含參量反常積分的一致收斂性判別法

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1、3.含參量的反常積分一致收斂性判別法 Weierstrass 判別法 設(shè)函數(shù)f(x,t)定義在 D -「(x,t): a _x 5心，t T R： 中，若 (a) 對(duì)于每個(gè)A a， f (x, t)在x：二［a, A］上為r-可積的； -bo (b) 存在:(x)，使得 (x)dx收斂，且 a f(x,t)蘭半(x), xE［a,+o)； -bo -bo 則反常積分 f(x,t)dx關(guān)于t^T絕對(duì)一致收斂，亦即，反常積分 f(x,t)dx關(guān)于t^T 一致 a a 收斂. 我們稱定理中的 (x)為f (x,t)的優(yōu)函數(shù). Abel判別法 設(shè)函數(shù)f (x,t)、g (x

2、,t)定義在 D X(x,t): a zx ： ：：, t T R； 中，若 -bo (a) 若反常積分f f(x,t)dx關(guān)于t^T 一致收斂； a (b) g(x, t)是x的單調(diào)函數(shù)，且存在常數(shù) L 0 (與［a, ?：：)、t T無關(guān))，使得 g(x,t)el ； -bo 則反常積分［f (x,t)g(x,t)dx關(guān)于t T 一致收斂. a Dirichlet 判別法 設(shè)函數(shù)f (x,t)、g(x,t)定義在 D - \(x,t): a _ x ：： ：：, t T R： 中，若 A (a)對(duì)于每個(gè)A a， f (x, t)在［a, A］上為R-可積的，且

3、積分.f(x,t)dx關(guān)于t T a 一致有界，亦即， M?0 (與A、t無關(guān))，使得 A J f (x,t)dx 乞 M ; a (b) g(x, t)是x的單調(diào)函數(shù)，且 xlim g(x,t) =0 x廠: 關(guān)于t T 一致成立； -be 則反常積分 f (x,t)g(x,t)dx關(guān)于t三T 一致收斂. a :: 2 - 補(bǔ)充例9 試證反常積分 u三.0,亠「］一致收斂. e」-sin x dx，二匸0為常數(shù)，關(guān)于 0 ? 丿 -ox sin x Ee 一 X, u 〔0,：：， (*) e-xdx—亠掙 a =1 收斂，故由 Wei

4、erstrass判別法知反常積分 Ct ?F 2 -u ■■■ x . . e sinx dx 0 關(guān)于u三0,：一致收斂; 補(bǔ)充例10 試證反常積分 -bC - 0 sinx du， - - 0為常數(shù)，關(guān)于x- .0,亠「］一致收斂. 證* - 0，由 -bo -bo fu4x ‘ sin x du = —ox ? 「 ―u x . e sin x Je du A A 作變量代換t = x u， 上式右邊成為 sin x (** ) 注意到 /xs in x xim x Pm乎才x=0 -bo .

5、e42 xA dt .2 e dt  -bo t2 積分e~ dt :- 0 TT —是著名的歐拉積分，我們將在下面計(jì)算它 2 于是，對(duì)于(**), Vs >0 , ^> a0,當(dāng) xw (0,6 )時(shí)，有 2； 進(jìn)而，- A 0， x三［0,，有 乂 2亠、 2飛" bi nxdu = -bo _u2 x i e sin x Je du A A 顯然，x=0上述不等式也成立，因此，對(duì)于 -A . 0、x：= |0,、：時(shí), fe)xsinxdu A 另一方面，_x :三匕，亠「］,由 -be -be 與 er"du收斂（歐拉型積

6、分），故由Weierstrass判別法，知反常積分 e 0 0 xsinxdu在 一x ：二1：,：：中一致收斂.聯(lián)合關(guān)于x 1.0^ 與x：二山，：;心］；的結(jié)果，補(bǔ)充例10得證. 補(bǔ)充例11 試證反常積分 Jsinx 0 dx關(guān)于u「〔0,= —致收斂. x 竺仝dx收斂，因此關(guān)于u：= Io, —致收斂; 0 x 另一方面, g x,u =e"u 關(guān)于x 〔0, ?二單調(diào)遞減，且在 x, u 1-0, ?:: 1-0 ?::中 一致有界 x u 0 -e - 1 , Abel判別法便證明了例11. 補(bǔ)充例12 試證反常積分 esinx sin2x

7、dx關(guān)于；-三〔0,亠「［一致收斂. 0 5 1 1 證 由g X, 當(dāng)Xr"時(shí)單調(diào)遞減且g x, 0 ；另一方面, X九 XA A A si nA 「si nx 」 [e sin 2x dx =2 .si nx ? i [e sin x cosx dx =2 [t et dt 0 0 0 只 ? . si nA sin A , . _ =2 sin A e -e +1 蘭 6 e ； Dirichlet判別法證明了補(bǔ)充例 12 . .1 1 sin - 補(bǔ)充例13 設(shè)-：::::p ：：： ?::,考慮反常積分 | pX

8、 dx，試證 、xp 0 (1) (2) -:::::p ::: 1絕對(duì)收斂、當(dāng)1 < p ::: 2非絕對(duì)收斂、當(dāng)2乞p ：：： ?::發(fā)散; pD0,2-「一致收斂，其中、：.0、當(dāng)p"0,2 非一致收斂? (1) 將有限區(qū)間X - 當(dāng)-:::::p ：：:1 時(shí)，令 .1 si n — 0,1 ］上的函數(shù) 公的積分化為無限區(qū)間上的積分比較方便 Xp 1 1 t， dX ^dt，x：=〔0,1 丨）t x t .1 1 sin 1 二 Tdx二 0 x :: sint -1dt _ : 2 dt - I 丄 t2 11 t 勢(shì)dt. #

9、 于是, -ba :t sint dt「t2〔 dt 1 t 因此當(dāng) p -1 時(shí)，有 2 - p 1， 垃1 故積分 —- dt的收斂性保證了反常積分 I絕對(duì)收斂；因此, 1 t 當(dāng)< p ::: 1時(shí)，積分絕對(duì)收斂； 當(dāng) 1 _ p :: 2，則 0 ：：： 2 — p _ 1，積分 sint dt發(fā)散，這是因?yàn)? # # sint 嚴(yán) 2 sin t 1 -cos2t 1 cos2t ■ —■ t 2t 2t 2t -1 cos2t dt發(fā)散，而 dt收斂；另一方面，由 1 2t 1 2t A

10、Jsint dt = cos1—cosA 蘭2, i 1 t2』 單調(diào)遞減趨向于零 因此由 Dirichlet 判別法知，積分I當(dāng)1 < p ... 2時(shí)積分I收斂；綜合, 當(dāng)1 < p ::: 2時(shí)，積分I非絕對(duì)收斂； ③當(dāng)2蘭p v +處，對(duì)于p = 2，積分 int 1 t2“ dt = -bo J sint dt 1 發(fā)散；對(duì)于p A 2， 積分| = tp si nt dt，故對(duì)于每個(gè)N，有 i 七c 「兀2兀3兀 2呵 2n7i乜 、 Jtpsi nt dt J+j+J+…+ J + [ +…》tpsi n t dt， 1 J 兀2兀

11、 2n兀 2n兀 J 且 2n「二 2ny J tpsintdtA（2n兀）p， J sintdt=2（2n兀）卩‘ 2n 二 2n二 2n 二 2 二 J tp si nt dt = J （2n 兀 一2兀十 y ）psi n（2n 兀 一2兀 +y ）dy 2n「：_二 二 2 二 二 p _2 P-2 二 2n二-2二 y sin y dy - - 2n二-u sin u du， 二 o 由 31 0 ii2n二-sinu du ：： 2n ■「i cosu 0 =2 2n二 0 得到 n P-2 # P-2 -2 2n 2n二-u sinu du

12、：： 0， 0 故 乂 1 1 ：-. 2 二 3 二 2n 二 2n：「. | tp sin t dt 二 1亠1亠1亠亠1亠1亠"2 si nt dt I T V V V 1 1 2?. 2n 二-二 2nd tp^sint dt -2 2二 g 2 2二 2 - -2 2n「：心 2 2n二 心- 1 JI JI 二 tp^si nt dt > i si nt dt - - cost = cosV ；， 1 1 當(dāng)2空p ：：： ?::時(shí)，積分發(fā)散. (2) 對(duì)于.0，在 ■■■ 2 - - I 中，由 p _ 2 -、： =■ 2 - p _「.

13、，得 1單調(diào)遞減趨于零; t「 而積分 一致有界，故據(jù) Dirichlet 判別法, ② 最后, .1 1 sin 積分I -x i p 0 X 我們用反證法，設(shè)積分在區(qū)間 s.t. - A A Aq 時(shí)，有 A Jsint dt 1 得到積分 I A" =cosl-cosA 冬 2 .1 1 sin 詐dx在p^ ■■■ 2 - -)上一致收斂； x 在 p ,2 非一致收斂. ,2上一致收斂，則對(duì)；0 =1， 代二代[，:廣a =1， sint A產(chǎn) ~p - 2 . 但這不可能，因?yàn)槿羧?A =2k二、 A” h[2k ?

14、1二，則當(dāng)k充分大時(shí)，有 9 # 1 > ； l「2k - 1 ■: 2k 1 二 sint dt . 一2 卻 2k爲(wèi) |L；：2k 1 二 當(dāng)p》2 一時(shí)，上式右邊 尸 > 2，得到1二；0 2的矛盾. [(2k+“ 廠 0 補(bǔ)充習(xí)題 1、討論積分 ^sinxdx 的收斂性，其中 x ■為實(shí)數(shù). -be . c .sin x Sin 2X . al l t ?亠 2、討論積分 -0. e dx的收斂性，其中 0 -bo 3、討論積分I = J x e&Xdx在a e Bo,畑）上的一致收斂性，其中 a。＞0. 0 -be . ：0 1 . sin ： x | 4、討論積分 cosx dx在. 0^- ■上的一致收斂性，其中 o x 1 5、討論積分|二xpJ dx在p ：= lp0,：；；s ］上的一致收斂性，其中 p0 0. 0 1 6、討論積分I二xpJ ln x dx在亠「［上的一致收斂性，其中 p0 0. 0 #