彈性力學(xué) 模擬試題

模擬試題模擬試題一、解答題：（15分）1.簡(jiǎn)述圣維南原理，舉例說(shuō)明其應(yīng)用。（5分）2.什么是平面應(yīng)力問(wèn)題？什么是平面應(yīng)變問(wèn)題？分別寫出彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。（5分）3.什么是逆解法？什么是半逆解法？敘述解題路徑。（5分）二、寫出下列受力體的應(yīng)力邊界條件（固定端不必寫）（20分）1.圖1、2所示懸臂梁（用直角坐標(biāo)形式）。（10分）2.圖3所示三角形懸臂梁（用極坐標(biāo)形式）。（5分）3.圖4所示楔形體（用極坐標(biāo)形式）。（5分）0qxyo0圖3oyx22q0圖4Poxyhl圖2lxyo0q0qlx0hPM圖1三、已求得一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，試求主應(yīng)力與主應(yīng)力方向，并圖示。(15分）（1）已知 見(jiàn)圖5所示。（2）已知 見(jiàn)圖6所示。 ,5010,50,100MPaMPaMPaxyyx,500,1500,1000MPaMPaMPaxyyx圖5xxyyxyxyoxy圖6yyxxxyxyoxy圖7四、設(shè)圖7所示簡(jiǎn)支梁只受重力作用。梁的密度為，試求應(yīng)力分量。（15分）lhxyghlgoghll圖8q五、設(shè)有一剛體，如圖8所示，具有半徑為b的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為b、內(nèi)半徑為a的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力q，試求圓筒的應(yīng)力。（20分）六、試用虛位移原理求圖9所示梁的撓曲線，并求出 處的撓度值(忽略剪切變形的影響)。設(shè)撓度曲線為：2lalxnawnnsin1laPoxz圖9（15分）模擬試題答案模擬試題答案一、解答題：1.答：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。這就是圣維南原理。如圖a所示柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把一端的拉力變換為靜力等效的力，如圖b，只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響是可以不計(jì)的。PPP2/P2/P圖a 圖b2.答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。這種問(wèn)題稱為平面應(yīng)力問(wèn)題。很長(zhǎng)的柱體，在柱面上承受平行于板面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿長(zhǎng)度變化。這種問(wèn)題稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為：xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程為：xyxyxyyyxxEEE)1 (2)1(1)1(1223.逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程 的應(yīng)力函數(shù) ，用公式 求出應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來(lái)考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問(wèn)題。逆解法基本步驟：024422444yyxxyxYyxXxyxyyx22222,設(shè)定求出應(yīng)力分量求出面力（合力）解決什么問(wèn)題代入代入應(yīng)力分量公式應(yīng)力邊界條件確定半逆解法：針對(duì)所要求解的問(wèn)題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù) ，然后來(lái)考察，這個(gè)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，以及，原來(lái)所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個(gè)應(yīng)力函數(shù)求出的其余應(yīng)力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考察。半逆解法基本步驟：設(shè)定導(dǎo)出應(yīng)力表達(dá)式得到正確解答滿足邊界條件滿足04是是否否應(yīng)力分量公式應(yīng)力邊界條件二、（1）222222000022202, 0, 0, 0,hhhhhhxxyxxxxhyxyhyyhyxyhyyPdyMydydylxq（2）22220022022,2cos,cos, 0, 0hhhhxxyxxhhxxhyxyhyyPdyhPydyPdy（3）0000, 0, 0,ararq（4）2cos,2sin, 022022qqaraara三、（1）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向?yàn)椋篗Pa0150501025010025010022214454,4142. 1tan1tan6135,707. 05010100150tan21211主應(yīng)力方向如圖c。（2）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向?yàn)椋篗Pa18096915002500225002221431,618. 05001000691tan11主應(yīng)力方向如圖d。yyxx122xy1xy1圖dxoyxxyy2211xyxy1圖cxoy四、解：1.用半逆解法，設(shè) ，則：)(yfy)()()(2)()(),(212122yfyxfyfxyfyxfxyfxy代入雙調(diào)和方程后得：2345232322345223123224244144422424414244610)()(2610)()(,)(0)(2)(, 0)(, 0)(0)(2)()()(21GyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxKyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyfdyyfddyyfddyyfddyyfddyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd（2）（1）2.應(yīng)力分量的表達(dá)式為：PxGFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx)23()23(2622)26()26(22223232其中，特解取 ,而 。由對(duì)稱性可知，正應(yīng)力（剪應(yīng)力）應(yīng)是 的偶（奇）函數(shù)，因此， 。式（3）簡(jiǎn)化為：PxgPx0GFEPxCByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx)23(2622)26(2223232（3）（4）3.由邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：2222220, 00, 0hhhhlxxlxxhyxyhyyydydy將式（4）代入以上各式，可求得：101,2,2, 0222hlPHPChPAKDBJbQSxhyPyhyPyhyPyJMyPyhPyxlhPxyyx222222322224164125345346五、解：由題可知本題為一個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題，故環(huán)向位移 。0u另外還要考慮位移的單值條件，因此，應(yīng)力分量和位移分量分別如下：1.應(yīng)力分量為：CrACrAr22222.平面應(yīng)變問(wèn)題的位移分量為：1121112CrrAEur3.確定常數(shù)A、C：利用邊界條件則有：當(dāng) 時(shí)，ar qarr即得：當(dāng) 時(shí)，br 0brru（1）011211CbbA（2）由（1）得：qaCaA222（3）（2）、（3）聯(lián)立解得：21212122222222babqaAbaqaC4.筒壁應(yīng)力：qbarrabaqbaaqbarbar2121212121222222222222222qbabrr2222121121qbarrabaqbaaqbarba2121212121222222222222222qbabr2222121121而：六、解：應(yīng)變能：12434202242nnlanlEIdxdxwdEIU使撓曲線級(jí)數(shù)中任一個(gè)系數(shù) 有一變分,就可得到一個(gè)從真實(shí)位移算起的虛位移：nalxnawnsin與之相應(yīng)的應(yīng)變能的變化為：nnnnaanlEIaaU4342外力P在虛位移過(guò)程中所作的功為：lanaPnsin應(yīng)用虛位移原理,可得：lanaPaanlEInnnsin2434443sin2EInlanPlan由此得：撓曲線為：1443sinsin2nnlxnlanEIPlw當(dāng)P力作用在梁跨度中央處,得： 44432513112EIPlwlx如只取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng),可得： EIPlEIPlwlx7.4823432