2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無(wú)理方程的解法并且只要求掌握(1)不超過(guò)三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法,會(huì)用”去分母”或”換元法”求方程的根,并會(huì)驗(yàn)根;(2)了解無(wú)理方程概念,掌握可化為一元二次方程的無(wú)理方程的解法,會(huì)用”平方”或”換元法”求根,并會(huì)驗(yàn)根一、可化為一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程為一元二次方程【例1】解方程 分析:去分母,轉(zhuǎn)化為整式方程解:原方程可化為:方程兩邊各項(xiàng)都乘以:即,整理得:解得:或檢驗(yàn):把代入,不等于0,所以是原方程的解; 把代入,等于0,所以是增根所以,原方程的解是說(shuō)明:(1) 去分母解分式方程的步驟: 把各分式的分母因式分解; 在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母; 去括號(hào),把所有項(xiàng)都移到左邊,合并同類項(xiàng); 解一元二次方程; 驗(yàn)根(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn),但代入原方程計(jì)算量較大而分式方程可能產(chǎn)生的增根,就是使分式方程的分母為0的根因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根,是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡(jiǎn)公分母為0若為0,即為增根;若不為0,即為原方程的解2用換元法化分式方程為一元二次方程【例2】解方程 分析:本題若直接去分母,會(huì)得到一個(gè)四次方程,解方程很困難但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),設(shè),即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程最后在已知的值的情況下,用去分母的方法解方程解:設(shè),則原方程可化為: 解得或(1)當(dāng)時(shí),去分母,得;(2)當(dāng)時(shí),檢驗(yàn):把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0所以,都是原方程的解說(shuō)明:用換元法解分式方程常見(jiàn)的錯(cuò)誤是只求出的值,而沒(méi)有求到原方程的解,即的值【例3】解方程 分析:注意觀察方程特點(diǎn),可以看到分式與互為倒數(shù)因此,可以設(shè),即可將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方程解:設(shè),則原方程可化為:(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),檢驗(yàn):把把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0所以,原方程的解是,說(shuō)明:解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,體現(xiàn)了化歸思想二、可化為一元二次方程的無(wú)理方程根號(hào)下含有未知數(shù)的方程,叫做無(wú)理方程1平方法解無(wú)理方程【例4】解方程 分析:移項(xiàng)、平方,轉(zhuǎn)化為有理方程求解 解:移項(xiàng)得:兩邊平方得:移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得:解得:或檢驗(yàn):把代入原方程,左邊右邊,所以是增根 把代入原方程,左邊 = 右邊,所以是原方程的根所以,原方程的解是說(shuō)明:含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟:移項(xiàng),使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式,其余各項(xiàng)均移到方程的右邊;兩邊同時(shí)平方,得到一個(gè)整式方程;解整式方程;驗(yàn)根【例5】解方程 分析:直接平方將很困難可以把一個(gè)根式移右邊再平方,這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式,再用例4的方法解方程 解:原方程可化為: 兩邊平方得:整理得:兩邊平方得:整理得:,解得:或檢驗(yàn):把代入原方程,左邊=右邊,所以是原方程的根 把代入原方程,左邊右邊,所以是增根所以,原方程的解是說(shuō)明:含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟:移項(xiàng),使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式;兩邊平方,得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程;一下步驟同例4的說(shuō)明2換元法解無(wú)理方程【例6】解方程 分析:本題若直接平方,會(huì)得到一個(gè)一元四次方程,難度較大注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn):因此,可以設(shè),這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理 解:設(shè),則 原方程可化為:,即,解得:或(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解檢驗(yàn):把分別代入原方程,都適合所以,原方程的解是說(shuō)明:解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法,將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程,體現(xiàn)了化歸思想練 習(xí) A 組1解下列方程:(1) (2)(3) (4) 2用換元法解方程:3解下列方程:(1) (2) (3) 4解下列方程:(1) (2) 5用換元法解下列方程:(1) (2) B 組1解下列方程:(1) (2) (3) (4) 2用換元法解下列方程:(1) (2) (3) 3若是方程的解,試求的值 4解下列方程: (1) (2) 5解下列方程:(1) (2) (3) 第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法答案A 組123 4(1)(2) 5B 組12345