吉林大學(xué)工程數(shù)學(xué)計(jì)算方法第三章習(xí)題答案.doc

第三章習(xí)題答案1. 分別用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計(jì)算積分計(jì)誤差。解：1）用梯形公式有：事實(shí)上，2）Simpson公式事實(shí)上，3）由Cotes公式有：事實(shí)上，2證明Simpson公式具有三次代數(shù)精度。證明：而當(dāng)時左側(cè)：右側(cè)：左側(cè)不等于右側(cè)。所以Simpson具有三次代數(shù)精度.3.分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化公式Simpson計(jì)算下列積分.(1)，（3），解：（1）用復(fù)化梯形公式有：，由復(fù)化Simpson公式有：解：刪去 解（3）： 由復(fù)化梯形公式有：由復(fù)化公式有：（4）解：由復(fù)化梯形公式：由復(fù)化Simpson公式：4給定求積節(jié)點(diǎn)試推出計(jì)算積分的插值型求積公式，并寫出它的截?cái)嗾`差。解： 考慮到對稱性，有，于是有求積公式 由于原式含有3個節(jié)點(diǎn)，故它至少有2階精度。考慮到其對稱性，可以猜想到它可能有3階精度。事實(shí)上，對原式左右兩端相等： 此外，容易驗(yàn)證原式對不準(zhǔn)確，故所構(gòu)造出的求積公式有3階精度。5給定積分。（1） 利用復(fù)化梯形公式計(jì)算上述積分值，使其截?cái)嗾`差不超過（2） 取同樣的求積節(jié)點(diǎn)，改用復(fù)化Simpson公式計(jì)算時，截?cái)嗾`差是多少？（3） 如果要求截?cái)嗾`差不超過，那么使用復(fù)化Simpson公式計(jì)算時，應(yīng)將積分區(qū)間分成多少等分？ 解：(1) =,當(dāng)誤差時，25.6, 所以取=26。（2）6用Romberg求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過。（1）；（2）；（3）;(4)解（1）： 計(jì)算可以停止。解（2）：（3）解:解（4）:7推導(dǎo)下列三種矩形求積公式： 證明：將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 8如果證明用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。證明：復(fù)化梯形公式為 若在上連續(xù)，則復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為 由于且 所以使 則(1)式成為： 又因?yàn)樗?即用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大。 其幾何意義：曲線在定義域內(nèi)是向下凹的，即曲線在曲線上任兩點(diǎn)連線的下方。9對構(gòu)造一個至少具有三次代數(shù)精度的求積公式。解：因?yàn)榫哂?個求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式，至少有三次代數(shù)精度。如果在上取節(jié)點(diǎn)0，1，2，3，則插值型求積公式為：其中系數(shù)為同理求得即有：10判別下列求積公式是否是插值型的，并指明其代數(shù)精度：解：插值型求積公式 其中 則 因此，是插值型的求積公式。因其求積公式是插值型的，且存在2個節(jié)點(diǎn)，所以其代數(shù)精度至少是1。 對于時， 可見它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是1。11構(gòu)造下列求積公式，并指明這些求積公式所具有的代數(shù)精度： 解（1）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解之得 ， 于是有求積公式 容易驗(yàn)證，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是1。解（2）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解之得 于是有求積公式 容易驗(yàn)證當(dāng)時，而 可見，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是3。解(3)：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解得: 于是有求積公式 容易驗(yàn)證，當(dāng)時，而 可見，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是2。12. 利用代數(shù)精度方法構(gòu)造下列兩點(diǎn)Gauss求積公式： 解（1）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 利用的第1式，可將第2式化為 同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 由式消去得進(jìn)一步整理由此解出解得：因此所求的兩點(diǎn)Gauss求積公式：或依下面的思想：解（2）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 利用的第1式，可將第2式化為 同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 由式消去得 進(jìn)一步整理 由此解出解得：因此所求的兩點(diǎn)Gauss求積公式：或依下面的思想：13分別用三點(diǎn)和四點(diǎn)GaussChebyshev求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。解：用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式來計(jì)算：此時，由公式可得：由余項(xiàng)可估計(jì)誤差為用四點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式來計(jì)算：此時，由余項(xiàng)可估計(jì)誤差為14用三點(diǎn)求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。解：作變換則得由三點(diǎn)Gauss-Legendre公式：其估計(jì)誤差為：,（）。其準(zhǔn)確值其準(zhǔn)確誤差等于：17