【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文】微元法在物理解題中的應(yīng)用

畢 業(yè) 論 文微元法在物理解題中的應(yīng)用微元法在物理解題中的應(yīng)用 指導(dǎo)教師姓名： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 學(xué)士 學(xué)科、專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文提交日期： 論文答辯日期: 學(xué)位授予單位： 答辯委員會(huì)主席： 評(píng) 閱 人： 黃山學(xué)院畢業(yè)論文i微元法在物理解題中的應(yīng)用微元法在物理解題中的應(yīng)用摘摘要要微元法是分析連續(xù)過(guò)程積累的一種方法，故在普通物理學(xué)中應(yīng)用廣泛在進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)之初，常常因從中學(xué)的恒力問(wèn)題過(guò)渡到變力問(wèn)題，時(shí)而思路混亂，于是牛頓采用“微元”方法處理分析物理現(xiàn)象，創(chuàng)立微積分學(xué)本文追隨著大師的思想，介紹物理解題所采用的微元法在力學(xué)和電磁學(xué)方面的具體的應(yīng)用關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：微元法，萬(wàn)有引力，牛頓運(yùn)動(dòng)定律，磁通量微元法在物理解題中的應(yīng)用iiThe Apply of Element method In Solving Physics ProblemsABSTRACTElement analysis is the process of continuous accumulation of a method, Therefore, in general physics widely used. At the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondary issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, So Newton used“element method”Dealing with the physical phenomena analysis, the creation of Calculus. This paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the Element method in mechanics and electromagnetic fields of science, the specific application. KEY WORDS: Element method, Universal Gravitation, Newtons Laws of Motion, Flux 黃山學(xué)院畢業(yè)論文iii目目 錄錄第一章第一章 緒緒 論論 1第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ) 12-1 微元法的定義 12-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ) 3第三章第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 4第四章第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 6第五章第五章 總結(jié)總結(jié) 8參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 9致致 謝謝 10黃山學(xué)院畢業(yè)論文1第一章第一章 緒緒論論 “微元法”是在物理解題時(shí)所采用的一種特殊的分析方法這種方法的精髓就是把確定的研究對(duì)象分割為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通過(guò)對(duì)所抽取的這一部分的研究，就可以認(rèn)為是整體或全過(guò)程的性質(zhì)和規(guī)律，它實(shí)質(zhì)上是“從復(fù)合到單一，從單一到復(fù)合”的分析與綜合思維方法，因此微元法具有廣泛的應(yīng)用性第二章第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)2-12-1 微元法的定義微元法的定義所謂微元法就是指將連續(xù)的（線，面，體）看成無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限?。ň€元，面元，體元）的集合，整個(gè)物體的物理量就變?yōu)闊o(wú)限個(gè)小微元相應(yīng)物理量的“無(wú)限積累” ，從而將物理問(wèn)題“翻譯”成為數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法微元法在某些文獻(xiàn)中被命名為元過(guò)程分析法，它把一個(gè)極小的微元過(guò)程和一個(gè)大過(guò)程視為本質(zhì)上的相同只要分析透了微元的物理狀況（實(shí)際上可推廣到一切動(dòng)態(tài)變化）及其邊界條件的相互關(guān)系，就可以根據(jù)定積分去推倒全過(guò)程的基本規(guī)律在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，有大量的問(wèn)題，定量求解它們的途徑都可以歸結(jié)為一種和的極限的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象，就成為定積分微元法概念這類問(wèn)題，在力學(xué)中比比皆是，也就是說(shuō)，在力學(xué)中，有不少的物理量，可以借助于微元法來(lái)計(jì)算其滿足條件的數(shù)值大小或分析其作為變量的變化期間和變化規(guī)律，所以，定積分在力學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用應(yīng)用定積分理論解決力學(xué)實(shí)際問(wèn)題的第一步是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，這一步往往比較困難，而微元法（亦稱為微元法分析法，元素法）恰是解決這一困難，實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的有力設(shè)求解的實(shí)際問(wèn)題可化為在區(qū)間上的某個(gè)量，如果我們?cè)诰哂写硇缘娜我恍^(qū)間, a bF上，以“勻代不勻”或“不變代變”找到這個(gè)量的微元,則根據(jù)微元,則根據(jù)微, x xdx( )dFf x dx分基本定理，這個(gè)量就可以應(yīng)用定積分計(jì)算顯然，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在微( )( )( )baF aF bf x dx小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析，尋找并列出正確的微分式，故而這種方法稱為微元法2-22-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ)2-2-1 微元法的理論基礎(chǔ)微元法的理論基礎(chǔ)我們知道，能夠應(yīng)用微元法求解的量應(yīng)該具備下列條件：F微元法在物理解題中的應(yīng)用2（1）它是一個(gè)與變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；, a b（2）它對(duì)于區(qū)間具有可加性，即如果把分成若干個(gè)小區(qū)間，則它能相應(yīng)地分成若干, a b, a b個(gè)對(duì)應(yīng)的部分量，且該量就等于所有部分量之和；（3）部分量的近似值可以表示為，這樣就可以用定積分來(lái)表示這個(gè)量iF( )iifxF 將滿足上述條件的量寫(xiě)成可運(yùn)算的積分表達(dá)式的步驟可歸納為：F（1）根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量（例如）作為積分變量并確定它的變化區(qū)間；x, a b（2）將區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作 ，求出相應(yīng)與這個(gè)小, a b, x xdx區(qū)間的部分量的近似值，如果能近似地表示為 x 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)與的乘積（這里FF f xdx與相差一個(gè)比高階的無(wú)窮?。?，就可以將它記作為，即；F f x dxdxdF( )dFf x dx（3）以所求量的微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作定積分得：F f x dx, a b( )baFf x dx結(jié)果即為所求的實(shí)際量，根據(jù)所求問(wèn)題的不同，它可以是一個(gè)具體的數(shù)值，也可以是一個(gè)函數(shù) 作為微元法應(yīng)用的實(shí)例，我們考察一個(gè)以速度定積分作變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，欲求它在時(shí)間 vv t間隔內(nèi)產(chǎn)生的位移的大小, a b在這里，速度是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，因此求該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的位移就不能冒失的應(yīng), a b用這樣的簡(jiǎn)單公式了，但只要我們注意到質(zhì)點(diǎn)的速度是連續(xù)變化的，即它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，xvt在一段很短的時(shí)間內(nèi)，它的變化很小，近似不變，這就為我們提供了以“不變代變”的條件，而且所取的時(shí)間間隔越短，這種近似代替的精確度就越高我們所求的位移具有可加性，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)的總位移等于每一個(gè)小區(qū)間的位移之和，, a b這樣就使它具備了用微元法求解的條件具備了條件就可以著手解決問(wèn)題了，首先“化整為零” ，把時(shí)間區(qū)間用分點(diǎn)、，分為段，而且滿足，這樣, a b0t1t2t1ntntn011nnattttb各段區(qū)間長(zhǎng)為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在第 個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)所產(chǎn)生的位010ttt121ttt11nnnttti移為，在這一短暫時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的速度變化很小，可近似視為不變，因此質(zhì)點(diǎn)在這一短暫時(shí)ix間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)就可視為勻速運(yùn)動(dòng)而利用公式求其位移了，即;把各個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的xvt( )iiixv tt位移相加，即得，當(dāng)，即可得到此變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的位移10( )niiixv tt0it , a b黃山學(xué)院畢業(yè)論文3，當(dāng)全部的同時(shí)趨于 0 時(shí)，的極限存在，則此極限值就是質(zhì)點(diǎn)的位移，也就100lim( )iniitixv tt itx是函數(shù)在區(qū)間 上的定積分 yv t, a b( )baxv t dt由此，我們可以歸納出如下的解題步驟：（1）由于質(zhì)點(diǎn)的速度是隨時(shí)間變化的，因此選取 作為積分變量，其變化區(qū)間為；vt, a b（2）將分為若干個(gè)小區(qū)間，在任意小區(qū)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移，, a b0t1t1ntit( )iiixv tt因?yàn)樗俣鹊淖兓沁B續(xù)的，因此可以表示為一個(gè)連續(xù)函數(shù)與的乘積，此時(shí)可將它記作，ix v tdtdx即； dxv t dt（3）以所求量的微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作，對(duì)于具體問(wèn)題，x v t dt, a b( )baFv t dt的積分后代入，下限即可得到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在在區(qū)間上的位移 v t, a b, a b上述步驟亦可規(guī)律化為：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題性質(zhì)確定積分變量及其變化區(qū)間；（2）將變量的變化區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，求出每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)待求量的表達(dá)式，這就是所謂的“化整為零” ；（3）待求量在變量的變化區(qū)間內(nèi)具有可加性，利用求和的方法將對(duì)應(yīng)于每一個(gè)小區(qū)間的待求量的部分量相加，這就是所謂的“集零為整” ，得到待求量的近似值；（4）當(dāng)每一個(gè)小區(qū)間的原寬度趨與零時(shí)，即可得到待求量的極限，也就是待求量的準(zhǔn)確值2-2-2 本文所涉及的物理學(xué)知識(shí)：本文所涉及的物理學(xué)知識(shí)：萬(wàn)有引力定律質(zhì)量分別是和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的引力為其中是1M2M1212312M MFGr 12F作用在上的引力，是由指向的矢徑是萬(wàn)有引力系數(shù)；年國(guó)際科學(xué)聯(lián)1M2M12r1M2MG盟理事會(huì)科技數(shù)據(jù)委員會(huì)推薦的數(shù)值為；CODATA11326.67259 10Gmkg s 重力加速度；Gmg29.8/gm s 牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律；Fma合水的靜壓力 為水的比重；Fgvv液 功率 由歐姆定律；PIR2VPIRR功 ；WFS2VWPTTR微元法在物理解題中的應(yīng)用4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 對(duì)于空間形體，繞,軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為xyz ，2222()()xIyzdmyzdv ， 2222()()yIxzdmxzdv ，2222()()zIxydmxydv ；2222221()()()2oxyzIxyzdmxyzdvIII 真空中的靜電荷場(chǎng)強(qiáng)公式 ， 其中 K 是靜電力常量；2QEKnr ， ，其中是電磁感應(yīng)強(qiáng)度；EBLVQCECBLVB電磁感應(yīng)定律 ， 其中磁通量ddtBS第三章第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用微元法在力學(xué)中的應(yīng)用下面舉例說(shuō)明說(shuō)明微元的具體應(yīng)用1 液體靜壓力液體靜壓力例 1 如圖（1）所示為一管道的圓形閘門(mén)（半徑為 3 米）問(wèn)水平面齊及直徑時(shí)，閘門(mén)所受到的水的靜壓力為多大？解：該圓的方程為 ，229xy由于在相同深度處水的靜壓力相同，其值等于水的比重與( )深度的乘積，故當(dāng)很小時(shí)，閘門(mén)上從深度到這一狹 xxxxx小上所受的靜壓力為A229PdPxx從而閘門(mén)上所受的總壓力為 圖（1） 3202918Px dx2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例 2 計(jì)算半徑為，質(zhì)量為的均勻分布球體繞任一直徑及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RM解 在高等數(shù)學(xué)中對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，是微分法在物理學(xué)中的重要應(yīng)用之一對(duì)于空間形體，繞,軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為xyz ，2222()()xIyzdmyzdv ， (1)2222()()yIxzdmxzdv黃山學(xué)院畢業(yè)論文5 ，2222()()zIxydmxydv 2222221()()()2oxyzIxyzdmxyzdvIII在（1）式中或?yàn)橘|(zhì)量元或體積元，或積分元在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)式為球dmdvdv體密度，一般為,的函數(shù)，在本題中因質(zhì)量均勻分布，故為常量考慮到對(duì)稱性，xyz343MR（球心在原點(diǎn)）應(yīng)有，只要求出其中一個(gè)如，則，及即可得到xyzIIIxIyIzIoI對(duì)（1）式微分，有,它表示質(zhì)量為的質(zhì)量元繞 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)2222xdIyzdmyzdvdm慣量，()是 dm 到 x 軸的距離的平方，求出所有的 dm 對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即得到整個(gè)球體的22yzx轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在本題中，如用直角坐標(biāo)系，則有,則由（1）式有dmdxdydz 22222222222222()()RRxRxyxRRxRxyIyzdxdydzdxdyyzdz2232222222222132() RRxRRxdxyRxyRxy2212()RRRxdx5211622153RMR因，所以225yzzIIIMR23125()oxyzIIIIMR如用柱坐標(biāo)系，有，則dmrdrd dz222xyr222222300RRxzRxIr rdrd dzdr drdz32204RrRr dr322222222500()445RRrRrRr Rr dr22322205()43RRrR225MR微元法在物理解題中的應(yīng)用6如用球坐標(biāo)系有 ,有2sindmrdrd d 2222sinyxr 24323425000sinRzIrdrd dMRdsindr dr 225MR在該問(wèn)題中用球坐標(biāo)系，計(jì)算較為簡(jiǎn)便然而，在物理學(xué)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，往往不是通過(guò)計(jì)算三重積分的方法來(lái)進(jìn)行的如在本問(wèn)題中通常以圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（為圓板質(zhì)量，為圓板半徑）為基礎(chǔ)，把球體看成是由許多212Imrmr薄圓板組成，并把任一薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量記為, (2)212xdIdmr其中為薄圓板質(zhì)量求出所有的薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和技即得到整個(gè)球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣dm量每一個(gè)薄圓板都繞同一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，且,將此式代入（2）式，注意到，2dmy dx222yxR有4222112225()RxRIy dxRxdxMR有時(shí)，常常選取薄球殼，計(jì)算也非常方便，把球看作是由許多薄球殼所組成，由于薄球殼上dm的每一點(diǎn)到球心的距離都相同，則每一球殼繞其球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， （3）2odIdmr且,將此代入（3）式有24dmr dr ，43504RoIr drMR 因，故 23333122225()oxyzxyzIIIIIIIMR 225xyzIIIMR第四章第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用3 功與平均功率功與平均功率例 3 在純電阻電路圖(2)中,已知交流電壓為求mVV Sin t在一個(gè)周期內(nèi)消耗在電阻上的能量，并求0,T2TRW與之相當(dāng)?shù)闹绷麟妷航猓涸谥绷麟妷合?，功率，那么在時(shí)間T內(nèi) 圖（2）0VV0VPRR黃山學(xué)院畢業(yè)論文7所做的功為現(xiàn)在為交流電壓，瞬時(shí)功率為20V TWPTRV22( )mVP tSin tR這相當(dāng)于：在任意一小段時(shí)間區(qū)間上，當(dāng)很小是，可把近似看作恒為 ,0,t ttTtV的情形于是取功的微元,并由此求得mV Sin t dWP t dt222200( )TmmVVWP t dtSin t dtRR而平均功率則為2220(/2)1( )22TmmmVVvPP t dtTRRR例 4如圖（4）所示，某人用力轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為的轉(zhuǎn)盤(pán)，力的大小不變；方向始終與用力的作FR用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤(pán)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周的過(guò)程中該力做多少功？解：在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周的過(guò)程中，力的方向時(shí)刻發(fā)生變化，但每一F瞬時(shí)力總是與該瞬時(shí)的速度方向一致，即在每一瞬時(shí)都與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的FF極小位移同向，這樣無(wú)數(shù)的極小位移， ，都S1S2S3SnS與那一瞬時(shí)的力同向，因而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，力做功應(yīng)等于FF在各極小段位移所做功的代數(shù)和，即F 圖（3）12nWFSFSFS 12()nFSSS2FR4 場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)例 5如圖（4）所示，均勻帶電圓環(huán)所帶電荷量為，半徑為，圓心為，為垂直于圓環(huán)QROP平面的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，試求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)OPLP解：設(shè)想將圓環(huán)等分為個(gè)小段，當(dāng)相當(dāng)大的時(shí)候，nn每一小段都可以看作點(diǎn)電荷，有真空中點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可求得每一點(diǎn)電荷在處的場(chǎng)強(qiáng)為： P 圖(4)222QQEKKnrn RL其中為靜電力常量由對(duì)稱性可知各微元帶電環(huán)在處的場(chǎng)強(qiáng)的垂直于軸向的KPE分量相互抵消，而 E 的軸向分量之和，即為帶電環(huán)在 P 處的場(chǎng)強(qiáng)為：yEXE微元法在物理解題中的應(yīng)用8 yxEnE22cos()Qnkn RL 2222()QLnkn RLRL 322QLkRL例 6如圖（5）所示，一無(wú)限長(zhǎng)的形金屬導(dǎo)軌，豎直放置且置于足夠大的水平均勻磁場(chǎng)中，磁U感應(yīng)強(qiáng)度，導(dǎo)軌間距為，上方串一耐壓力足夠大的電容器，電容為，開(kāi)始時(shí)不帶電另有一根BLC質(zhì)量為的金屬棒，可無(wú)摩擦地沿導(dǎo)軌滑動(dòng)而不脫落，設(shè)整個(gè)系統(tǒng)的電阻不計(jì)，金屬桿從靜止開(kāi)mMN始滑動(dòng)，問(wèn)棒下滑高度時(shí)的速度多大？h解：設(shè)金屬桿運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)速度為，此時(shí)棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)V，EBLV對(duì)應(yīng)電容器充電，電荷量為QCECBLV如果換個(gè)角度考慮短暫時(shí)間，金屬桿速度變化為,電容器又被tV蟲(chóng)微小電荷量，則有，充電電流為QQC ECBL V 圖（5）QCBL VVICBLCBLattt其中 a 為此時(shí)棒的加速度，這時(shí)棒收到向上的安培力為22FBILCB L a對(duì)棒，根據(jù)牛頓第二定律有即故MNmgFma22maCB L a22mgamCB L 從上式中知，加速度大小不變，這表明金屬棒在勻加速度下滑，當(dāng)棒下滑高度時(shí)，h速度為2222mghvahmCB L第五章第五章 總結(jié)總結(jié)綜上所述，在物理解題計(jì)算時(shí)，對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題，在確認(rèn)可以用微元法求解時(shí)以后，一般可以按如下法則列出積分式子求解：(1)選取相應(yīng)的坐標(biāo)系由于變量的變化區(qū)間總是與坐標(biāo)系的選取有著密切的關(guān)系，且坐標(biāo)系選取恰當(dāng)，能夠簡(jiǎn)化求解過(guò)程，因此應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體問(wèn)題的需要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)選取適當(dāng)?shù)奈⒃?，將所求量的部分量根?jù)物理規(guī)律表示為作為積分變量的一個(gè)連續(xù)函數(shù)與微元的乘積(3)以上乘積為被積表達(dá)式，在變量的變化區(qū)間內(nèi)作定積分(4)按照積分法則，求解定積分即可得到所求之物理量，在求解時(shí)，若積分變量與被積函數(shù)的變量不相對(duì)應(yīng)，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的物理內(nèi)涵或各量之間的幾何關(guān)系進(jìn)行積分變量的代換后方可進(jìn)行積分運(yùn)算黃山學(xué)院畢業(yè)論文9參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：1 祝之光物理學(xué)（上冊(cè)） 高等教育出版社，2 徐龍道物理學(xué)詞典科學(xué)出版社，3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)第三版） 高等教育出版社，20014 吳傳生數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（上冊(cè)） 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，20045 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系一元微積分人民教育出版社，19966 漆安慎 力學(xué)基礎(chǔ) 高等教育出版社，19987陳秉乾等物理學(xué)難題集萃高等教育出版社，20018 原北京礦業(yè)學(xué)院高數(shù)教研組數(shù)學(xué)手冊(cè)煤炭工業(yè)出版社，19929孫翔峰，霍中夫勸學(xué) 人民日?qǐng)?bào)出飯社，198710陳東旭 高考任我行 吉林文史出版社，2002微元法在物理解題中的應(yīng)用10致致謝謝本文的研究及工作是在項(xiàng)明寅副教授的關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的在三年多的求學(xué)生涯中，項(xiàng)老師以其嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的治學(xué)態(tài)度，敏銳深邃的洞察力，高度的責(zé)任心和敬業(yè)精神，平易近人的工作作風(fēng)，一直深深地影響和激勵(lì)著我，使我在學(xué)習(xí)上和生活上受益匪淺感謝方輝副教授在學(xué)習(xí)和工作中的教導(dǎo)和支持，從他身上我獲得了許多寶貴的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也學(xué)到了更多為人處事的道理最后衷心的感謝對(duì)我寄予厚望、又給予我無(wú)限關(guān)懷的父母，在此論文脫稿之際，向含辛茹苦的父母表示由衷的感謝和崇高的敬意