【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文】微元法在物理解題中的應(yīng)用

《【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文】微元法在物理解題中的應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文】微元法在物理解題中的應(yīng)用（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、畢 業(yè) 論 文微元法在物理解題中的應(yīng)用微元法在物理解題中的應(yīng)用 指導(dǎo)教師姓名： 申請學(xué)位級別： 學(xué)士 學(xué)科、專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文提交日期： 論文答辯日期: 學(xué)位授予單位： 答辯委員會主席： 評 閱 人： 黃山學(xué)院畢業(yè)論文i微元法在物理解題中的應(yīng)用微元法在物理解題中的應(yīng)用摘摘要要微元法是分析連續(xù)過程積累的一種方法，故在普通物理學(xué)中應(yīng)用廣泛在進入大學(xué)學(xué)習(xí)之初，常常因從中學(xué)的恒力問題過渡到變力問題，時而思路混亂，于是牛頓采用“微元”方法處理分析物理現(xiàn)象，創(chuàng)立微積分學(xué)本文追隨著大師的思想，介紹物理解題所采用的微元法在力學(xué)和電磁學(xué)方面的具體的應(yīng)用關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：微元法，萬有引力，牛頓運動定律

2、，磁通量微元法在物理解題中的應(yīng)用iiThe Apply of Element method In Solving Physics ProblemsABSTRACTElement analysis is the process of continuous accumulation of a method, Therefore, in general physics widely used. At the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondar

3、y issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, So Newton used“element method”Dealing with the physical phenomena analysis, the creation of Calculus. This paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the Element method in mechanics and electromagnetic

4、 fields of science, the specific application. KEY WORDS: Element method, Universal Gravitation, Newtons Laws of Motion, Flux 黃山學(xué)院畢業(yè)論文iii目目 錄錄第一章第一章 緒緒 論論 1第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ) 12-1 微元法的定義 12-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ) 3第三章第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 4第四章第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 6第五章第五章 總結(jié)總結(jié) 8參考文獻參考文獻 9致致

5、 謝謝 10黃山學(xué)院畢業(yè)論文1第一章第一章 緒緒論論 “微元法”是在物理解題時所采用的一種特殊的分析方法這種方法的精髓就是把確定的研究對象分割為無限多個無限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通過對所抽取的這一部分的研究，就可以認為是整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律，它實質(zhì)上是“從復(fù)合到單一，從單一到復(fù)合”的分析與綜合思維方法，因此微元法具有廣泛的應(yīng)用性第二章第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)2-12-1 微元法的定義微元法的定義所謂微元法就是指將連續(xù)的（線，面，體）看成無數(shù)個無限?。ň€元，面元，體元）的集合，整個物體的物理量就變?yōu)闊o限個小微元相應(yīng)物理量的“無限積累” ，從

6、而將物理問題“翻譯”成為數(shù)學(xué)問題的一種方法微元法在某些文獻中被命名為元過程分析法，它把一個極小的微元過程和一個大過程視為本質(zhì)上的相同只要分析透了微元的物理狀況（實際上可推廣到一切動態(tài)變化）及其邊界條件的相互關(guān)系，就可以根據(jù)定積分去推倒全過程的基本規(guī)律在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，有大量的問題，定量求解它們的途徑都可以歸結(jié)為一種和的極限的運動，這種運算，經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，就成為定積分微元法概念這類問題，在力學(xué)中比比皆是，也就是說，在力學(xué)中，有不少的物理量，可以借助于微元法來計算其滿足條件的數(shù)值大小或分析其作為變量的變化期間和變化規(guī)律，所以，定積分在力學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用應(yīng)用定積分理論解決力學(xué)實際問題的第一步是將實

7、際問題數(shù)學(xué)化，這一步往往比較困難，而微元法（亦稱為微元法分析法，元素法）恰是解決這一困難，實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的有力設(shè)求解的實際問題可化為在區(qū)間上的某個量，如果我們在具有代表性的任一小區(qū)間, a bF上，以“勻代不勻”或“不變代變”找到這個量的微元,則根據(jù)微元,則根據(jù)微, x xdx( )dFf x dx分基本定理，這個量就可以應(yīng)用定積分計算顯然，解決問題的關(guān)鍵是在微( )( )( )baF aF bf x dx小的局部上進行數(shù)量分析，尋找并列出正確的微分式，故而這種方法稱為微元法2-22-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ)2-2-1 微元法的理論基礎(chǔ)微元法的理論基礎(chǔ)我們知道，能夠應(yīng)用微元法

8、求解的量應(yīng)該具備下列條件：F微元法在物理解題中的應(yīng)用2（1）它是一個與變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；, a b（2）它對于區(qū)間具有可加性，即如果把分成若干個小區(qū)間，則它能相應(yīng)地分成若干, a b, a b個對應(yīng)的部分量，且該量就等于所有部分量之和；（3）部分量的近似值可以表示為，這樣就可以用定積分來表示這個量iF( )iifxF 將滿足上述條件的量寫成可運算的積分表達式的步驟可歸納為：F（1）根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量（例如）作為積分變量并確定它的變化區(qū)間；x, a b（2）將區(qū)間分成若干個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作 ，求出相應(yīng)與這個小, a b, x xdx區(qū)間的部分量的近似值，如果能近

9、似地表示為 x 的一個連續(xù)函數(shù)與的乘積（這里FF f xdx與相差一個比高階的無窮?。?，就可以將它記作為，即；F f x dxdxdF( )dFf x dx（3）以所求量的微元為被積表達式，在區(qū)間上作定積分得：F f x dx, a b( )baFf x dx結(jié)果即為所求的實際量，根據(jù)所求問題的不同，它可以是一個具體的數(shù)值，也可以是一個函數(shù) 作為微元法應(yīng)用的實例，我們考察一個以速度定積分作變速運動的質(zhì)點，欲求它在時間 vv t間隔內(nèi)產(chǎn)生的位移的大小, a b在這里，速度是一個隨時間變化的量，因此求該質(zhì)點在時間內(nèi)產(chǎn)生的位移就不能冒失的應(yīng), a b用這樣的簡單公式了，但只要我們注意到質(zhì)點的速度是

10、連續(xù)變化的，即它是時間的連續(xù)函數(shù)，xvt在一段很短的時間內(nèi)，它的變化很小，近似不變，這就為我們提供了以“不變代變”的條件，而且所取的時間間隔越短，這種近似代替的精確度就越高我們所求的位移具有可加性，即質(zhì)點在時間間隔內(nèi)的總位移等于每一個小區(qū)間的位移之和，, a b這樣就使它具備了用微元法求解的條件具備了條件就可以著手解決問題了，首先“化整為零” ，把時間區(qū)間用分點、，分為段，而且滿足，這樣, a b0t1t2t1ntntn011nnattttb各段區(qū)間長為，設(shè)質(zhì)點在第 個時間間隔內(nèi)所產(chǎn)生的位010ttt121ttt11nnnttti移為，在這一短暫時間間隔內(nèi)，質(zhì)點的速度變化很小，可近似視為不變，

11、因此質(zhì)點在這一短暫時ix間內(nèi)的運動就可視為勻速運動而利用公式求其位移了，即;把各個時間間隔內(nèi)的xvt( )iiixv tt位移相加，即得，當(dāng)，即可得到此變速運動的質(zhì)點在時間內(nèi)的位移10( )niiixv tt0it , a b黃山學(xué)院畢業(yè)論文3，當(dāng)全部的同時趨于 0 時，的極限存在，則此極限值就是質(zhì)點的位移，也就100lim( )iniitixv tt itx是函數(shù)在區(qū)間 上的定積分 yv t, a b( )baxv t dt由此，我們可以歸納出如下的解題步驟：（1）由于質(zhì)點的速度是隨時間變化的，因此選取 作為積分變量，其變化區(qū)間為；vt, a b（2）將分為若干個小區(qū)間，在任意小區(qū)間內(nèi)，質(zhì)點

12、的位移，, a b0t1t1ntit( )iiixv tt因為速度的變化是連續(xù)的，因此可以表示為一個連續(xù)函數(shù)與的乘積，此時可將它記作，ix v tdtdx即； dxv t dt（3）以所求量的微元為被積表達式，在區(qū)間上作，對于具體問題，x v t dt, a b( )baFv t dt的積分后代入，下限即可得到運動質(zhì)點在在區(qū)間上的位移 v t, a b, a b上述步驟亦可規(guī)律化為：（1）根據(jù)實際問題性質(zhì)確定積分變量及其變化區(qū)間；（2）將變量的變化區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，求出每一個小區(qū)間內(nèi)待求量的表達式，這就是所謂的“化整為零” ；（3）待求量在變量的變化區(qū)間內(nèi)具有可加性，利用求和的方法將對應(yīng)

13、于每一個小區(qū)間的待求量的部分量相加，這就是所謂的“集零為整” ，得到待求量的近似值；（4）當(dāng)每一個小區(qū)間的原寬度趨與零時，即可得到待求量的極限，也就是待求量的準(zhǔn)確值2-2-2 本文所涉及的物理學(xué)知識：本文所涉及的物理學(xué)知識：萬有引力定律質(zhì)量分別是和的兩個質(zhì)點之間的引力為其中是1M2M1212312M MFGr 12F作用在上的引力，是由指向的矢徑是萬有引力系數(shù)；年國際科學(xué)聯(lián)1M2M12r1M2MG盟理事會科技數(shù)據(jù)委員會推薦的數(shù)值為；CODATA11326.67259 10Gmkg s 重力加速度；Gmg29.8/gm s 牛頓第二運動定律；Fma合水的靜壓力 為水的比重；Fgvv液 功率 由歐

14、姆定律；PIR2VPIRR功 ；WFS2VWPTTR微元法在物理解題中的應(yīng)用4轉(zhuǎn)動慣量 對于空間形體，繞,軸及原點的轉(zhuǎn)動慣量定義為xyz ，2222()()xIyzdmyzdv ， 2222()()yIxzdmxzdv ，2222()()zIxydmxydv ；2222221()()()2oxyzIxyzdmxyzdvIII 真空中的靜電荷場強公式 ， 其中 K 是靜電力常量；2QEKnr ， ，其中是電磁感應(yīng)強度；EBLVQCECBLVB電磁感應(yīng)定律 ， 其中磁通量ddtBS第三章第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用微元法在力學(xué)中的應(yīng)用下面舉例說明說明微元的具體應(yīng)用1 液體靜壓力液體靜壓力例 1 如

15、圖（1）所示為一管道的圓形閘門（半徑為 3 米）問水平面齊及直徑時，閘門所受到的水的靜壓力為多大？解：該圓的方程為 ，229xy由于在相同深度處水的靜壓力相同，其值等于水的比重與( )深度的乘積，故當(dāng)很小時，閘門上從深度到這一狹 xxxxx小上所受的靜壓力為A229PdPxx從而閘門上所受的總壓力為 圖（1） 3202918Px dx2 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量例 2 計算半徑為，質(zhì)量為的均勻分布球體繞任一直徑及原點的轉(zhuǎn)動慣量RM解 在高等數(shù)學(xué)中對物體轉(zhuǎn)動慣量的計算，是微分法在物理學(xué)中的重要應(yīng)用之一對于空間形體，繞,軸及原點的轉(zhuǎn)動慣量定義為xyz ，2222()()xIyzdmyzdv ， (1)22

16、22()()yIxzdmxzdv黃山學(xué)院畢業(yè)論文5 ，2222()()zIxydmxydv 2222221()()()2oxyzIxyzdmxyzdvIII在（1）式中或為質(zhì)量元或體積元，或積分元在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達式為球dmdvdv體密度，一般為,的函數(shù)，在本題中因質(zhì)量均勻分布，故為常量考慮到對稱性，xyz343MR（球心在原點）應(yīng)有，只要求出其中一個如，則，及即可得到xyzIIIxIyIzIoI對（1）式微分，有,它表示質(zhì)量為的質(zhì)量元繞 x 軸的轉(zhuǎn)動2222xdIyzdmyzdvdm慣量，()是 dm 到 x 軸的距離的平方，求出所有的 dm 對軸的轉(zhuǎn)動慣量，即得到整個球體的22y

17、zx轉(zhuǎn)動慣量在本題中，如用直角坐標(biāo)系，則有,則由（1）式有dmdxdydz 22222222222222()()RRxRxyxRRxRxyIyzdxdydzdxdyyzdz2232222222222132() RRxRRxdxyRxyRxy2212()RRRxdx5211622153RMR因，所以225yzzIIIMR23125()oxyzIIIIMR如用柱坐標(biāo)系，有，則dmrdrd dz222xyr222222300RRxzRxIr rdrd dzdr drdz32204RrRr dr322222222500()445RRrRrRr Rr dr22322205()43RRrR225MR微元法

18、在物理解題中的應(yīng)用6如用球坐標(biāo)系有 ,有2sindmrdrd d 2222sinyxr 24323425000sinRzIrdrd dMRdsindr dr 225MR在該問題中用球坐標(biāo)系，計算較為簡便然而，在物理學(xué)中，轉(zhuǎn)動慣量的計算，往往不是通過計算三重積分的方法來進行的如在本問題中通常以圓板的轉(zhuǎn)動慣量（為圓板質(zhì)量，為圓板半徑）為基礎(chǔ)，把球體看成是由許多212Imrmr薄圓板組成，并把任一薄圓板的轉(zhuǎn)動慣量記為, (2)212xdIdmr其中為薄圓板質(zhì)量求出所有的薄圓板的轉(zhuǎn)動慣量之和技即得到整個球體繞直徑的轉(zhuǎn)動慣dm量每一個薄圓板都繞同一軸線轉(zhuǎn)動，且,將此式代入（2）式，注意到，2dmy dx

19、222yxR有4222112225()RxRIy dxRxdxMR有時，常常選取薄球殼，計算也非常方便，把球看作是由許多薄球殼所組成，由于薄球殼上dm的每一點到球心的距離都相同，則每一球殼繞其球心的轉(zhuǎn)動慣量為 ， （3）2odIdmr且,將此代入（3）式有24dmr dr ，43504RoIr drMR 因，故 23333122225()oxyzxyzIIIIIIIMR 225xyzIIIMR第四章第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用3 功與平均功率功與平均功率例 3 在純電阻電路圖(2)中,已知交流電壓為求mVV Sin t在一個周期內(nèi)消耗在電阻上的能量，并求0,T2TRW與

20、之相當(dāng)?shù)闹绷麟妷航猓涸谥绷麟妷合?，功率，那么在時間T內(nèi) 圖（2）0VV0VPRR黃山學(xué)院畢業(yè)論文7所做的功為現(xiàn)在為交流電壓，瞬時功率為20V TWPTRV22( )mVP tSin tR這相當(dāng)于：在任意一小段時間區(qū)間上，當(dāng)很小是，可把近似看作恒為 ,0,t ttTtV的情形于是取功的微元,并由此求得mV Sin t dWP t dt222200( )TmmVVWP t dtSin t dtRR而平均功率則為2220(/2)1( )22TmmmVVvPP t dtTRRR例 4如圖（4）所示，某人用力轉(zhuǎn)動半徑為的轉(zhuǎn)盤，力的大小不變；方向始終與用力的作FR用點的轉(zhuǎn)盤的切線一致，則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一周的過程

21、中該力做多少功？解：在轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一周的過程中，力的方向時刻發(fā)生變化，但每一F瞬時力總是與該瞬時的速度方向一致，即在每一瞬時都與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)過的FF極小位移同向，這樣無數(shù)的極小位移， ，都S1S2S3SnS與那一瞬時的力同向，因而在轉(zhuǎn)動一周的過程中，力做功應(yīng)等于FF在各極小段位移所做功的代數(shù)和，即F 圖（3）12nWFSFSFS 12()nFSSS2FR4 場強場強例 5如圖（4）所示，均勻帶電圓環(huán)所帶電荷量為，半徑為，圓心為，為垂直于圓環(huán)QROP平面的對稱軸上的一點，試求點的場強OPLP解：設(shè)想將圓環(huán)等分為個小段，當(dāng)相當(dāng)大的時候，nn每一小段都可以看作點電荷，有真空中點電荷場強公式可求得每一點電荷在處

22、的場強為： P 圖(4)222QQEKKnrn RL其中為靜電力常量由對稱性可知各微元帶電環(huán)在處的場強的垂直于軸向的KPE分量相互抵消，而 E 的軸向分量之和，即為帶電環(huán)在 P 處的場強為：yEXE微元法在物理解題中的應(yīng)用8 yxEnE22cos()Qnkn RL 2222()QLnkn RLRL 322QLkRL例 6如圖（5）所示，一無限長的形金屬導(dǎo)軌，豎直放置且置于足夠大的水平均勻磁場中，磁U感應(yīng)強度，導(dǎo)軌間距為，上方串一耐壓力足夠大的電容器，電容為，開始時不帶電另有一根BLC質(zhì)量為的金屬棒，可無摩擦地沿導(dǎo)軌滑動而不脫落，設(shè)整個系統(tǒng)的電阻不計，金屬桿從靜止開mMN始滑動，問棒下滑高度時的

23、速度多大？h解：設(shè)金屬桿運動到某一位置時速度為，此時棒的感應(yīng)電動勢V，EBLV對應(yīng)電容器充電，電荷量為QCECBLV如果換個角度考慮短暫時間，金屬桿速度變化為,電容器又被tV蟲微小電荷量，則有，充電電流為QQC ECBL V 圖（5）QCBL VVICBLCBLattt其中 a 為此時棒的加速度，這時棒收到向上的安培力為22FBILCB L a對棒，根據(jù)牛頓第二定律有即故MNmgFma22maCB L a22mgamCB L 從上式中知，加速度大小不變，這表明金屬棒在勻加速度下滑，當(dāng)棒下滑高度時，h速度為2222mghvahmCB L第五章第五章 總結(jié)總結(jié)綜上所述，在物理解題計算時，對一個具體

24、問題，在確認可以用微元法求解時以后，一般可以按如下法則列出積分式子求解：(1)選取相應(yīng)的坐標(biāo)系由于變量的變化區(qū)間總是與坐標(biāo)系的選取有著密切的關(guān)系，且坐標(biāo)系選取恰當(dāng)，能夠簡化求解過程，因此應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體問題的需要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)選取適當(dāng)?shù)奈⒃?，將所求量的部分量根?jù)物理規(guī)律表示為作為積分變量的一個連續(xù)函數(shù)與微元的乘積(3)以上乘積為被積表達式，在變量的變化區(qū)間內(nèi)作定積分(4)按照積分法則，求解定積分即可得到所求之物理量，在求解時，若積分變量與被積函數(shù)的變量不相對應(yīng)，應(yīng)根據(jù)問題的物理內(nèi)涵或各量之間的幾何關(guān)系進行積分變量的代換后方可進行積分運算黃山學(xué)院畢業(yè)論文9參考文獻：參考文獻：1 祝之光物理

25、學(xué)（上冊） 高等教育出版社，2 徐龍道物理學(xué)詞典科學(xué)出版社，3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（上冊第三版） 高等教育出版社，20014 吳傳生數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（上冊） 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，20045 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系一元微積分人民教育出版社，19966 漆安慎 力學(xué)基礎(chǔ) 高等教育出版社，19987陳秉乾等物理學(xué)難題集萃高等教育出版社，20018 原北京礦業(yè)學(xué)院高數(shù)教研組數(shù)學(xué)手冊煤炭工業(yè)出版社，19929孫翔峰，霍中夫勸學(xué) 人民日報出飯社，198710陳東旭 高考任我行 吉林文史出版社，2002微元法在物理解題中的應(yīng)用10致致謝謝本文的研究及工作是在項明寅副教授的關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的在三年多的求學(xué)生涯中，項老師以其嚴謹、求實的治學(xué)態(tài)度，敏銳深邃的洞察力，高度的責(zé)任心和敬業(yè)精神，平易近人的工作作風(fēng)，一直深深地影響和激勵著我，使我在學(xué)習(xí)上和生活上受益匪淺感謝方輝副教授在學(xué)習(xí)和工作中的教導(dǎo)和支持，從他身上我獲得了許多寶貴的知識和經(jīng)驗，同時也學(xué)到了更多為人處事的道理最后衷心的感謝對我寄予厚望、又給予我無限關(guān)懷的父母，在此論文脫稿之際，向含辛茹苦的父母表示由衷的感謝和崇高的敬意