【世紀(jì)金榜】高三文科數(shù)學(xué)熱點專題突破：(二)三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用

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1、熱點專題突破系列(二)三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用考點一考點一 三角函數(shù)的求值與平面向量的綜合三角函數(shù)的求值與平面向量的綜合【考情分析【考情分析】以平面向量為載體利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、以平面向量為載體利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)及倍角公式等解決三角函數(shù)的條件求值問題兩角和與差的三角函數(shù)及倍角公式等解決三角函數(shù)的條件求值問題, ,是高考的重要考向是高考的重要考向, ,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力. .【典例【典例1 1】(2015(2015海濱模擬海濱模擬) )已知已知m=(sinx, cosx),=(sinx, cosx

2、),n=(sinx,sinx=(sinx,sinx),), f(x f(x)=)=mn. .(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)x0, x0, 時時, ,求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )的最大值與最小值的最大值與最小值. .3f()122【解題提示【解題提示】(1)(1)利用向量的坐標(biāo)計算兩向量的數(shù)量積利用向量的坐標(biāo)計算兩向量的數(shù)量積, ,從而得從而得f(xf(x),),把把x= x= 代入可得代入可得. .(2)(2)利用利用x x的范圍確定角的范圍的范圍確定角的范圍, ,從而得三角函數(shù)的最大值與最小值從而得三角函數(shù)的最大值與最小值. .12【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由已知

3、得由已知得. .f(xf(x)=)=mn=(sinx, cosx)=(sinx, cosx)(sinx,sinx(sinx,sinx) )=sin=sin2 2x+ cosxsinx=x+ cosxsinx= sin2x- = sin2x- cos2x+ cos2x+ =sin(2x- )+ .=sin(2x- )+ .故故331 cos 2x3sin 2x2212321261211f()sin(2).1212622(2)(2)當(dāng)當(dāng)x0, x0, 時時, ,故當(dāng)故當(dāng)2x- = 2x- = , ,即即x= x= 時時,f(x),f(x)maxmax=1+ = =1+ = , ,當(dāng)當(dāng)2x- =-

4、2x- =- , ,即即x=0 x=0時時, ,f(x)f(x)minmin=sin(- )+ =- + =sin(- )+ =- + =0.=0.252x,666 1226326661212123【規(guī)律方法【規(guī)律方法】平面向量在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用步驟平面向量在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用步驟(1)(1)此類題目的特點是所給向量的坐標(biāo)用關(guān)于某角的正、余弦給出此類題目的特點是所給向量的坐標(biāo)用關(guān)于某角的正、余弦給出, ,把把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為關(guān)于該角的三角函數(shù)的等式向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為關(guān)于該角的三角函數(shù)的等式. .(2)(2)利用三角恒等變換進(jìn)行條件求值利用三角恒等變換進(jìn)行條件求值. .【變式訓(xùn)練【變

5、式訓(xùn)練】(2015(2015南京模擬南京模擬) )已知向量已知向量a=(sin,-2)=(sin,-2)與與b=(1,cos)=(1,cos)互相垂直互相垂直, ,其中其中(0, ).(0, ).(1)(1)求求cos,sincos,sin的值的值. .(2)(2)若若5cos(-5cos(-)=3 cos)=3 cos,0,0 ,0),cosx)(0),若若f(x)=f(x)=ab, ,且且f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為.(1)(1)求求的值的值. .(2)(2)試述由試述由y=sinxy=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到f(xf(x

6、) )的圖象的圖象. .(3)(3)求求y=f(xy=f(x) )的值域的值域. .2【解析【解析】(1)f(x)=(1)f(x)=ab=sin(-x)cosx+sin( -x)cosx=sin(-x)cosx+sin( -x)cosx=sinxcosx+cos=sinxcosx+cos2 2x= sin2x+x= sin2x+所以所以 =,=,即即=1.=1.2121cos 2 x21sin(2 x),2242 22(2)(2)由由(1),(1),得得f(xf(x)= )= 首先把首先把y=sinxy=sinx的圖象向左平移的圖象向左平移 個單位個單位, ,得得y=sin(xy=sin(x+

7、 )+ )的圖象的圖象; ;其次把其次把y=sin(xy=sin(x+ )+ )的圖象縱坐標(biāo)的圖象縱坐標(biāo)不變不變, ,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼臋M坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍倍, ,得得y=sin(2x+ )y=sin(2x+ )的圖象的圖象; ;然后把然后把y=y=sin(2x+ )sin(2x+ )的橫坐標(biāo)不變的橫坐標(biāo)不變, ,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍倍, ,得得y= y= 的圖象的圖象; ;最后最后, ,把把y= y= 的圖象向上平移的圖象向上平移 個單位個單位, ,得得f(xf(x)=)= 的圖象的圖象. .21sin(2x).2424441244222sin(2x)242sin(2x)242

8、1sin(2x)24212(3)(3)因為因為f(x)f(x)minmin= f(x)= f(x)maxmax= =所以所以f(xf(x) )的值域是的值域是21,2221,222121,.2222考點三考點三 平面向量在三角形計算中的應(yīng)用平面向量在三角形計算中的應(yīng)用【考情分析【考情分析】以平面向量的線性運算、數(shù)量積為載體考查三角形中正、以平面向量的線性運算、數(shù)量積為載體考查三角形中正、余弦定理的應(yīng)用及簡單的三角恒等變換余弦定理的應(yīng)用及簡單的三角恒等變換, ,主要解決三角形中求邊、求主要解決三角形中求邊、求角及求三角形面積等角及求三角形面積等. .考查分析問題考查分析問題, ,解決問題的能力解

9、決問題的能力. .【典例【典例3 3】(2015(2015臺州模擬臺州模擬) )在在ABCABC中中, ,三內(nèi)角三內(nèi)角A,B,CA,B,C所對的邊分別為所對的邊分別為a,b,ca,b,c, ,已知已知sinCsinC=2sin(B+C)cosB.=2sin(B+C)cosB.(1)(1)判斷判斷ABCABC的形狀的形狀. .(2)(2)設(shè)向量設(shè)向量m=(a+c,b),=(a+c,b),n=(b+a,c=(b+a,c-a),-a),若若mn, ,求求A.A.【解題提示【解題提示】(1)(1)利用利用A+B+C=A+B+C=轉(zhuǎn)化角后去掉角轉(zhuǎn)化角后去掉角C,C,得角得角A,BA,B的關(guān)系的關(guān)系, ,

10、可可判斷判斷. .(2)(2)利用已知轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系利用已知轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系, ,利用余弦定理可解利用余弦定理可解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)在在ABCABC中中, ,因為因為sinC=sin(A+BsinC=sin(A+B),),sinA=sin(B+CsinA=sin(B+C),),故故sinC=sin(A+BsinC=sin(A+B)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,所以所以sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB.=2sinAcosB.即即sinAcosB-cosA

11、sinBsinAcosB-cosAsinB=0,=0,即即sin(Asin(A-B)=0.-B)=0.又因為又因為-A-B,-A-B,所以所以A-B=0A-B=0即即A=B.A=B.故故ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .(2)(2)由由mnmn得得(a+c)(c-a)=b(b+a(a+c)(c-a)=b(b+a),),即即b b2 2+a+a2 2-c-c2 2+ab=0,+ab=0,即即b b2 2+a+a2 2-c-c2 2=-ab=-ab, ,從而從而cosCcosC= = 又又0C,0C0,0,所以所以C C是銳角是銳角. .所以所以cosCcosC= .= .(2)(2)因為因為 所以所以abcosCabcosC= ,= ,解得解得abab=20.=20.又因為又因為a+ba+b=9,=9,所以所以a a2 2+b+b2 2=41.=41.所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=36,-2abcosC=36,所以所以c=6.c=6.7sin C3 7.cos C18185CB CA2 ，52