九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期一元二次方程暑假導(dǎo)學(xué)案人教版.doc

教學(xué)資料參考范本九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期 一元二次方程暑假導(dǎo)學(xué)案 人教版撰寫人：_時(shí) 間：_【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.一元二次方程的定義、各項(xiàng)系數(shù)的辨別，根的作用根的作用的理解 2.通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念【自主探究一】1.如圖，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100 cm，寬50 cm在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 解：只列方程： 。2.再觀察下列各式：1. 2. 3. 4. 問(wèn)題一：上面1、2題目中含有 個(gè)未知數(shù)？問(wèn)題二：按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是 次？類比一元一次方程的定義，那么上面的方程叫做 。方程的特點(diǎn)：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；歸納一元二次方程定義：只含有 ，并且未知數(shù)的 為 的 方程，叫做一元二次方程【知識(shí)梳理】一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)【典例分析】例1.將方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)解：去括號(hào)得 ，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是8，常數(shù)項(xiàng)是10【嘗試練習(xí)】1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)1. (2x-1)=7 2. 【自主探究二】1.什么是一元一次方程的解？一個(gè)一元一次方程有幾個(gè)解？2你能猜測(cè)方程的解是什么嗎？那一元二次方程應(yīng)該有幾個(gè)解？【小試牛刀】1將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)2你能根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)解出下列方程的解嗎？（1）；（2）【應(yīng)用拓展】 求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 22.2降次解一元二次方程（1）（第2課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程2.運(yùn)用開平方法解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程3.通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識(shí)遷移到解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程體會(huì)由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想方法【復(fù)習(xí)引入】1求出下列各式中x的值，并說(shuō)說(shuō)你的理由（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）【自主探究】一桶某種油漆可刷的面積為1 500 dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？解：設(shè)， 列方程， 猜想上述方程的解為： 【嘗試練習(xí)】問(wèn)題1：對(duì)照上述解方程的過(guò)程，你能解下列方程嗎？從中你能得到什么結(jié)論？（1）；（提示：開平方得到）（2）【知識(shí)梳理】：1簡(jiǎn)單的解一元二次方程的思想“降次”把二次降為一次，進(jìn)而解一元一次方程即在解一元二次方程時(shí)通常通過(guò)“降次”把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程2如果方程能化成或的形式，那么直接開平方可得或【鞏固練習(xí)】解下列方程1x2-3=0 24x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0【拓展練習(xí)】 市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率 22.2降次解一元二次方程（2）配方法（第3課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用配方法，即通過(guò)變形運(yùn)用開平方法降次解方程。2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步驟；能夠利用配方法解一元二次方程。滲透配方法是解決某些代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)很重要的方法【復(fù)習(xí)引入】請(qǐng)同學(xué)們解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9知識(shí)歸納：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0）如：4x2+16x+16=（2x+4）2【典例分析】例1，要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6 cm，并且面積為16 cm2，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分別是多少？分析：設(shè)場(chǎng)地的寬為x m，則長(zhǎng)為 m，根據(jù)矩形面積為16 cm2，得到方程 16，整理得到x2+6x160，如何解方程x2+6x160？只要把上述方程左邊化成一個(gè)完全平方式的形式，問(wèn)題就解決了，于是想到把方程左邊進(jìn)行配方，對(duì)于代數(shù)式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x3）2，因此方程x2+6x=16可以化為x2+6x9=169，即 25，問(wèn)題解決。小結(jié)：通過(guò)配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。例2. （配方法） 解：移項(xiàng)，得 由此可得， 所以，【小試牛刀】1. 2. 【階段總結(jié)】1.利用上面配方法解方程的過(guò)程，你能從中得到在配方時(shí)具有的規(guī)律嗎？（1）x28x + 1 = 0；（2）；（3）（1）中經(jīng)過(guò)移項(xiàng)可以化為，為了使方程的左邊變?yōu)橥耆椒绞?，可以在方程兩邊同時(shí)加上42，得到，得到（x4）2=15；（2）中二次項(xiàng)系數(shù)不是1，此時(shí)可以首先把方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)2，然后再進(jìn)行配方，即，方程兩邊都加上，方程可以化為；2.配方法解方程時(shí)應(yīng)該遵循的步驟：（1）把方程化為一般形式；（2）把方程的常數(shù)項(xiàng)通過(guò)移項(xiàng)移到方程的右邊；（3）方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；（4）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（5）此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解【鞏固練習(xí)】解下列方程 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0【應(yīng)用拓展】 例：如圖，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 解：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 22.2降次解一元二次方程（3）（第4課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1用公式法解一元二次方程。2掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)，會(huì)運(yùn)用公式法解一元二次方程3通過(guò)求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性【復(fù)習(xí)引入】1.用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52【自主探索】提出問(wèn)題：如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？例，已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根為x1=，x2=提示：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去 解：移項(xiàng)，得： 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得 配方，得：x2+x+（ ）2=-+（ ）2 即（x+）2= 且4a2>0 0 直接開平方，得：x+= 即x= x1=，x2=注意： （）即是一元二次方程的求根公式。例2利用公式法解下列方程，從中你能發(fā)現(xiàn)什么？（1）（2）（3）總結(jié)步驟：1.確定的值、2.算出的值、3.代入求根公式求解（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系數(shù)確定的；（2）在解一元二次方程時(shí)，可先把方程化為一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的兩個(gè)根；（3）我們把公式（）稱為一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【鞏固練習(xí)】用公式法解下列方程（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0【應(yīng)用拓展】例：某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下面的問(wèn)題若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程22.2降次解一元二次方程（4）（第5課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.用根的判別式b2-4ac來(lái)判別ax2+bx+c=0（a0）的根的情況及其運(yùn)用。2.掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a0）沒(méi)實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系的運(yùn)用【復(fù)習(xí)引入】1.用公式法解下列方程,并說(shuō)明根的情況，觀察b2-4ac的值。（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0（1）b2-4ac=9>0，方程有 ；（2）b2-4ac=12-12=0，方程 ；（3）b2-4ac=-441=<0，方程 ；2.總結(jié)一元二次方程根的規(guī)律和的關(guān)系?！眷柟叹毩?xí)】例：不解方程，判定方程根的情況（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0【反饋練習(xí)】 不解方程判定下列方程根的情況:（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-=0（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0 （5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0【應(yīng)用拓展】 例1：某養(yǎng)雞廠的矩形雞舍長(zhǎng)靠墻現(xiàn)在有材料可以制作竹籬笆13米，若欲圍成20平方米的雞舍，雞舍的長(zhǎng)和寬應(yīng)是多少？能圍成22平方米的雞舍嗎，若可以求出長(zhǎng)和寬，若不能說(shuō)明理由【閱讀理解】從前面的具體問(wèn)題，我們已經(jīng)知道b2-4ac>0（<0，=0）與根的情況，現(xiàn)在你把這個(gè)問(wèn)題一般化，從求根公式的角度來(lái)分析來(lái)得出結(jié)論。 求根公式：x=，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，等于一個(gè)具體數(shù)，所以一元一次方程的x1=x1=，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，根據(jù)平方根的意義=0，所以x1=x2=，即有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以沒(méi)有實(shí)數(shù)解 因此，（結(jié)論）（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即x1=，x2= （2）當(dāng)b-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根即x1=x2= （3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根22.2降次解一元二次方程（5）（第6課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1應(yīng)用分解因式法解一些一元二次方程2能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法3體會(huì)“降次”化歸的思想。【復(fù)習(xí)引入】解下列方程（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）【自主探究】例題，仔細(xì)觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？（1）上面兩個(gè)方程中有沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)？（2）等式左邊的各項(xiàng)有沒(méi)有共同因式？上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:2x2+x= ，3x2+6x= 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：（1）x（2x+1）=0 所以x=0或2x+1=0，因此，x1=0，x2=-你知道為什么嗎？我認(rèn)為： 。（2）3x（x+2）=0解：【知識(shí)梳理】1.上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法2.歸納：利用因式分解使方程化為兩個(gè)一次式乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次這種解法叫作因式分解法【小試牛刀】通過(guò)解下列方程，你能發(fā)現(xiàn)在解一元二次方程的過(guò)程中需要注意什么？（1）；（2）； （3）；（4）【鞏固練習(xí)】1根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以10 m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過(guò)x s物體離地面的高度（單位：m）為 你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過(guò)多少秒回到地面嗎？2 解下列方程112（2-x）2-9=0 2x2+x（x-5）=022.2降次解一元二次方程（6）（第7課時(shí)）十字相乘法分解因式【閱讀理解】閱讀：我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請(qǐng)你用上面的方法解下列方程（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 提示：二次三項(xiàng)式x2-（a+b）x+ab的最大特點(diǎn)是x2項(xiàng)是由xx而成，常數(shù)項(xiàng)ab是由-a（-b）而成的，而一次項(xiàng)是由-ax+（-bx）交叉相乘而成的根據(jù)上面的分析，我們可以對(duì)上面的三題分解因式 【鞏固練習(xí)】 1. 2.【閱讀】配方法、公式法、因式分解法聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次公式法是由配方法推導(dǎo)而得到配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程區(qū)別：配方法要先配方，再開方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0。 22.24一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（第8課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。（2）能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求：已知方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及待定系數(shù)； 根據(jù)方程求代數(shù)式的值。（3）學(xué)生經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和解決問(wèn) 【探索新知】1.請(qǐng)同學(xué)們完成下面的表格：方程xxx2.觀擦上面的規(guī)律，運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）已知方程x的根是x和x，則= ；= （2）已知方程x+3x5=0的根是x和x，則= ；= 猜想：如果方程的根是x和x，則= ；= 【典例分析】1.證明猜想： 如果方程的根是x和x，那么=m，=n 證明：方程的=m 當(dāng)=m0時(shí)，方程的根是x=，x= =+=m=n2.提出疑問(wèn)：如果一元二次方程的一般式的根是x和x，那么 ， = ；= 【應(yīng)用新知】例1 已知方程的一個(gè)根是3，求方程的另一個(gè)根及c的值。解.設(shè)方程的另一個(gè)根是，則 3+=2 解之得=1。 3=c 3（1）=c c=3 故：方程的另一個(gè)根是1，c=3?！緡L試練習(xí)】1.求下列方程兩個(gè)根的和與積 （1） x23x+2=0 （2） 2x2+3x4=0 2.方程2的兩個(gè)根是x和x，則= ； = 3.已知方程的一個(gè)根是2，求方程的另一個(gè)根及的值?！緫?yīng)用拓展】例，已知方程的根是x和x，求下列式子的值： （1）+ （2）解.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：=5，=6 （1）原式=+2 = =5（6） =31（2）原式= = = =【鞏固練習(xí)】（1）已知方程的兩個(gè)根分別是x和x，則= = （2）已知方程的兩個(gè)根是2與3，則 ， 2已知方程的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及c的值。3已知方程2的兩個(gè)根分別是x和x，求下列式子的值：（1）（x+2）（x+2） （2）22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（1）（第9課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型2.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程，探索問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述?！咀灾魈骄俊炕仡櫍毫蟹匠探鈶?yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？ 【問(wèn)題情境】例，有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何理解“兩輪傳染”？23 / 23