題意作出示意圖，
易得直線BC的斜率為，
cos∠CF1F2＝，
又由雙曲線的定義及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，
|BF2|－|BF1|＝2a?|BF2|＝4a，
故cos∠CF1F2＝＝?b2－2ab－2a2＝0?()2－2()－2＝0?＝1＋，故雙曲線的漸近線方程為y＝(＋1)x.
跟蹤演練2 (1)D (2)A
解析 (1)設P，線段F1P的中點Q的坐標為，
當存在時，則＝，k＝，
由kk＝－1，得
y2＝，y2≥0，
但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0，
即3c2－a2>0，即e2>，故b2，∴0<<1.∴0<<1.
例3 解 (1)由題意，得＝且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，則b＝1，
所以橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)當AB⊥x軸時，|AB|＝，又|CP|＝3，不合題意．
當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線AB的方程代入橢圓方程，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
則x1,2＝，
C的坐標為，且
|AB|＝＝＝.
若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意．
從而k≠0，故直線PC的方程為
y＋＝－，
則P點的坐標為，
從而|PC|＝.
因為|PC|＝2|AB|，
所以＝，
解得k＝1.
此時直線AB的方程為y＝x－1或y＝－x＋1.
跟蹤演練3 (1)D (2)D
解析 (1)由題意知，雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝x，將x＝c＝2代入得y＝2，即A，B兩點的坐標分別為(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓的方程有，
＋＝1，＋＝1，
兩式相減得，＋＝0.
∵線段AB的中點坐標為(1，－1)，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2代入上式得：
＝.
∵直線AB的斜率為＝，
∴＝?a2＝2b2，
∵右焦點為F(3,0)，
∴a2－b2＝c2＝9，
解得a2＝18，b2＝9，
又此時點(1，－1)在橢圓內，
∴橢圓方程為＋＝1.
高考押題精練
1．C [由條件可知直線l的斜率為－，又AB⊥l，可知直線AB的斜率為，故＝，故＝2，由此可知a>b>0，則橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的焦距為2c，則＝2，解得橢圓的離心率為＝.]
2．解 (1)由題意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因為橢圓C經(jīng)過點(1，)，
所以＋＝1，
解得a＝2，所以b2＝3，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，設直線l的方程為x＝ty－1，
由消去x，
得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
顯然Δ>0恒成立，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝|F1O||y1－y2|＝＝，
化簡得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)，
又圓O的半徑r＝＝，
所以r＝，故圓O的方程為x2＋y2＝.
二輪專題強化練答案精析
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
1．A [已知橢圓＋＝1(00，b>0)的離心率為2，
∴＝＝2，∴b＝a，
∴雙曲線的漸近線方程為xy＝0，
∴拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為＝2，
∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y.]
5．D [由已知得焦點坐標為F(，0)，
因此直線AB的方程為y＝(x－)，
即4x－4y－3＝0.
方法一 聯(lián)立拋物線方程化簡得
4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝6＝.
方法二 聯(lián)立方程得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同時原點到直線AB的距離為h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|h＝.]
6．7
解析 由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋
|PF2|－1－2＝7.
7.
解析 由拋物線的定義可得|MQ|＝|MF|，F(xiàn)(，0)，又PQ⊥QF，故M為線段PF的中點，所以M(，1)，把M(，1)，代入拋物線y2＝2px(p>0)得，1＝2p，
解得p＝，故答案為.
8.
解析 由題意，不妨設直線OA的方程為y＝x，直線OB的方程為y＝－x.
由得x2＝2p x，
∴x＝，y＝，∴A.
設拋物線C2的焦點為F，則F，
∴kAF＝.
∵△OAB的垂心為F，∴AF⊥OB，
∴kAFkOB＝－1，
∴＝－1，∴＝.
設C1的離心率為e，則e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.
9．解 (1)設橢圓方程為＋＝1(a>0，b>0)，因為c＝1，＝，
所以a＝2，b＝，
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)由題意得直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y＝kx＋1，
聯(lián)立方程
得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，得x1＝－2x2，
又
所以
消去x2得()2＝，
解得k2＝，k＝，
所以直線l的方程為y＝x＋1，
即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
10．解 (1)由題意知直線PA的斜率存在，故可設直線PA的方程為y＝k(x－t)．
由消去y，整理得：
x2－4kx＋4kt＝0，
由于直線PA與拋物線相切，得k＝t，
因此，點A的坐標為(2t，t2)．
設圓C2的圓心為D(0,1)，點B的坐標為(x0，y0)，由題意知：點B，O關于直線PD對稱，且直線PD：y＝－x＋1，
故 解得
因此，點B的坐標為.
(2)由(1)知，|AP|＝t 和直線PA的方程tx－y－t2＝0，
點B到直線PA的距離是d＝，
設△PAB的面積為S(t)，
所以S(t)＝|AP|d＝.
11．D [拋物線y2＝2px的準線為直線x＝－，而點A(－2,3)在準線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點為F(2,0)．設切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由于Δ＝1－4(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.
因為切點在第一象限，所以k＝.
將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，
所以點B的坐標為(8,8)，
所以直線BF的斜率為.]
12.
解析 如圖所示，設雙曲線的右焦點為H，連接PH，
由題意可知|OE|＝，
由＝(＋)，可知E為FP的中點．
由雙曲線的性質，可知O為FH的中點，
所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，
故|PH|＝2|OE|＝.
由雙曲線的定義，可知|PF|－|PH|＝2a(P在雙曲線的右支上)，
所以|PF|＝2a＋|PH|＝.
因為直線l與圓相切，所以PF⊥OE.
又OE∥PH，所以PF⊥PH.
在Rt△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2，
即(2c)2＝()2＋()2，
整理得＝，即e＝.
13．2
解析 拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，
由題意知，雙曲線的左焦點坐標為(－1,0)，
即c＝1，
且A(－c，)，B(－c，－)，
因為△AOB的面積為，
所以21＝，
即＝，
所以，＝，
解得a＝，∴e＝＝＝2.
14．(1)解 依題意，設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
則A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)，
由e＝＝，
得a＝c.①
由＝－1，
得(c＋a,0)(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②
聯(lián)立①②，解得a＝，c＝1，
所以b2＝1，
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明 設P(x1，y1)，N(x2，y2)，
由題意知xi≠0，yi≠0(i＝1,2)，
且x1≠x2，
又Q(－x1，－y1)，M(x1,0)．
由Q，M，N三點共線，知kQM＝kQN，
所以＝.③
又kPQkPN＋1＝＋1.④
把③代入④，得kPQkPN＋1＝＋1＝.⑤
因為點P，N在橢圓上，
所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥
把⑥代入⑤，
得kPQkPN＋1＝＝0，
即kPQkPN＝－1，
所以∠QPN＝90.
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