北京市第二十四中學高一數(shù)學教案：《橢圓的幾何性質(zhì)》（新人教A版選修11）

北京市第二十四中學教案課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì) 教材分析：解析幾何是17世紀數(shù)學發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想。如果說根據(jù)曲線的條件求出方程是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的幾何性質(zhì)、畫圖就是解析幾何的目的。本節(jié)課通過對橢圓方程的討論，使學生了解如何用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)。正如引言中提出的，圓錐曲線的性質(zhì)可以從純幾何的角度討論，但需要較多的知識準備，而且要有較強的邏輯推理能力。用坐標法研究圓錐曲線的性質(zhì)，將復雜的幾何關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為對曲線方程特點的考察。代數(shù)方法可以程序化的進行運算，用坐標法研究曲線的性質(zhì)有較強的規(guī)律性。本節(jié)內(nèi)容為系統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質(zhì)提供了一個范例，這也對將來研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)有著重要的指導作用。學情分析：學生在高一必修階段，學習了必修2中的直線與方程，圓與方程，已接觸過研究解析幾何問題的主要方法坐標法，本節(jié)課是在學習了橢圓標準方程的基礎上，探究橢圓的簡單性質(zhì)的第一節(jié)課。教學目標知識與技能： 掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等簡單幾何性質(zhì)；掌握標準方程中a,b,c,e的幾何意義，以及a,b,c,e之間的相互關(guān)系初步學習利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。過程與方法：通過利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法的初步嘗試，使學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應用，更要重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。情感態(tài)度與價值觀： 通過多媒體展示，讓學生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣；通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣； 使學生充分認識到數(shù)與形的聯(lián)系，體會數(shù)與形的辨證統(tǒng)一。教學重點：探究并初步掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)；教學難點：探究并初步掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)；教學方法： (1)教學策略：本節(jié)課依據(jù)“觀察，歸納，猜想，證明”及“從特殊到一般”的思想方法，先由學生畫圖、折紙，觀察去發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)，接著引導學生用代數(shù)方法進行推證。本設計力求更好地符合學生的認知規(guī)律，加強知識發(fā)生過程的教學，培養(yǎng)學生的直覺思維能力與邏輯思維能力.(2)學法指導：通過創(chuàng)設問題情景、學生自主探究、展示學生的研究過程來激勵學生的探索勇氣。根據(jù)學生的認知情況和學生的情感發(fā)展來調(diào)整整個學習活動的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學態(tài)度。教學過程：教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖引入創(chuàng)設情境、導入課題：（多媒體展示圖片國家大劇院）為什么設計師選擇這種橢圓形設計呢？橢圓到底美在何處？它具有哪些特質(zhì)？這就是我們今天要研究的課題橢圓的簡單幾何性質(zhì)觀察思考激起探究欲望創(chuàng)設情境，導入課題，明確學習目標通過多媒體展示，讓學生體會橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣。開門見山，激起學生對橢圓性質(zhì)探究的欲望。提出問題探究活動：請同學們拿出課前剪好的橢圓紙片，在小組內(nèi)交流橢圓紙片的制作過程，從中發(fā)現(xiàn)橢圓有哪些性質(zhì)？問1.你能找到橢圓紙片的中心嗎？問2.給你一張矩形紙能不能剪出比矩形紙大的橢圓？問3.有誰剪的橢圓紙板是不對稱的？問4. 同學們彼此看看各自的橢圓紙片的扁平程度一樣嗎?問5. 能不能說任意橢圓都有上述性質(zhì)呢用什么表示任意一個橢圓？組內(nèi)交流、發(fā)現(xiàn)探究活動，提出問題，明確學習方向引導學生觀察橢圓（幾何直觀），讓學生先從整體上把握幾何圖形，這就是范圍、對稱性、扁平程度等新課程強調(diào)以學生為主體，創(chuàng)造機會讓學生自己去發(fā)現(xiàn)、去歸納，讓學生體驗知識的發(fā)生、發(fā)展過程，體現(xiàn)學生學習知識過程中的主體地位。解決問題下面我們就利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)。1 范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形框里-axa, -byb2對稱性：橢圓關(guān)于 x軸、y軸和原點都對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心。3.頂點：橢圓和它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫橢圓的頂點其中A1（-a,0）,A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點；B1（0,-b）,B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點線段A1 A2和B1 B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫橢圓的長半軸長和短半軸長4離心率：橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率說明因為所以e越接近，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于，c越接近于，從而b越接近于a，這時橢圓就接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩焦點重合，圖形變?yōu)閳Ax2+y2=a2（看來橢圓的扁平程度是由離心率的大小決定的）研究曲線的幾何性質(zhì)能從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。觀察、思考、交流組內(nèi)交流代表發(fā)言新課題的問題解決在探究活動中，由觀察、猜想、歸納出的橢圓的一些簡單幾何性質(zhì)，利用方程的各種特征研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，本節(jié)課的難點是從橢圓標準方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。把從具體實物中的發(fā)現(xiàn)上升到理論證明，由感性認識到理性思考，這是進行科學研究的必經(jīng)之路，同時也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)利用代數(shù)方法解決幾何問題。應用反饋創(chuàng)設情境能力提升應用反饋例求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標。例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1) （1）經(jīng)過點P(3, 0)、Q(0, 2); (2) （2）長軸長是20，離心率是（請同桌的同學互相出題評判:一名同學寫一個焦點在y軸上的橢圓標準方程，另一名同學寫出它的焦點、頂點坐標，長軸長、短軸長和焦距）（類比得出焦點在y軸上的橢圓的簡單幾何性質(zhì) ）再思考：前面提到的國家大劇院，舞臺安在橢圓的一個焦點處，貴賓席安在另一個焦點處，這是為什么？課堂練習；見學案師生互動聯(lián)系后實物投影展示深入理解，鞏固應用知識只有在應用中才能得到升華，才能加深對知識的理解，才能達到熟練掌握的程度。例1是為鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì)設置；例2是由橢圓曲線的幾何性質(zhì)特征，定位定量得出橢圓的標準方程，由例1、例2的設置進一步明確解析幾何研究的主要問題（1）據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線方程，研究曲線的性質(zhì)?；ブ鷮W習、協(xié)同研究，制作焦點在坐標軸上的橢圓的簡單幾何性質(zhì)的表格，使學生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣，培養(yǎng)了學生的團隊精神。鞏固應用板書設計練習: 學案課堂小結(jié)1.通過這節(jié)課的學習，你學到了那些知識？ 2.感受最深的是什么？家庭作業(yè)教材P49 A組5、3、4（寫本上）課后反思