2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明復(fù)習(xí)課課件（新版）北師大版.ppt

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,BS八(下) 教學(xué)課件,第一章 三角形的證明,復(fù)習(xí)課,(4)___________、底邊上的中線和底邊上的高互相重 合，簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一”.,頂角平分線,(3)兩個(gè)_______相等，簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”;,底角,(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形,等腰三角形的頂角平分線所在的直線 是它的對(duì)稱(chēng)軸;,1.等腰三角形的性質(zhì),(1)兩腰相等;,知識(shí)梳理,2.等腰三角形的判定,(1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形;,(2)如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角 所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“____________”）.,等角對(duì)等邊,知識(shí)梳理,1.等邊三角形的性質(zhì),⑴等邊三角形的三邊都相等;,⑵等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都 等于________;,⑶是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是三條高所在的直線;,⑷任意角平分線、角對(duì)邊上的中線、對(duì)邊上的高 互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一”.,60,知識(shí)梳理,2.等邊三角形的判定,⑴三條邊都相等的三角形是等邊三角形.,⑵三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.,⑶有一個(gè)角是60的___________是等邊三角形.,等腰三角形,(5)在直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊等 于斜邊的一半.,知識(shí)梳理,直角三角形的性質(zhì)定理1,直角三角形的兩個(gè)銳角______.,互余,直角三角形的判定定理1,有兩個(gè)角______的三角形是直角三角形.,互余,知識(shí)梳理,勾股定理表達(dá)式的常見(jiàn)變形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， . 勾股定理分類(lèi)計(jì)算：如果已知直角三角形的兩邊是a,b(且a＞b)，那么，當(dāng)?shù)谌卌是斜邊時(shí)，c＝_________；當(dāng)a是斜邊時(shí)，第三邊c＝_________.,勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的 . 即：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c ，那么一定有 .,平方,[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運(yùn)用時(shí)要分清直角邊和斜邊．,a2＋b2＝c2,知識(shí)梳理,如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系：a2＋b2＝ ，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 1.利用此定理判定直角三角形的一般步驟：,(1)確定最大邊； (2)算出最大邊的平方與另兩邊的 ； (3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相 等，則說(shuō)明這個(gè)三角形是 三角形． 2.到目前為止判定直角三角形的方法有： (1)說(shuō)明三角形中有一個(gè)角是 ； (2)說(shuō)明三角形中有兩邊互相 ； (3)用勾股定理的逆定理．,平方和,直角,直角,垂直,[注意] 運(yùn)用勾股定理的逆定理時(shí)，要防止出現(xiàn)一開(kāi)始就寫(xiě)出a2＋b2＝c2之類(lèi)的錯(cuò)誤．,c2,知識(shí)梳理,,,,1．互逆命題 在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的 ，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的 ，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題． 2．逆命題 每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成 ，并將結(jié)論改成 ，便可以得到原命題的逆命題．,結(jié)論,條件,結(jié)論,條件,知識(shí)梳理,3．逆定理 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么，它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的 定理． [注意] 每個(gè)命題都有逆命題，但一個(gè)定理不一定有逆定理．如“對(duì)頂角相等”就沒(méi)有逆定理．,逆,知識(shí)梳理,1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.,2.逆定理： 到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.,3．常見(jiàn)的基本作圖 (1)過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的 ； (2)作已知線段的垂直 線．,垂線,平分,4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)： 三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,知識(shí)梳理,1.性質(zhì)定理： 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 2.判定定理： 在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線. 3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)： 三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.,知識(shí)梳理,如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證： ∠BAC = 2∠DBC.,【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來(lái)獲取角的數(shù)量關(guān)系.,考點(diǎn)講練,例1,證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示， 則,∵AB=AC, ∴AE⊥BC.,∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 .,∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 .,∴ ∠ 2= ∠DBC.,∴ ∠BAC= 2∠DBC.,考點(diǎn)講練,解題技巧：等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點(diǎn)之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質(zhì)與判定應(yīng)用也很廣泛，有一個(gè)角是30的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間的倍份關(guān)系的重要手段.,歸納總結(jié),練習(xí)1. 如圖，在△ABC中，AB=AC時(shí)， (1)∵AD⊥BC， ∴∠ ____= ∠_____;____=____. (2) ∵AD是中線， ∴____⊥____; ∠_____= ∠_____. (3) ∵ AD是角平分線， ∴____ ⊥____;_____=____.,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,考點(diǎn)講練,,,,在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長(zhǎng)．,解：∵∠B＝90，∴b是斜邊， 則在Rt△ABC中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b?BD＝ ac，,考點(diǎn)講練,例2,,,,,解題技巧：在直角三角形中，已知兩邊的長(zhǎng)求斜邊上的高時(shí)，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡(jiǎn)便．在用勾股定理時(shí)，一定要清楚直角所對(duì)的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數(shù)3，4，5的干擾．,練習(xí)2．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25,D,考點(diǎn)講練,,,,,,,已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．,解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1， 從而a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC是直角三角形．,考點(diǎn)講練,例3,,,,,解題技巧：運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；②分別用代數(shù)方法計(jì)算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．,考點(diǎn)講練,,,,,,練習(xí)3.已知下列圖形中的三角形的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上，可以判定三角形是直角三角形的有________．,(2)(4),考點(diǎn)講練,,,,,判斷下列命題的真假，寫(xiě)出這些命題的逆命題并判斷它們的真假． (1)如果a＝0，那么ab＝0； (2)如果點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等，那么P在 線段AB的垂直平分線上．,解：(1)原命題是真命題． 原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假． (2)原命題是真命題． 原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等．其逆命題也是真命題．,考點(diǎn)講練,例4,練習(xí)4.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷其真假： （1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.,解：（1）逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題. （2）逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.,考點(diǎn)講練,解：∵ AD 是BC 的垂直平分線， ∴ AB =AC，BD=CD. ∵ 點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上， ∴ AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE.,如圖，AD是BC的垂直平分線，點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE 有什么關(guān)系？,考點(diǎn)講練,例5,練習(xí)5.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=5厘米，△ABD的周長(zhǎng)等于13厘米，則△ABC的周長(zhǎng)是 .,,,,,,A,B,D,E,C,18厘米,,,解題技巧：常常運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)換來(lái)求線段之間的關(guān)系及周長(zhǎng)的和差等,有時(shí)候與等腰三角形的“三線合一”結(jié)合起來(lái)考查.,考點(diǎn)講練,練習(xí)6.下列說(shuō)法： ①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝ EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB； ③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)； ④若EA＝EB，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB． 其中正確的有 （填序號(hào)）.,① ② ③,考點(diǎn)講練,如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且 BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E , F. 求證：EB=FC.,【分析】先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.,考點(diǎn)講練,例6,證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，,∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 .,在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，,∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).,∴ EB=FC.,考點(diǎn)講練,練習(xí)8.△ABC中, ∠C=90, AD平分 ∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的 距離是 .,3,練習(xí)7. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60，則 ∠EBF= 度，BE= .,60,BF,考點(diǎn)講練,練習(xí)9. 如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說(shuō)明理由．,解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距離與到PF的距離相等， ∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．,P,考點(diǎn)講練,等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm,其中兩邊的差為8cm,求這個(gè)等腰三角形各邊的長(zhǎng).,【分析】要考慮腰比底邊長(zhǎng)和腰比底邊短兩種情況.,解：若腰比底邊長(zhǎng)，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,則底邊長(zhǎng)為（x－8)cm， 根據(jù)題意得 2x＋x－8=20, 解得 x= , ∴x－8= ; 若腰比底邊短，設(shè)腰長(zhǎng)為ycm,則底邊長(zhǎng)為（y＋8)cm,根據(jù)題意得2y＋y＋8=20,解得y=4, ∴y＋8=12,但4＋4=812,不符合題意. 故此等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為,分類(lèi)討論思想,考點(diǎn)講練,例7,練習(xí)10.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和6，求它的周長(zhǎng).,解：①若腰長(zhǎng)為6，則底邊長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為6+6+4=16； ②若腰長(zhǎng)為4，則底邊長(zhǎng)為6，周長(zhǎng)為4+4+6=14. 故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為14或16.,考點(diǎn)講練,如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝ 6 cm，BC＝8 cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕是DE，求CD的長(zhǎng)．,【分析】 欲求的線段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一邊，可設(shè)法找出另兩邊的關(guān)系，然后用勾股定理求解．,方程思想,考點(diǎn)講練,例8,解：由折疊知：DA＝DB，△ACD為直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 設(shè)CD＝x cm，則AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化簡(jiǎn)，得36＝64－16x， 所以x＝ ＝1.75， 即CD的長(zhǎng)為1.75 cm.,考點(diǎn)講練,,,,,,解題技巧：勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問(wèn)題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時(shí)，也可用勾股定理求出未知邊，這時(shí)往往要列出方程求解．,練習(xí)11.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角 線BD上的點(diǎn)A′處，則AE的長(zhǎng)為 .,,考點(diǎn)講練,三角形的證明,等腰三角形,等腰三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定,,勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定,直角三角形,直角三角形的性質(zhì),兩個(gè)直角三角形全等的判定（HL）,直角三角形的判定,等邊三角形,勾股定理的逆定理,垂直平分線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),課堂小結(jié),,