北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊《角平分線》教案

課 題：第一章 第四節(jié) 角平分線（第二課時）課 型：新授課教學(xué)目標(biāo)：1.掌握三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力（重點(diǎn)）2.綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決幾何中的問題（重難點(diǎn)）3.在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心教法與學(xué)法指導(dǎo)： 本節(jié)課教學(xué)模式主要采用“小組合作競學(xué)”的教學(xué)模式.提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計問題讓學(xué)生做，錯誤原因讓學(xué)生說，方法與規(guī)律讓學(xué)生歸納，并且營造小組競學(xué)的氛圍. 教師的作用在于組織、點(diǎn)撥、引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生主動探索，積極思考，大膽想象，總結(jié)規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.課前準(zhǔn)備：制作課件，學(xué)生課前進(jìn)行相關(guān)預(yù)習(xí).教學(xué)過程：一、 感悟?qū)雴栴}1 習(xí)題18的第1題作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？(教師可用多媒體演示尺規(guī)作圖過程)生三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)生根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理還可知這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等師你還可以用什么方法說明上述結(jié)論呢？生利用折紙在紙板上畫一個三角形并剪下來，折疊，作出三角形三個內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)師如何利用我們學(xué)過的公理和已證的定理來證明它呢？可以類比我們學(xué)過的知識解決嗎？生可以類比三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的方法來證明我們在證此結(jié)論時，先是設(shè)有其中兩邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，然后利用線段垂直平分線的判定定理，說明這一點(diǎn)在第三邊的垂直平分線上師很好！下面我們就來證明：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)二、探究新知1.三角形角平分線性質(zhì)定理的證明師生共析已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P，證明：P點(diǎn)在BAC的角平分線上證明：過P點(diǎn)作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PDPE(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等)同理：PEPFPDPF點(diǎn)P在BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上)ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P師在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)外，還證明了什么呢？生還證明了PDPEPF，即這個交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等師于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等下面我們通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等師下面我們來看問題2(多媒體演示)如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？生有一處在三條公路的交點(diǎn)A、B、C組成的ABC三條角平分線的交點(diǎn)處師你如何發(fā)現(xiàn)的？生因?yàn)槿切稳龡l角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三邊的距離相等而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等這一點(diǎn)剛好符合生我找到四處(同學(xué)們很吃驚)師你是如何找到的？生除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點(diǎn)作ACB、ABC外角的平分線交于點(diǎn)P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等同理還有BAC、BCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P2；BAC、CBA的外角的角平分線的交點(diǎn)P3因此滿足條件的點(diǎn)共4個，分別是P、P1、P2、P3 三、合作競學(xué)多媒體演示例1如圖，在ABC中，ACBC，C90，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E(1)已知CD4cm，求AC的長；(2)求證：ABACCD分析：本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問題第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BCCDDB，CD4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DECD4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長第(2)問中，求證ABACCD這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想ABAEBE，所以需證ACAE，CDBE(1)解：AD是ABC的角平分線，C90，DEABDECD4cm(角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等)ACBCBBAC(等邊對等角)C90，B9045BDE904545BEDE(等角對等邊)在等腰直角三角形BDE中BDcm(勾股定理)，ACBCCDBD(4)cm(2)證明：由(1)的求解過程可知，RtACDRtAED(HL定理)ACAEBEDECD，ABAEBEACCD例2已知：如圖，P是AOB平分線上的一點(diǎn)，PCOA，PDOB，垂足分別為C、D求證：(1)OCOD；(2)OP是CD的垂直平分線證明：(1)P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，PCOA，PDOB，PCPD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)在RtOPC和RtOPD中，OPOP，PCPD，RtOPCRtOPD(HL定理)OCOD(全等三角形對應(yīng)邊相等)(2)又OP是AOB的角平分線，OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢？四、課堂小結(jié)1.師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些感悟與收獲？ 生1：本節(jié)課我學(xué)會了證明三角形角平分線的性質(zhì)定理生2：我們可以用三角形角平分線的性質(zhì)定理解決一些數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題. 生3：我進(jìn)一步熟練了尺規(guī)作角的平分線生4：我學(xué)會了類比的思想方法.生5：通過課本p39,第2題和助學(xué)p24第7題我學(xué)會了歸納總結(jié)思想.五、達(dá)標(biāo)檢測1.如圖，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分線，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，下面給出四個結(jié)論：DA平分EDF；AE=AF；AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；到AE、AF距離相等的點(diǎn)，到DE、DF的距離也相等，其中正確的結(jié)論有：( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 答案D2. 已知：如下圖，在ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在DAE的平分線上. 點(diǎn)撥方法要證明點(diǎn)在角平分線上，那就是要證明點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那應(yīng)該用用什么方法呢?答案證明：過點(diǎn)F作FGBC,FMAE,FNAD垂足分別為G、M、N. FB、FC分別為CBD、BCE的角平分線 FG = FN, FG =FM FN =FM 點(diǎn)F在DAE的平分線上.六、布置作業(yè)1習(xí)題19第1，2，3題2完成助學(xué)p26第1，2題選作第5題七、 板書設(shè)計 142 角平分線(二)1定理：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等2例在ABC中，ACBC，C90，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E(1)已知CD4cm，求AC的長；(2)求證：ABACCD分析：(略)解：(略)八、 教學(xué)反思 教材中的引入是一種用被動的方式將學(xué)生的知識回想起來.而筆者的引入以交流方式讓學(xué)生主動回想起角平分線的概念以及畫法，這樣對學(xué)生思維的啟發(fā)度深；也讓學(xué)生明白前后知識的聯(lián)系，以填空的形式給出讓學(xué)生的思維對角平分線是射線、三角形的角平分線是線段有了充分的理解與掌握.這樣學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)達(dá)到知其然、知其所以然的效果.1、這節(jié)課主要是用類比的教學(xué)方法將書本的知識隱含的內(nèi)容表達(dá)出來、給學(xué)生一種美的感受；將舊知與新知以有效的語言表達(dá)出來、合適的方式寫在一起，為師生的交流創(chuàng)造良好的氛圍；這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)就容易達(dá)到事半功倍的效果。通過問題的解決，讓學(xué)生學(xué)會從不同角度分析問題、解決問題；讓學(xué)生學(xué)會引申、變更問題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的創(chuàng)造性能力.2.重視情境創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生經(jīng)歷求知過程.本節(jié)課引入問題教學(xué)的模式，其目的是引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂，積極投入到解題思路的探索過程中，通過合作學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生深層次參與，倡導(dǎo)同學(xué)們要學(xué)會用大腦去思考，用耳朵去傾聽,用眼睛去觀察，用雙手去操作，使學(xué)生言語與行動逐步起到自覺調(diào)控的作用，促進(jìn)思維的“內(nèi)化”，從而發(fā)展學(xué)生的獨(dú)立思考. 3、教學(xué)過程不足之處在具體的教學(xué)過程中，整個課堂顯得時間倉促，沒有給學(xué)生留下足夠的時間和空間進(jìn)行定理應(yīng)用。特別是課堂小結(jié)，在對知識的梳理上顯然做的不夠。假如對本節(jié)課進(jìn)行第二次設(shè)計，我想只探討角平分線性質(zhì)定理即可，而后補(bǔ)充一些例題給學(xué)生足夠的時間讓他們進(jìn)行分析和運(yùn)用，落實(shí)對推理問題思路的探尋和清晰、條理性書寫證明的過程，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和靈活運(yùn)用知識解決問題的能力.另外，教學(xué)語言不精練，有的話重復(fù)了好幾遍，過多的點(diǎn)撥剝奪了學(xué)生的思維參與機(jī)會；課堂提問質(zhì)量不高，尤其是對課堂語言的錘煉，不僅僅是表達(dá)清楚，更要言簡意賅，把更多的時間留給學(xué)生，讓學(xué)生在課堂上有更多的時間去思考.還要注意，發(fā)揮學(xué)生的主體性不應(yīng)停留在口頭上，還要在實(shí)際操作時充分體現(xiàn)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，學(xué)生是學(xué)習(xí)的真正的主人.7