2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1課件 新人教A版必修4.ppt

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2.3.1 平面向量基本定理,一,二,一、平面向量基本定理 問(wèn)題思考 1.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,是否可以用平面內(nèi)的一個(gè)非零向量e1線性表示?是否可以用平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量e1,e2線性表示?當(dāng)向量a可以用兩個(gè)非零向量e1,e2線性表示時(shí),表示方法是唯一的嗎? 提示當(dāng)e1與a共線時(shí),a可用e1線性表示,否則不可以;當(dāng)非零向量e1,e2共線時(shí),向量a不一定能用e1,e2線性表示,若非零向量e1,e2不共線,則任意向量a一定可以用e1,e2線性表示,且表示方法是唯一的.,思維辨析,一,二,2.填空:平面向量基本定理,思維辨析,,,,,,,,,,,,,一,二,3.做一做:下列說(shuō)法正確的是( ) A.平面內(nèi)的任一向量a,都可以用平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量e1,e2線性表示 B.當(dāng)a與兩個(gè)不共線的非零向量e1,e2之一平行時(shí),a不能用e1,e2線性表示 C.零向量可以作為基底中的向量 D.平面內(nèi)的基底是不唯一的 解析根據(jù)平面向量基本定理可知,只要是不共線的兩個(gè)向量就可以作為基底,因此基底是不唯一的. 答案D,思維辨析,一,二,思維辨析,二、兩個(gè)向量的夾角與垂直 問(wèn)題思考 1.不共線向量有不同的方向,怎樣來(lái)表示它們的位置關(guān)系呢? 提示運(yùn)用向量的夾角來(lái)表示它們之間的位置關(guān)系. 2.填空: 兩向量的夾角與垂直,,,,,,,,,,,一,二,思維辨析,答案A,一,二,思維辨析,判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“”. (1)只有非零向量才能用平面內(nèi)的一組基底e1,e2線性表示. ( ) (2)同一向量用兩組不同的基底表示時(shí),表示方法是相同的. ( ) (3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),則必有a=c,b=d. ( ) (4)若兩個(gè)向量的夾角為θ,則當(dāng)|cos θ|=1時(shí),兩個(gè)向量共線. ( ) (5)若向量a與b的夾角為60,則向量-a與-b的夾角是60. ( ) (6)等腰直角三角形ABC中,AB⊥AC,則 的夾角是45. ( ) (7)e1,e2是非零的不共線向量,a=ke1+e2,b=e1+k2e2,且a,b共線,則k=1. ( ) 答案(1) (2) (3) (4)√ (5)√ (6) (7)√,探究一,探究二,探究三,思維辨析,對(duì)平面向量基本定理的理解 【例1】 給出下列命題: ①若向量e1,e2不共線,則空間中的任一向量a均可表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R); ②若向量e1,e2不共線,則平面內(nèi)的零向量不能用e1,e2線性表示; ③若向量e1,e2共線,則平面內(nèi)任一向量a都不能用e1,e2表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式; ④若向量e1,e2是一組基底,則e1+e2與e1-e2也可以作為一組基底. 其中正確命題的序號(hào)是 .,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析①錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2不共線時(shí),平面向量可用e1,e2唯一地線性表示,但空間中的向量則不一定. ②錯(cuò)誤.零向量也可以用一組基底來(lái)線性表示. ③錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2共線時(shí),平面內(nèi)的有些向量可以表示為λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量則不可以. ④正確.當(dāng)e1,e2不共線時(shí),e1+e2與e1-e2一定不共線,可以作為基底. 答案④,探究一,探究二,探究三,思維辨析,平面向量基本定理的四個(gè)要點(diǎn) ①不共線的向量e1,e2; ②平面內(nèi)的任意向量a; ③存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2; ④a=λ1e1+λ2e2.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,答案B,探究一,探究二,探究三,思維辨析,平面向量基本定理的應(yīng)用 【例2】在△ABC中.,分析根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合向量的三種線性運(yùn)算進(jìn)行求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,用基底表示向量的方法 將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過(guò)列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,證明 如圖,設(shè)D是AB邊的中點(diǎn),,探究一,探究二,探究三,思維辨析,平面向量的夾角問(wèn)題 【例3】 已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為60,則a+b與a的夾角是 ,a-b與a的夾角是 .,答案30 60,探究一,探究二,探究三,思維辨析,兩個(gè)向量夾角的實(shí)質(zhì)及求解的關(guān)鍵: (1)實(shí)質(zhì):兩個(gè)向量的夾角,實(shí)質(zhì)上是從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)非零向量構(gòu)成的角. (2)關(guān)鍵:求兩個(gè)向量的夾角,關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合,然后按照“一作二證三算”的步驟,并結(jié)合平面幾何知識(shí)求出兩個(gè)向量的夾角.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2已知兩非零向量a與b的夾角為80,則a與-b的夾角是 ,2a與3b的夾角是 . 解析如圖①,向量a與-b的夾角為100. 如圖②,向量2a與3b的夾角為80.,答案100 80,探究一,探究二,探究三,思維辨析,對(duì)兩向量夾角的定義理解不清致誤,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,在一個(gè)平面圖形中求兩個(gè)向量的夾角時(shí),切記不能直接將該平面圖形的某個(gè)內(nèi)角理解為兩個(gè)向量的夾角,必須根據(jù)向量的方向,通過(guò)平移得出向量的夾角.,1,2,3,4,5,1.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,則( ) A.零向量不能用e1,e2表示 B.對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在該平面內(nèi) C.對(duì)平面內(nèi)任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無(wú)數(shù)對(duì) D.若實(shí)數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0 解析由平面向量基本定理可知D項(xiàng)正確,這是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0. 答案D,6,1,2,3,4,5,答案A,6,1,2,3,4,5,3.若向量a與b的夾角為60,則向量-a與-b的夾角是 ( ) A.60 B.120 C.30 D.150 解析平移向量a,b使它們有公共起點(diǎn)O,如圖所示,則由對(duì)頂角相等可得向量-a與-b的夾角也是60. 答案A,6,1,2,3,4,5,4.已知e1,e2不共線,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若a,b不能作為基底,則k等于 . 解析若向量a,b不能作為基底,則向量a,b共線,可設(shè)a=λb,,答案1,6,1,2,3,4,5,答案3,6,1,2,3,4,5,6,