2019-2020年高中數(shù)學(xué) 電子題庫 第二章 §3知能演練輕松闖關(guān) 北師大版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 電子題庫 第二章 3知能演練輕松闖關(guān) 北師大版必修5 1. 如圖，在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60，C點(diǎn)的俯角為70，則∠BAC等于(　　) A．10 B．50 C．120 D．130 解析：選D.由圖可知∠BAC＝130. 2．從200 m高的山頂看，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30，60，則塔高為(　　) A. m　　　　　　　　　　 B. m C. m D. m 解析：選A.由山頂與塔底的俯角為60可知，山腳與塔底的水平距離為，又山頂看塔頂?shù)母┙菫?0. 設(shè)塔高為x m，則200－x＝， ∴x＝(m)，故選A. 3．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的__________． 解析：由題意可知∠ACB＝180－40－60＝80.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50，從而所求為北偏西10. 答案：北偏西10 4．一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水速度為2 km/h，則經(jīng)過 h，該船實(shí)際航程為__________． 解析：如圖所示，水流速和船速的合速度為v，在△OAB中，OB2＝OA2＋AB2－2OAABcos60，∴OB＝v＝2 (km/h)． 即船的實(shí)際速度為2 km/h，則經(jīng)過小時(shí)，其路程為2＝6(km)． 答案：6 km [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．海上A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B、C間的距離是(　　) A．10 海里 B. 海里 C．5 海里 D．5 海里 解析：選D.如圖所示，在△ABC中，據(jù)正弦定理， 可得＝， ∴BC＝10＝5(海里)，故選D. 2．如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是β、α(α<β)，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：選A.在△ADC中，由正弦定理得， ＝， 所以AC＝. 在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ，所以AB＝. 3．如圖，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是(　　) A．c與a B．c與b C．c與β D．b與α 解析：選D.結(jié)合實(shí)際情況，在河的一側(cè)測(cè)量AC是較為適宜的，用測(cè)角儀測(cè)量∠BAC也是可行的，其他數(shù)據(jù)的測(cè)量，都不可行，故選D. 4．我艦在島A南偏西50相距12海里的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度為__________． 解析：如圖所示，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為 v海里/小時(shí)，則在△ABC中，AC＝102＝20(海里)， AB＝12(海里)，∠BAC＝120，所以BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos120＝784， 所以BC＝28(海里)， 所以v＝14(海里/小時(shí))． 答案：14海里/小時(shí) 5．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝前走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為 km，那么x的值為________ . 解析：如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)， 則AB＝x，BC＝3，AC＝， ∠ABC＝30，由正弦定理＝， 得∠CAB＝60或120， 當(dāng)∠CAB＝60時(shí)，∠ACB＝90，AB＝2； 當(dāng)∠CAB＝120時(shí)，∠ACB＝30，AB＝. 答案：或2 6．在山腳A處測(cè)得山頂S的仰角為45，沿傾斜角為15的斜坡向上走100 m到B，又測(cè)得S的仰角為75，求山高SD. 解：如圖，在△ABS中，∠SAB＝45－15＝30，∠ASB＝30，∠ABS＝120，AB＝100， 由正弦定理得，SA＝＝100， 在Rt△SAD中， SD＝SAsin45＝100＝50(m)． ∴山高SD為50 m. [B級(jí)　能力提升] 7．某人站在山頂看見一列車隊(duì)向山腳駛?cè)?，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為(　　) A．d1>d2 B．d1＝d2 C．d1<d2 D．不能確定大小 解析：選C.如圖所示，由正弦定理得， ＝， ＝， 即PBsinα＝d2sin∠PCB＝d1sin∠PAB，又∵sin∠PAB>sin∠PCB，∴d1<d2，故選C. 8．在“國慶節(jié)”期間，一商場(chǎng)為了做廣告，在廣場(chǎng)上升起了一廣告氣球，其直徑為4 m，當(dāng)人們仰望氣球中心的仰角為60時(shí)，測(cè)得氣球的視角為2(當(dāng)α很小時(shí)，可取sinα≈α，π≈3.14)，則該氣球的中心到地面的距離約為(　　) A．99 m B．95 m C．90 m D．89 m 解析：選A.如圖，過C作CD⊥AD于D，在Rt△ADC中，sinβ＝，β＝1， ∴AC＝＝ ＝(m)． 在Rt△ABC中， BC＝ACsin60＝＝≈99(m)． 9．如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A，B，并測(cè)得四邊形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，則應(yīng)開鑿的隧道CD的長為__________． 解析：在△ABC中，AB＝BC＝400米，∠ABC＝， ∴AC＝AB＝400米，∠BAC＝， ∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC ＝－＝. ∴在△CAD中，由余弦定理得， CD2＝AC2＋AD2－2ACADcos∠CAD ＝4002＋2502－2400250 ＝122500， ∴CD＝350(米)． 答案：350米 10．(xx南昌檢測(cè))某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角105的方向，以9海里/時(shí)的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度前去營救，恰在小島B處追上漁船． (1)試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)？ (2)求出艦艇靠近漁船所用的時(shí)間？ (參考數(shù)據(jù)：cos21.8＝，sin21.8＝，tan21.8＝) 解：設(shè)艦艇靠近漁船所用的時(shí)間為x小時(shí)，則AB＝21x，BC＝9x，結(jié)合圖形可知，∠2＝75，∠1＝45，則∠ACB＝45＋75＝120. (1)由正弦定理得， ＝， 即＝， ∴sin∠BAC＝， ∴∠BAC＝21.8，21.8＋45＝66.8， ∴艦艇應(yīng)按照北偏東66.8的航向前進(jìn)． (2)在△ABC中， AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， 即(21x)2＝102＋(9x)2－2109xcos120， 解得x＝或x＝－(不合題意，舍去)， ∴艦艇靠近漁船所用的時(shí)間為小時(shí)． 11．(創(chuàng)新題)在一場(chǎng)壘球比賽中，其中本壘與游擊手的初始位置間的距離為1，通常情況下，球速是游擊手跑速的4倍． (1)若與連結(jié)本壘及游擊手的直線成α角(0<α<90)的方向把球擊出，角α滿足什么條件下時(shí)，游擊手能接到球？并判斷當(dāng)α＝15時(shí)，游擊手有機(jī)會(huì)接到球嗎？ (2)試求游擊手能接到球的概率．(參考數(shù)據(jù)＝3.88，sin14.5＝0.25)． 解：(1)設(shè)游擊手的跑速為v，接球所用的時(shí)間為t，游擊手的初始位置為A，本壘為O，在B處接到球，如圖所示，據(jù)題意可得：OA＝1，OB＝4vt，AB＝vt，∠AOB＝α， 在△AOB中，據(jù)余弦定理可得， (vt)2＝1＋16(vt)2－24(vt)cosα， 即15(vt)2－8cosα(vt)＋1＝0，則其判別式Δ＝(8cosα)2－4151＝64cos2α－60. 據(jù)題意，當(dāng)游擊手能接到球時(shí)：Δ≥0， 即64cos2α－60≥0，∴cos2α≥. ∴cosα≥，∴0≤sinα≤，∴0≤α≤14.5， 即當(dāng)0≤α≤14.5時(shí)，游擊手能接到球． 當(dāng)α＝15時(shí)，15?[0，14.5]，所以當(dāng)α＝15時(shí)，游擊手沒有機(jī)會(huì)接到球． (2)設(shè)事件A＝，總事件Ω＝，則事件A中的基本事件滿足：0≤α≤14.5，總事件Ω中的條件滿足：0≤α≤90， 因此P(A)＝＝.