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1、
數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用例析
那金秋
數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。
近幾年高考加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高考數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的的思想，把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖像的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描
2、繪函數(shù)的圖像，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖像與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。
例題分析：
例1. 如果，那么函數(shù)的最小值是多少？
分析：
從三角函數(shù)的角度來看，求的最小值是一個(gè)較難的問題，是一個(gè)比較陌生的問題。但是，如果把數(shù)和形結(jié)合起來，畫出相應(yīng)的圖像，從幾何的直觀性入手，則可立刻看出結(jié)論。
圖1
令
因?yàn)?
所以
則
圖像為圖中實(shí)線部分。
所以當(dāng)即時(shí)，有最小值，且最小值為。
例2. （2002年全國(guó)文5，理4）在（）內(nèi)，使成立的x取值范圍為（ ）
A.
3、 B.
C. D.
分析1：作出在區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖像，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖2可得（C）答案。
圖2
圖3
分析2：在單位圓上作出二、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選（C）。
例3. （2002年春北京、安徽，5）若角α滿足條件，則α在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
分析：
所以
即
即與異號(hào)
所以α在二、四象限
又
所以
由圖4
4、，滿足題意的角α在第二象限。
圖4
例4. 如圖5所示是周期為2π的三角函數(shù)的圖像，那么可以寫成（ ）
A. B. C. D.
圖5
分析1：由圖可以看出，的圖像是由的圖像向左平移個(gè)單位而得到的，所以，在中，把x換成就得到，即：
應(yīng)選（D）。
分析2：的圖像也可以看成是由的圖像向右平移個(gè)單位而得到的，即在中，把x換成就得到，所以
。
選（D）。
例5. 函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是（ ）
A. B. C. D.
分析：這是一道考查正弦函數(shù)的幾何特征的試題，而求解的方法是檢驗(yàn)自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)量特征簡(jiǎn)捷合理，方便有效。借助于對(duì)數(shù)量關(guān)系的推理論證，對(duì)圖形的幾何特征加以精確的刻劃，是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn)，對(duì)分析和解決高中數(shù)學(xué)的有關(guān)問題的作用是很大的，本題的設(shè)計(jì)正是這一思想的反映，考查的功能十分明顯。
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
其中是函數(shù)的最小值。
是圖像的一條對(duì)稱軸
故選（A）。
4
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