2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第五章 第5節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 理（含解析）.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第五章 第5節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 理（含解析）1（xx安徽，5分）數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.解析：法一：因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以a11，a33，a55也成等差數(shù)列，又a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，所以a11，a33，a55是常數(shù)列，故q1.法二：因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以可設(shè)a1td，a3t，a5td，故由已知得(t3)2(td1)(td5)，得d24d40，即d2，所以a33a11，即q1.答案：12.（xx天津，5分）設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_解析：由已知得S1S4S，即a1(4a16)(2a11)2，解得a1.答案：3.（xx浙江，5分）設(shè)函數(shù)f1(x)x2，f2(x)2(xx2)，f3(x)|sin 2x|，ai，i0,1,2，99.記Ik|fk(a1)fk(a0)|fk(a2)fk(a1)|fk(a99)fk(a98)|，k1,2,3.則()AI1<I2<I3 BI2<I1<I3CI1<I3<I2 DI3<I2<I1解析：選B顯然f1(x)x2在0,1上單調(diào)遞增，可得f1(a1)f1(a0)>0，f1(a2)f1(a1)>0，f1(a99)f1(a98)>0，所以I1|f1(a1)f1(a0)|f1(a2)f1(a1)|f1(a99)f1(a98)|f1(a1)f1(a0)f1(a2)f1(a1)f1(a99)f1(a98)f1(a99)f1(a0)201.f2(x)2(xx2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得f2(a1)f2(a0)>0，f2(a49)f2(a48)>0，f2(a50)f2(a49)0，f2(a51)f2(a50)<0，f2(a99)f2(a98)<0，所以I2|f2(a1)f2(a0)|f2(a2)f2(a1)|f2(a99)f2(a98)|f2(a1)f2(a0)f2(a49)f2(a48)f2(a51)f2(a50)f2(a99)f2(a98)f2(a49)f2(a0)f2(a99)f2(a50)2f2(a50)f2(a0)f2(a99)4<1.f3(x)|sin 2x|在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得f3(a1)f3(a0)>0，f3(a24)f3(a23)>0, f3(a25)f3(a24)>0，f3(a26)f3(a25)<0，f3(a49)f3(a48)<0，f3(a50)f3(a49)0，f3(a51)f3(a50)>0，f3(a74)f3(a73)>0，f3(a75)f3(a74)<0，f3(a76)f3(a75)<0，f3(a99)f3(a98)<0，所以I3|f3(a1)f3(a0)|f3(a2)f3(a1)|f3(a99)f3(a98)|f3(a25)f3(a0)f3(a49)f3(a25)f3(a74)f3(a50)f3(a99)f3(a74)2f3(a25)2f3(a49)2f3(a74)2sinsin>2sinsin>1.因此I2<I1<I3.4.（xx湖北，12分）已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2,2d,24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當(dāng)d0時(shí)，an2；當(dāng)d4時(shí)，an2(n1)44n2，從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2或an4n2.(2)當(dāng)an2時(shí)，Sn2n.顯然2n<60n800，此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立當(dāng)an4n2時(shí)，Sn2n2.令2n2>60n800，即n230n400>0，解得n>40或n<10(舍去)，此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立，n的最小值為41.綜上，當(dāng)an2時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)an4n2時(shí)，存在滿足題意的n，其最小值為41.5.（xx廣東，14分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)由Sn2nan13n24n，nN*，取n1,2得又S315，a1a2a315，a315(a1a2)聯(lián)立解得a13，a25，a37.(2)法一：當(dāng)n>1時(shí)，由已知得兩式相減得2nan1(2n1)an6n1，即2nan14n26n(2n1)an4n21，即2nan1(2n3)(2n1)an(2n1)，令bnan(2n1)，則2nbn1(2n1)bn，由(1)知b1b20，則由知bn0，an2n1，且n1時(shí)也成立，故an2n1，nN*.法二：由(1)猜想an2n1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明n1時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，ak2k1，則Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2ak14k6，ak12(k1)1，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由知，nN*，an2n1.6.（xx湖南，13分）已知數(shù)列an滿足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值；(2)若p，且a2n1是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以an1an|an1an|pn.而a11，因此a2p1，a3p2p1.又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2a13a3，因而3p2p0，解得p或p0.當(dāng)p0時(shí)，an1an，這與an是遞增數(shù)列矛盾，故p.(2)由于a2n1是遞增數(shù)列，因而a2n1a2n1>0，于是(a2n1a2n)(a2na2n1)>0.但<，所以|a2n1a2n|<|a2na2n1|.由知，a2na2n1>0，因此a2na2n12n1.因?yàn)閍2n是遞減數(shù)列，同理可得，a2n1a2n<0，故a2n1a2n2n.由即知，an1an.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an7.（xx江蘇，16分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an是“H數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n(nN*)，證明：an是“H數(shù)列”；(2)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a11，公差d<0.若an是“H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立解：(1)證明：由已知，當(dāng)n1時(shí)，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)mn1，使得Sn2nam.所以an是“H數(shù)列”(2)由已知，得S22a1d2d.因?yàn)閍n是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因?yàn)閐<0，所以m2<0，故m1.從而d1.當(dāng)d1時(shí)，an2n，Sn是小于2的整數(shù)，nN*.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m2Sn2，使得Sn2mam，所以an是“H數(shù)列”因此d的值為1.(3)證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，則anbncn(nN*)下面證bn是“H數(shù)列”設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tna1(nN*)于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Tnbm，所以bn是“H數(shù)列”同理可證cn也是“H數(shù)列”所以任意的等差數(shù)列an，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立8.（xx天津，14分）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)設(shè)集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n(1)當(dāng)q2，n3時(shí)，用列舉法表示集合A；(2)設(shè)s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.證明：若an<bn，則s<t.解：(1)當(dāng)q2，n3時(shí)，M0,1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1,2,3可得，A0,1,2,3,4,5,6,7(2)證明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1,2，n及an<bn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn11<0.所以s<t.9（xx新課標(biāo)全國，5分）設(shè)AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，則()ASn為遞減數(shù)列BSn為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列DS2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列解析：本題考查三角形面積公式和歸納推理等知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，對考生的歸納推理能力、邏輯思維能力要求較高已知b1c1，b1c12a1，a2a1，故b2c1b1b1，c2b1c1c1，b2c2a12a1，b2c20，即b2c2，b2c2(b1c1)2b1c1b1c1.又a3a2a1，所以b3c2b2b2，c3b2c2c2，b3c32a22a1，b3c3c2b20，即b3c3，b3c3(b2c2)2b2c2b2c2b1c1.又AnBnCn的面積為Sn ，其中p(anbncn)，p(pan)和p2(bncn)p都為定值，bncn逐漸遞增，所以數(shù)列Sn為遞增數(shù)列，選擇B.答案：B10.（xx安徽，14分）如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面積均相等設(shè)OAnan.若a11，a22，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：本題考查由數(shù)列遞推求通項(xiàng)、三角形相似以及平行線分線段成比例等知識(shí)令SOA1B1m(m>0)，因?yàn)樗蠥nBn平行且a11，a22，所以S梯形AnBnBn1An1S梯形A1B1B2A23m，當(dāng)n2時(shí)，故aa，aa，aa，aa，以上各式累乘可得：a(3n2)a，因?yàn)閍11，所以an.答案：an11（xx北京，14分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.解：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和、放縮法等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，考查考生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題能力(1)依題意，2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)當(dāng)n2時(shí)，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)1n，所以ann2.(3)證明：當(dāng)n1時(shí)，1<；當(dāng)n2時(shí)，1<；當(dāng)n3時(shí)，<，此時(shí)1<11<.綜上，對一切正整數(shù)n，有<.12（xx北京，13分）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an1，an2, 的最小值記為Bn，dnAnBn.(1)若an為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對任意nN*，an4an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)證明：dnd(n1,2,3，)的充分必要條件為an是公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a12，dn1(n1,2,3，)，則an的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1.解：本題主要考查無窮數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，考查了考生對新定義類數(shù)列的理解與運(yùn)用，對考生的邏輯思維能力要求較高(1)d1d21，d3d43.(2)證明：(充分性)因?yàn)閍n是公差為d的等差數(shù)列，且d0，所以a1a2an，因此Anan，Bnan1，dnanaa1d(n1,2,3)(必要性)因?yàn)閐nd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn，又anAn，an1Bn，所以anan1，于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndnd，即an是公差為d的等差數(shù)列(3)證明：因?yàn)閍12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故對任意n1，anB11.假設(shè)an(n2)中存在大于2的項(xiàng)設(shè)m為滿足am2的最小正整數(shù)，則m2，并且對任意1km，ak2.又a12，所以Am12，且Amam2.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，與dm11矛盾所以對于任意n1，有an2，即非負(fù)整數(shù)列an的各項(xiàng)只能為1或2.因?yàn)閷θ我鈔1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足mn，且am1，即數(shù)列an有無窮多項(xiàng)為1. 13（xx福建，4分）數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012_.解析：anncos1，a1a2a3a46，a5a6a7a86，a4k1a4k2a4k3a4k46，kN，故S2 01250363 018.答案：3 01814（2011福建，13分）已知等比數(shù)列an的公比q3，前3項(xiàng)和S3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)f(x)Asin(2x)(A0,0)在x處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f(x)的解析式解：(1)由q3，S3，得，解得a1.所以an3n13n2.(2)由(1)可知an3n2，所以a33.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為3，所以A3；因?yàn)楫?dāng)x時(shí)f(x)取得最大值，所以sin(2)1.又0，故.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)3sin(2x)