【世紀金榜】高三文科數學熱點專題突破：(二)三角函數與平面向量的綜合應用

熱點專題突破系列(二)三角函數與平面向量的綜合應用考點一考點一 三角函數的求值與平面向量的綜合三角函數的求值與平面向量的綜合【考情分析【考情分析】以平面向量為載體利用誘導公式、同角三角函數關系式、以平面向量為載體利用誘導公式、同角三角函數關系式、兩角和與差的三角函數及倍角公式等解決三角函數的條件求值問題兩角和與差的三角函數及倍角公式等解決三角函數的條件求值問題, ,是高考的重要考向是高考的重要考向, ,考查學生分析問題、解決問題的能力考查學生分析問題、解決問題的能力. .【典例【典例1 1】(2015(2015海濱模擬海濱模擬) )已知已知m=(sinx, cosx),=(sinx, cosx),n=(sinx,sinx=(sinx,sinx),), f(x f(x)=)=mn. .(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)當當x0, x0, 時時, ,求函數求函數f(xf(x) )的最大值與最小值的最大值與最小值. .3f()122【解題提示【解題提示】(1)(1)利用向量的坐標計算兩向量的數量積利用向量的坐標計算兩向量的數量積, ,從而得從而得f(xf(x),),把把x= x= 代入可得代入可得. .(2)(2)利用利用x x的范圍確定角的范圍的范圍確定角的范圍, ,從而得三角函數的最大值與最小值從而得三角函數的最大值與最小值. .12【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由已知得由已知得. .f(xf(x)=)=mn=(sinx, cosx)=(sinx, cosx)(sinx,sinx(sinx,sinx) )=sin=sin2 2x+ cosxsinx=x+ cosxsinx= sin2x- = sin2x- cos2x+ cos2x+ =sin(2x- )+ .=sin(2x- )+ .故故331 cos 2x3sin 2x2212321261211f()sin(2).1212622(2)(2)當當x0, x0, 時時, ,故當故當2x- = 2x- = , ,即即x= x= 時時,f(x),f(x)maxmax=1+ = =1+ = , ,當當2x- =- 2x- =- , ,即即x=0 x=0時時, ,f(x)f(x)minmin=sin(- )+ =- + =sin(- )+ =- + =0.=0.252x,666 1226326661212123【規(guī)律方法【規(guī)律方法】平面向量在三角函數求值中的應用步驟平面向量在三角函數求值中的應用步驟(1)(1)此類題目的特點是所給向量的坐標用關于某角的正、余弦給出此類題目的特點是所給向量的坐標用關于某角的正、余弦給出, ,把把向量垂直或共線轉化為關于該角的三角函數的等式向量垂直或共線轉化為關于該角的三角函數的等式. .(2)(2)利用三角恒等變換進行條件求值利用三角恒等變換進行條件求值. .【變式訓練【變式訓練】(2015(2015南京模擬南京模擬) )已知向量已知向量a=(sin,-2)=(sin,-2)與與b=(1,cos)=(1,cos)互相垂直互相垂直, ,其中其中(0, ).(0, ).(1)(1)求求cos,sincos,sin的值的值. .(2)(2)若若5cos(-5cos(-)=3 cos)=3 cos,0,0 ,0),cosx)(0),若若f(x)=f(x)=ab, ,且且f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為.(1)(1)求求的值的值. .(2)(2)試述由試述由y=sinxy=sinx的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到f(xf(x) )的圖象的圖象. .(3)(3)求求y=f(xy=f(x) )的值域的值域. .2【解析【解析】(1)f(x)=(1)f(x)=ab=sin(-x)cosx+sin( -x)cosx=sin(-x)cosx+sin( -x)cosx=sinxcosx+cos=sinxcosx+cos2 2x= sin2x+x= sin2x+所以所以 =,=,即即=1.=1.2121cos 2 x21sin(2 x),2242 22(2)(2)由由(1),(1),得得f(xf(x)= )= 首先把首先把y=sinxy=sinx的圖象向左平移的圖象向左平移 個單位個單位, ,得得y=sin(xy=sin(x+ )+ )的圖象的圖象; ;其次把其次把y=sin(xy=sin(x+ )+ )的圖象縱坐標的圖象縱坐標不變不變, ,橫坐標變?yōu)樵瓉淼臋M坐標變?yōu)樵瓉淼?倍倍, ,得得y=sin(2x+ )y=sin(2x+ )的圖象的圖象; ;然后把然后把y=y=sin(2x+ )sin(2x+ )的橫坐標不變的橫坐標不變, ,縱坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標變?yōu)樵瓉淼?倍倍, ,得得y= y= 的圖象的圖象; ;最后最后, ,把把y= y= 的圖象向上平移的圖象向上平移 個單位個單位, ,得得f(xf(x)=)= 的圖象的圖象. .21sin(2x).2424441244222sin(2x)242sin(2x)2421sin(2x)24212(3)(3)因為因為f(x)f(x)minmin= f(x)= f(x)maxmax= =所以所以f(xf(x) )的值域是的值域是21,2221,222121,.2222考點三考點三 平面向量在三角形計算中的應用平面向量在三角形計算中的應用【考情分析【考情分析】以平面向量的線性運算、數量積為載體考查三角形中正、以平面向量的線性運算、數量積為載體考查三角形中正、余弦定理的應用及簡單的三角恒等變換余弦定理的應用及簡單的三角恒等變換, ,主要解決三角形中求邊、求主要解決三角形中求邊、求角及求三角形面積等角及求三角形面積等. .考查分析問題考查分析問題, ,解決問題的能力解決問題的能力. .【典例【典例3 3】(2015(2015臺州模擬臺州模擬) )在在ABCABC中中, ,三內角三內角A,B,CA,B,C所對的邊分別為所對的邊分別為a,b,ca,b,c, ,已知已知sinCsinC=2sin(B+C)cosB.=2sin(B+C)cosB.(1)(1)判斷判斷ABCABC的形狀的形狀. .(2)(2)設向量設向量m=(a+c,b),=(a+c,b),n=(b+a,c=(b+a,c-a),-a),若若mn, ,求求A.A.【解題提示【解題提示】(1)(1)利用利用A+B+C=A+B+C=轉化角后去掉角轉化角后去掉角C,C,得角得角A,BA,B的關系的關系, ,可可判斷判斷. .(2)(2)利用已知轉化邊的關系利用已知轉化邊的關系, ,利用余弦定理可解利用余弦定理可解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)在在ABCABC中中, ,因為因為sinC=sin(A+BsinC=sin(A+B),),sinA=sin(B+CsinA=sin(B+C),),故故sinC=sin(A+BsinC=sin(A+B)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,所以所以sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB.=2sinAcosB.即即sinAcosB-cosAsinBsinAcosB-cosAsinB=0,=0,即即sin(Asin(A-B)=0.-B)=0.又因為又因為-A-B,-A-B,所以所以A-B=0A-B=0即即A=B.A=B.故故ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .(2)(2)由由mnmn得得(a+c)(c-a)=b(b+a(a+c)(c-a)=b(b+a),),即即b b2 2+a+a2 2-c-c2 2+ab=0,+ab=0,即即b b2 2+a+a2 2-c-c2 2=-ab=-ab, ,從而從而cosCcosC= = 又又0C,0C0,0,所以所以C C是銳角是銳角. .所以所以cosCcosC= .= .(2)(2)因為因為 所以所以abcosCabcosC= ,= ,解得解得abab=20.=20.又因為又因為a+ba+b=9,=9,所以所以a a2 2+b+b2 2=41.=41.所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=36,-2abcosC=36,所以所以c=6.c=6.7sin C3 7.cos C18185CB CA2 ，52