數(shù)學(xué)最小二乘法的應(yīng)用舉例.ppt

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,第八章,*第十節(jié),問題的提出:,已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),求它們的近似函數(shù)關(guān)系 y＝f (x) .,需要解決兩個(gè)問題:,1. 確定近似函數(shù)的類型,根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律,,根據(jù)問題的實(shí)際背景,2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,,不能要求,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,最小二乘法,偏差,有正有負(fù),,值都較小且便于計(jì)算,,可由偏差平方和最小,為使所有偏差的絕對,來確定近似函數(shù) f (x) .,最小二乘法原理:,設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),分布在某條曲線上,,通過偏差平方和最小求該曲線的方,法稱為最小二乘法,,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式 .,, 它們大體,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),,問題為確定 a, b,令,,滿足:,使,,得,,解此線性方程組 即得 a, b,稱為法方程組,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,為了測定刀具的磨損速度, 每隔 1 小時(shí)測一次刀,具的厚度, 得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:,找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.,解: 通過在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們,大致在一條直線上,,列表計(jì)算:,故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為,(P67 例1),,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,得法方程組,,解得,故所求經(jīng)驗(yàn)公式為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:,,稱為均方誤差,,,對本題均方誤差,它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏差平方和為,,稱為均方誤差,,,對本題均方誤差,它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏差平方和為,例2. 在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí), 得到下列數(shù)據(jù):,其中? 表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間,,y 表示時(shí)刻 ? 反應(yīng),物的量.,試根據(jù)上述數(shù)據(jù)定出經(jīng)驗(yàn)公式,(P70例2),解:,由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知, 經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)取,其中k , m 為待定常數(shù).,對其取對數(shù)得,,(線性函數(shù)),(書中取的是常用對數(shù)),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此 a , b 應(yīng)滿足法方程組:,,經(jīng)計(jì)算得,,解得:,,所求經(jīng)驗(yàn)公式為,其均方誤差為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,觀測數(shù)據(jù):,用最小二乘法確定a, b,通過計(jì)算確定某些經(jīng)驗(yàn)公式類型的方法:,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè) (習(xí)題8 -10 ) P72 1 , 2,習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,