2012年高考數(shù)學 考點40 橢圓

考點40 橢圓一、選擇題1.（2012浙江高考文科8）如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點。若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（ ）A.3 B.2 C. D. 【解題指南】分別設(shè)出橢圓與雙曲線的方程,根據(jù)其焦點相同和M，O，N將橢圓長軸四等分得出離心率之間的關(guān)系.【解析】選.設(shè)雙曲線的方程為，橢圓的方程為，由于M，O，N將橢圓長軸四等分，所以， 又所以.2.（2012江西高考文科8）橢圓的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【解題指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列建立的方程，轉(zhuǎn)化為離心率，解方程得e.【解析】選B. 因為A、B為左右頂點，為左右焦點，所以，又因為成等比數(shù)列，所以即，所以離心率.3.（2012新課標全國高考文科4）與（2012新課標全國高考文科4）相同設(shè)是橢圓E：的左、右焦點，P為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則E的離心率為（ ）A B. C. D.【解題指南】根據(jù)題意畫出圖形，尋求所滿足的數(shù)量關(guān)系，求得離心率?！窘馕觥窟xC.設(shè)直線與軸交于點，則，在中，故，解得，故離心率.二、填空題4.（2012福建高考理科13）已知ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_.【解題指南】運用等比數(shù)列的基本知識和基本定義和公式設(shè)邊，運用余弦定理求解三角形【解析】依次設(shè)三邊為，則最大邊為，最大角的余弦值為.【答案】.5.（2012江西高考理科12）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列.若，則_【解題指南】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，整體得到三者所滿足的關(guān)系，求得的值.【解析】均是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即，35.【答案】35.6.（2012江西高考理科13）橢圓 的左、右頂點分別是A、B，左右焦點分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_【解題指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列建立的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程，解方程得e.【解析】為左右頂點，為左右焦點，所以，又因為成等比數(shù)列，所以，即，所以離心率【答案】.三、解答題7.（2012廣東高考理科20）（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請說明理由.【解題指南】 (1)根據(jù)題意可知從而可解出a,b的值。問題得解.（2）先求出原點到直線的距離，再利用圓的弦長公式，求出|AB|的長，進而求出,再根據(jù)在橢圓上，因而,從而確定出m的值，n的值。問題得解.【解析】（1）由題意得,橢圓C的方程為.(2)假設(shè)存在，設(shè)原點到直線的距離為d,則 ,在橢圓上，當且僅當,即此時.顯然存在這點的點或,使的最大，最大值為.8.（2012廣東高考文科20）在平面直角坐標系中，已知橢圓:（）的左焦點為,且點在.（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線同時與橢圓和拋物線:相切，求直線的方程.【解題指南】 (1)根據(jù)題意可知從而可解出a的值，問題得解.（2）由題意得直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)出直線方程分別與橢圓方程和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓和拋物線相切時滿足判別式等于0，可求得直線的方程. 【解析】（1）由題意得,橢圓的方程為.(2) 由題意得：直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線方程因為橢圓C的方程為 消去得直線與橢圓相切，.即直線與拋物線:相切，則消去得 即由（1）（2）解得所以直線的方程.9.（2012陜西高考文科20）與（2012陜西高考理科19）相同已知橢圓:，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.（）求橢圓的方程；（）設(shè)為坐標原點，點A，B分別在橢圓和上，求直線的方程.【解題指南】（1）根據(jù)已知橢圓方程求出長軸、短軸、焦距等值即可求C2的方程；（2）設(shè)而不求的方法表示A、B的坐標，分析向量的關(guān)系，確定直線AB的特殊性，然后求直線AB的斜率是關(guān)鍵.【解析】（）由已知可設(shè)橢圓C2的方程為（），其離心率為，故，則，故橢圓C2的方程為.（）（解法一）A，B兩點的坐標分別記為，由及（）知，O，A，B三點共線且點A，B不在軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為，將代入橢圓方程得，所以，將代入中，得，所以，又由得，即，解得，故直線AB的方程為或.（解法二）A，B兩點的坐標分別記為，由及（）知，O，A，B三點共線且點A，B不在軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為，將代入橢圓方程得，所以，由得，將代入橢圓C2的方程中，得，即，解得，故直線AB的方程為或. - 6 -