含參量瑕積分一致收斂性的判定

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1、2008年9月 Sep. 2008 第30卷第5期 Vol.30Nd,5 *山師危學(xué)Bt學(xué)按 Journal ofTcmgshan Teachers College 含參量瑕積分■致收斂性的判定 宋澤成 (扈山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與倍息科學(xué)系.河北 唐山063000) 摘要：依據(jù)兩類含參量反常積分可以互化的關(guān)系.從含參畳無窮限積分的一致收斂的判定定理出發(fā).給出了 含參■瑕積分一毀收斂性的判定定理及其證明. 關(guān)鍵詞$含參量瑕積分；含參量無窮限積分；一致收斂 中圖分類號(hào)：0172 文Itt標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009-9115(2008)05-0012-04 Judgme

2、nt Theorem of Consistent Astringency of Flaw Integral Containing Parameters SONG Ze-cheng (Dq)artmcnt of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Hebei Tangshan 063000, China) Abstract: On the base of the relation between the two abnormality integral containing parameters,

3、 the judgment theorem of consistent astringency of flaw integral containing parameters was deduced from the judgment theorem of consistent astringency infinite integral containing parameters. Some typical examples were given to illuminate the application of the obtained judgment theorem ? Key words

4、: flaw integral containing parameters; infinite integral containing parameters; consistent astringency 2008年9月 Sep. 2008 2008年9月 Sep. 2008 現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材及文獻(xiàn)中僅給出了含參St無窮限 積分一致收斂性的判定定理?忽視了含參呈瑕積分的一致收 斂性的判定，英實(shí)兩者Z間是同中有“異”的.它們?cè)跀⑹??和證明中都存在著不同之處?因此弄清它們的“異”對(duì)學(xué)習(xí) 含參鳳瑕枳分是很有必要的. 一、預(yù)備知識(shí) 定義I 在區(qū)域6卜［c, N)上冇定

5、 義?若對(duì)x的某些值.y = d為函& /(x, y)的瑕點(diǎn)(以F 的含參議瑕稅分未加說期都同此).則稱 f f(x, y}dy (1) 為含參fit X的瑕積分? 定義2對(duì)任給正數(shù)■?總存在某正數(shù)3Q.使得當(dāng)0 時(shí).對(duì)一切 xe［a9 b］^ 都仃 |O(x,翊 V ⑵ 證明：［必要性］由⑴在［a,

6、6］上一致收斂.故對(duì)任 給的r>0(S0?使得OvhvqvS 時(shí).有 2008年9月 Sep. 2008 2008年9月 Sep. 2008 收稿H 期：2008-1-24 作者簡介：宋澤成(1964-).男，河北瞞海人，唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系副救授. ?12? 第30卷第2期 唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2008年3月 宋澤成：含參量収積分一致收斂性的判定 14 第30卷第2期 唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2008年3月 14 第30卷第2期 唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2008年3月 忙/X,刃對(duì)<鏟 y)dy\

7、<^ 同時(shí)成立?則有 |【：/(x，翊 TL/(x，y^y-丄/熱咧 WI f_, /(x』M卜 | 打 /(x, y匈 v e. [充分性]由所給條件知：對(duì)任給正數(shù)?存在不依績 于x的5>0(5vd-c)?便得當(dāng)0 5 時(shí).對(duì)一 切xe[a9 b]9都有 令y->o>則有 由定義2尬 含簽竝瑕積分(\y([a9 6]一致收斂. [注〕根據(jù)含參址琨積分 f /(X, y)dy 一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則，我們可以給出其非一致收斂的充 姿條件，30 >0.對(duì)％5>o(5vd-c)? 3)v帀<%<

8、j).使 |/(x,y)|Wg(y),aWxWb,cWy0.存在5>0(5

9、任滋遞增數(shù)列 ｛名細(xì)1=6 4亠(〃卄6)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) Z廣/a，刃矽=gm) ⑷ 在b，M上一致收斂. 證明：[必耍性]因?yàn)?1旺0切上一致收斂，由定理 1知對(duì)任給的€>0 .必存在5>0(5v〃-c)?當(dāng) Q+00)且&遞堆? 則^->0(n->ao)且遞減.由數(shù)列極限定義.對(duì)上述 6>Q9存在正整數(shù)N.只要m>n>N時(shí)，就有 < v %, v 5 ?于是 k(x)+^>i(x)+—+^(x)l -f/(X,刃妙+ ???+ /(X

10、, y)dy =廣/(*，7剛 根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)柯西一致收斂準(zhǔn)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4)在 [a, 6]上一致收斂. [充分性]用反證法?備設(shè)⑴在[a, b]上非一致收魚 則存在臬一正數(shù)Q >0,使甜對(duì)于 存在相用的0 ] 使得 —般地取氏=min丄.-久(mW2)?則有 n (斗，刃如令 ⑹ 令則｛兒｝是遞堆數(shù)列?且有 limAn^d.夸察級(jí)效 用十 8 00 mi /ii n 由(6)式知存在正數(shù)。>0?對(duì)任戀正整數(shù)N.只要 n> N StWM 個(gè) x”w[a

11、，M?使 廣 f{x?yy)dy *? 這與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4)在［上］上一致收斂的條件矛盾.故 ⑴在肚”上一致收斂. 定理4 (軟利克雷判別法) 若含參量瑕稅分 滿足: 有 | f(x9y)dy |^A/ ? (ii)對(duì)毎一個(gè)xe\a9b］.函數(shù)g(x』)關(guān)于y單調(diào)且 當(dāng)y^d時(shí).對(duì)參ttx. g(x,y) —致收斂于0.則含參H 瑕積f/(x』)g(x,刃妙在［a,b］上一致收敘. 證明：由(i)可知：對(duì)一切c

12、j 0?有 |f7(x,y)^pA/ () 由條件(ii)可知：對(duì)任意的>0,存在與X無關(guān)的 5>0(5

13、xfy)(fy 滿足： ⑴含參辭?積分f(xty)dy在［a,b］上一致收斂; (ii)對(duì)每一個(gè)xe\p9b］f函數(shù)g(x,y)為y的單調(diào)函 數(shù).且對(duì)參fitx. g(xfy)在［a,"上一致有界，則含翁址 瑕枳分 刃 g(x,咖 在［a,b］上一致收斂. 證明：由(ii)知存莊M>0?對(duì)參址有 |g(x,y))MM (10) 因?yàn)棰藕涛蓁Χ惙諮/ f(x9y)dy在［a,”上一致收 斂.所以由定理1知：時(shí)任給的>0?存在與X無關(guān)的 5>0(5vd-c)?使得 0 時(shí).有 篇/(和)呦芍 (⑴ 故對(duì)任意x w［ab］,由枳分中值定理和(10).(11)可得： | 篇/3)

14、g(x，訓(xùn) 0x0-鬭/(羽翊+跑d ■初|『7(1 刈 = 2e ? M M 其中在d_rj和d-礦之間? 故由定理I知含參就瑕積分^f(x.y)g(x9y)dy在 ［%］上一致收斂. 定理6設(shè)f(x9y)在匕”卜卜皿)上連續(xù).對(duì)任何 *［a,b), f/(x,刃妙收斂，R 7。刃妙發(fā)散，則 f f(x9y)dy在證小)上不一致收斂. 證明：用反證法?若\ff(x9y)dy在肚力上一致收斂. 由柯西收敘準(zhǔn)則：對(duì)任給的。>0,存在5>0(5vdY)?當(dāng) 0<”<帀<5時(shí).對(duì)一切xw［a,b)有 忙:/Xx,刃⑷

15、分血用連續(xù)性定理，令XTbS有 |篇?刃妙I(lǐng)". 這與所設(shè)含參尼瑕枳分f f(b9y)dy發(fā)散相矛氐 故 14 三、典型例題 宋澤成：含泰童瑕積分一致收斂性的判定 易證（12）、（13）右瑞的函效在區(qū)間（0,1）和（1,2）上的枳分 收斂，所以由定理2知 例題1證明含妙址瑕枳分舟空 （X €（0,1）） 空一在 -2-2）2 上一致收斂. 例麵3證明含倉fit瑕枳分|\n（xy）dy在 （b>l）上一致收斂. 證明：由條件可知 |ln(xy)| = |lnx + lnj| ^|lnx| + |ln^| W \nb-\ny 故對(duì)于任給的>0?取久=占4

16、?當(dāng)0<巾<4時(shí).即右 「 因此.對(duì)于0 vxv 1它是一致收斂的? 對(duì)于枳分上 而（（Inb-Iny）妙收斂?所以由定理2知 （In（矽沏在［*, > 1）上一致收斂. 例JS 4判別含妙員瑕積分（Asin丄和在開區(qū)何 ?由于 收對(duì)于任給的€>C9取當(dāng)0

17、? 例JH2證明含參fit瑕積分 才dy _時(shí) 心 IX，-2)2 ? Vxe［O,|］ _致收效. 證明：易見嚴(yán)h嚴(yán)2是瑕點(diǎn).將積分分成在（0,1）及（I. 2）上的兩個(gè)積分? 當(dāng)0<嚴(yán)1且X€ ［0,0.5］時(shí).有 證明:由于［于Cfy收斂（當(dāng)然，對(duì)于參

18、 (I-卯 O-2)> (13) ［參考文獻(xiàn)1 ［1］華東師大數(shù)學(xué)系?數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)X第三版）［M］?北京高 等敎育M版社?2001? ⑵華東師大數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)X第三版）【"］?北京:離 等教育出版社.2001. ［3］ 劉玉璉，傅沛仁?數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)X第三版）M?北京:高等 教育出版社」992? （4］ 陳紀(jì)修■於崇華?數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)X第二版）（M］.北京:高尊教 育出版社J988. （責(zé)任編輯.校對(duì)：陳景林）