2012高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點19 立體幾何大題 新課標

【兩年真題重溫】【2011新課標全國理，18】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面() 證明：；() 若，求二面角的余弦值，設(shè)平面的法向量為，則，即，因此可取設(shè)平面的法向量為，則，可取故二面角的余弦值為 從而，故，又底面，可得，所以平面故 【2010 新課標全國理，18】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點.（1） 證明：PEBC（2） 若APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值 【2010 新課標全國文，18】如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，,垂足為，是四棱錐的高。（）證明：平面 平面;（）若,60,求四棱錐的體積?！久}意圖猜想】輯推理能力【最新考綱解讀】【回歸課本整合】3.平面與平面平行 5.（理）直線與平面所成的角（3）二面角的范圍：；7（理） 利用向量處理平行問題（1）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線；2.求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量，并求出平面的一個法向量，若設(shè)斜線和平面所成的角為,由.【方法技巧提煉】1. 線線平行與垂直的證明證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性.例1 如圖，四面體CABD，CB = CD，AB = AD， BAD = 90.E、F分別是BC、AC的中點. （1）求證：ACBD；（2）如何在AC上找一點M，使BF平面MED？并說明理由；（3）若CA = CB，求證：點C在底面ABD上的射影是線段BD的中點. 解析：（1）取BD的中點O，連接AO，CO，在BCD中BC = DC，COBD，同理AOBD 而AOCO = O，BD平面AOC，又平面AOC，ACBD. （2）取FC的中點M，連接EM，DM，E是BC的中點，BFEM，平面MED，BF平面MED，F(xiàn)C的中點M即為所求. （3）ABD是等腰直角三角形，BAD = 90，AO = BO = DO；CA = CB = CD，CO是公共邊，COACOBCOD；COA=90，即COAO，又COBD，AOBD = O，CO平面ABD，即點C在底面ABD上的射影是線段BD的中點 .例2 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點 PABCDEF（1）求證：平面PAD；（1）面面平行的證明方法：反證法:假設(shè)兩個平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；面面平行的判斷定理；利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；向量法：證明兩個平面的法向量平行.BB1C1C;(3) AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要條件嗎? 請你敘述判斷理由.(1)證明: AB=AC, D是BC的中點, ABCDA1B1C1MADBC. 底面ABC平面BB1C1C, AD側(cè)面BB1C1C. ADCC1. E(2)證明：延長B1A1與BM交于N, 連結(jié)C1N. AM=MA1, NA1=A1B1. A1B1=A1C1, A1C1= A1N=A1B1. C1NC1B1. 截面N B1C1側(cè)面BB1C1C, C1N側(cè)面BB1C1C. 截面C1N B側(cè)面BB1C1C. N截面MBC1側(cè)面BB1C1C.(3)解: 結(jié)論是肯定的, 充分性已由(2)證明.下面證必要性: 過M作MEB C1于E, 截面MBC1側(cè)面BB1C1C, ME側(cè)面BB1C1C. 又AD側(cè)面BB1C1C, MEAD. M, E, A, D共線. A M側(cè)面BB1C1C, AMDE. CC1AM, DECC1. D是BC的中點, E是BC1的中點. AM= DE=CC1=AA1,AM= MA1.例4 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，AA1，D 是A1B1中點（1）求證C1D平面A1B；（2）當點F在BB1上什么位置時，會使得AB1平面C1DF？并證明你的結(jié)論解析:對于第二問，要滿足AB1平面C1DF，可想辦法構(gòu)造AB1 DF,從而確定F點位置.（例5 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（ ） A.B. C. D. 答案：D解析：如圖2連與交與O點,再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成角. ， 。（即點到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.（4）秒用公式，直接得到線面角答案：例8已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于（ ）ABCC1A1B1xyzOA B C D答案：A解析：如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)正三棱柱的棱長為2，A（-1，0，0）B1(0,),則,O(0,0,0),B(0, )，則為側(cè)面ACC1A1的法向量由.6.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示（3）向量法：法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角；法二：設(shè),是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)（同等異補），則二面角的平面角 例9 如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，AC與BD交于點E，CB與CB1交于點F.（I）求證：A1C平BDC1；（II）求二面角BEFC的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.解法一：（）A1A底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影.ACBD.A1CBD.同理A1CDC1,又BDDC1=D,解法二：（）以點C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)（）同（I）可證，BD1平面AB1C.軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4.QBCPADzyxOABCDEA1B1C1Ozxy圖1 圖2 圖3 圖4理，只需通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題.例9 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB/CD,AB=AD=1,D1D=CD=2,ABAD（1)求證：BC面D1DB；（2)求D1B與平面D1DCC1所成角的大小；（3)在BB1上是否存在一點F，使F到平面D1BC的距離為，若存在，則指出該點的位置；若不存在，請說明理由（1)證明：如圖建立坐標系D-xyz,，BCDD1, BCDBD1D DB=D，BC平面D1DB （2) AD平面D1DCC1，平面D1DCC1的法向量，依據(jù)向量距離公式，確定點的坐標，進而判斷是否存在，這是思路經(jīng)常用.【考場經(jīng)驗分享】【新題預(yù)測演練】1.【唐山市20112012學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】（理）如圖，在三棱柱ABC-A1BlC1中，CC1丄底面ABC,底面是邊長為2的正三角形，M, N分別是棱CC1、AB的中點.(I)求證：CN/平面 AMB1;(II)若二面角A-MB1-C為45,求CC1的長.解：（）設(shè)AB1的中點為P，連結(jié)NP、MPCMAA1，NPAA1，CMNP，CNPM是平行四邊形，CNMPCN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB14分即則w0，令v1，則u，即m(，1，0)10分所以cosm，n，依題意，m，n45，則，解得a，所以CC1的長為212分（文）如圖，在三棱柱ABC-A1BlC1中，CC1丄底面ABC，底面是邊長為2的正三角形，M、N、G分別是棱CC1、AB, BC的中點.(I )求證：;(II)若求證：.解：（）設(shè)AB1的中點為P，連結(jié)NP、MPCMAA1，NPAA1，CMNP，CNPM是平行四邊形，CNMPCN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB14分（）CC1平面ABC，平面CC1B1B平面ABC，AGBC，AG平面CC1B1B，B1MAG6分CC1平面ABC，平面A1B1C1平面ABC，CC1AC，CC1B1C1，在RtMCA中，AM同理，B1M9分BB1CC1，BB1平面ABC，BB1AB，AB12，AM2B1M2AB，B1MAM， 10分又AGAMA，B1M平面AMG 12分ESDCAB2.【2012年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】（理）如圖，在四棱錐S-ABCD中，ABAD，ABCD，CD=3AB=3，平面SAD平面ABCD，E是線段AD上一點，AE=ED=，SEAD. （）證明：平面SBE平面SEC;（）若SE=1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值.解：（）平面平面,平面平面,（）由（）知，直線ES,EB,EC兩兩垂直.如圖，以EB為x軸, 以EC為y軸,以ES為z軸,建立空間直角坐標系.則，.設(shè)平面SBC的法向量為，則解得一個法向量，9分設(shè)直線CE與平面SBC所成角為，則又所以直線CE與平面SBC所成角的正弦值12分（文）如圖，在四棱錐S-ABCD中，ABAD，ABCD，CD=3AB=3，平面SAD平面ABCD，E是線段AD上一點，AE=ED=，SEAD. （）證明：平面SBE平面SEC;（）若SE=1，求三棱錐E-SBC的高.（）證明: 平面平面,平面平面,平面， 平面. 2分平面 ，=3, AE=ED=所以即4分結(jié)合得BE平面SEC,平面， 平面SBE平面SEC. 6分（）如圖，作EFBC于F,連結(jié)SF.由BCSE,SE和EF相交得，BC平面SEF,由BC在平面SBC內(nèi)，得平面SEF平面SBC.作EGSF于G,則EG平面SBC.即線段EG的長即為三棱錐E-SBC的高.9分由SE=1，BE=2，CE=得BC=4，EF=.在中，,所以三棱錐E-SBC的高為.12分3.【2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】=(,1， 1),8分設(shè)平面BEF的法向量=（）則 令，則,=（）10分同理，可求平面DEF的法向量 =（-）設(shè)所求二面角的平面角為，則=.12分（文）如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ABC=60，EC面ABCD，F(xiàn)A面ABCD，G為BF的中點，若EG/面ABCD (I)求證：EG面ABF； ()若AF=AB=2，求多面體ABCDEF的體積證明；第二問中利用體積分割進行求解. ()解:取AB的中點M，連結(jié)GM,MC.可得GM /FA,因為EC面ABCD, F A 面ABCD,所以CE/FA,EC/GM.2分面CEGM面ABCD=CM,EG/ 面ABCD,EG/CM,4分在正三角形ABC中，CMAB,又FACMEGAB, EGAF,EG面ABF.6分（）=,8分,10分.12分4.【河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】（理）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點(I)求證：MN平面PCD；(II)在棱PC上是否存在點E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請說明理由（）證明：取PD中點為F，連結(jié)FC，MF（文）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1A1C1=90，D、E分別為CC1和A1B1的中點，且A1A=AC=2AB=2 (I)求證：C1E平面A1BD； ()求點C1到平面A1BD的距離（）證明：取中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)D,又,平行且等于所以為平行四邊形，4分，又平面,平面.6分（），,8分所以,，10分及，.所以點到平面的距離為.12分5.【保定市20112012學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】（理）如圖，在正三棱柱中，是的中點，是線段上的動點，且(1)若，求證：；(2)求二面角的余弦值；(3) 若直線與平面所成角的大小為，求的最大值.解析：（1）證明：取中點，連接,則有平行且相等所以四邊形是平行四邊形，.2分（3）.10分令.12分（文）如圖，在正三棱柱中，是的中點，是線段上的動點，且(1)若，求證：；(2)求二面角的正弦值；(3)求三棱錐的體積所以點到平面的距離等于.10分又.12分 所以平面. 即，, （）設(shè)為平面的一個法向量，則有， 即，所以 7分 所以12分因為平面平面，平面平面=，并且，所以平面，所以平面， 13分又因為平面，所以平面平面14分因為,為的中點，所以又， 所以平面 4分又平面，平面，所以平面 9分（）因為， 又平面平面，交線為， 所以平面 以為坐標原點，分別以所在的直 線為軸， 建立如圖所示的空間直角坐標系 由=2，則有， 設(shè)平面的法向量為=， （文）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面， 是中點，為線段上一點.（）求證：； 所以在中,為的中點，所以為中點在中,，分別為，的中點，所以又平面, 平面,故/平面. 14分8.【北京市西城區(qū)2011 2012學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】（理）如圖，在直三棱柱中，是的中點（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由 （）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié).由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點.又為中點，所以為中位線，所以 ， 2分因為 平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系. 5分設(shè)，則.所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得. 7分易知平面的法向量為. 8分由二面角是銳角，得 . 9分所以二面角的余弦值為.（）解：假設(shè)存在滿足條件的點.因為在線段上，故可設(shè)，其中.所以 ，. 11分因為與成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以當點為線段中點時，與成角. 14分（文）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為，是的中點（）求證：平面； （）求證：平面；（）求三棱錐的體積 （）證明：因為是正三棱柱，所以 平面.又 平面，所以 . 3分因為 是正三角形，是的中點，所以 ， 4分所以 平面. 5分（）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié).由 是正三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點.又為中點，所以為中位線，所以 ， 8分因為 平面，平面， 所以 平面. 10分（）解：因為 ， 12分所以 . 14分即因此可取m(1，1)8分設(shè)n(x2，y2，z2)是面SBC的一個法向量，則即因此可取n(0，1)10分cosm，n，故平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為3012分10.【山西省高三第二次四校聯(lián)考】PABCDE（理）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，,平面, （1） 求證：平面； （2） 求二面角的大小. （文）如圖，在四棱錐中，側(cè)面是邊長 為2的正三角形，且與底面垂直；底面是菱形，為的中點 （1）求四棱錐的體積；（2）求證：平面所以又，所以面 12分(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，(4,5,0)，(8,0,0)設(shè)平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)，由得即可取n1.由即 得可取n2(5,4，3)又cosBPA，從而PMPBcosBPA2，所以AMPAPM3.綜上所述，存在點M符合題意，AM3.，得 提示四（方法二）切值 ()證明：在四棱錐PABCD中，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OM，PO由條件可得PO，AC2，PAPC2，COAO因為在PAC中，M為PC的中點，O為AC的中點，所以O(shè)M為PAC的中位線，得OMAP，又因為AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA平面MDB 6分() 解：設(shè)NCMOE，由題意得BPBC2，且CPN90因為M為PC的中點，所以PCBM，同理PCDM，故PC平面BMD所以直線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線OM，MEC為直線CN與平面BMD所成的角，又因為OMPA，所以PNCMEC在RtCPN中，CP2，NP1，所以tanPNC，故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為2 14分13.【2012年邯鄲市高三第一次模擬考試】（理）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，（II）以中點為坐標原點，以所在直線為軸,所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則 8分，即，解得，10分所以二面角的余弦值為 12分（文）已知四棱錐的底面為菱形，且，,為的中點.（）求證：平面；（）求點到面的距離（本小題共12分）（I）證明：連接 為等腰直角三角形為的中點 2分 又 是等邊三角形 ，4分又 ，即 6分 平面PAD所成的角為，由sin=|cos，|=8分解得a=2 所以（,0,0），（，1）設(shè)平面AEF的一法向量為m=(x1,y1,z1)，則，因此取z1=-1，則m=(0,2,-1),10分 因為BDAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面AFC，故為平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），所以cosm,=.因為二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.12分（文）如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.()求出該幾何體的體積。()若是的中點，求證：平面；()求證：平面平面.解：()由題意可知：四棱錐中，平面平面，所以，平面 2分又，則四棱錐的體積為：4分()連接，則 又，所以四邊形為平行四邊形， 6分平面,平面,所以，平面； 8分() ,是的中點,又平面平面平面 10分由()知：平面又平面所以，平面平面. 12分14.【2012年河北省普通高考模擬考試】，即PDAC. .6分 (II) 假設(shè)在棱PA上存在一點E，不妨設(shè)=，則點E的坐標為， .8分設(shè)是平面EBD的法向量，則，則可解得，即=故在棱上存在點，當時，使得二面角E-BD-A的大小等于45.12分（文）如圖，四棱錐的底面是矩形，且側(cè)面PAB是正三角形，平面平面ABCD，E是棱PA的中點（）求證：平面EBD；（）求三棱錐的體積【解析】（I）證明：在矩形ABCD中，連結(jié)AC，設(shè)AC、BD交點為O，則O是AC中點又E是PA中點，所以EO是PAC的中位線，所以PC/EO3分又EO平面EBD，PC 平面EBD所以PC/平面EBD6分(II) 取AB中點H，則由PAPB，得PHAB，又平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB，所以PH平面ABCD .8分取AH中點F，由E是PA中點，得EF/PH，所以EF平面ABCD，由題意可求得：=，PH=，EF=， .10分則 .12分15. 【湖北省武漢市2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試答題適應(yīng)性訓(xùn)練】（理）在直三棱柱中，BA1C1B1ACD（）若異面直線與所成的角為，求棱柱的高；（）設(shè)是的中點，與平面所成的角為，當棱柱的高變化時，求的最大值解法1：在中，由，得，解法2：建立如圖2所示的空間直角坐標系，設(shè)，則有所以，故當時，的最大值. 2分.A1故就是與平面所成的角. 2分B1C1在Rt中，由，可得.EAC在Rt中，由，B得，故. 因此與平面所成的角. 16.【湖北省八校2012屆高三第二次聯(lián)考】（理）已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由 2211正視圖側(cè)視圖俯視圖ABC（）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系. 5分，則.所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得. 6分46用心 愛心 專心