2018年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.2 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 3.2.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系課件 新人教B版必修1.ppt

3.2.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系,一,二,一、反函數(shù)的概念【問題思考】1.(1)已知一次函數(shù)y=2x-1,你能從方程的角度把x用y表示出來嗎?,一,二,2.填空.(1)構(gòu)成反函數(shù)的前提:函數(shù)f(x)是一一映射.(2)反函數(shù)的定義把函數(shù)f(x)的因變量作為新的函數(shù)的自變量,而把函數(shù)f(x)的自變量作為新的函數(shù)的因變量,我們就稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù).(3)反函數(shù)的記法函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)通常用y=f-1(x)表示.,一,二,二、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系【問題思考】1.函數(shù)y=ax(a>0,且a1)與函數(shù)y=logax(a>0,且a1)的解析式有何內(nèi)在聯(lián)系?提示:根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化可知y=ax可化為對數(shù)式“x=logay”,再將等式“x=logay”中的x,y互換,也就形成了對數(shù)函數(shù)y=logax,從這一內(nèi)在聯(lián)系可以看出y=ax與y=logax的定義域和值域是互換的.2.函數(shù)y=ax(a>0,且a1)與函數(shù)y=logax(a>0,且a1)的單調(diào)性有一致性嗎?提示:當(dāng)01時,上述兩個函數(shù)均是其定義域上的增函數(shù).因此單調(diào)性具有一致性,但變化速度有差異.,一,二,3.填空.(1)關(guān)系指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a1)互為反函數(shù).(2)圖象特征指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(3)單調(diào)性當(dāng)a>1時,在區(qū)間1,+)內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax隨著x的增長,函數(shù)值的增長速度逐漸加快,而對數(shù)函數(shù)y=logax的增長速度逐漸變得很緩慢.,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)任何函數(shù)都有唯一一個反函數(shù).()(2)若函數(shù)y=logax的圖象過點(m,n),則函數(shù)y=ax的圖象定過點(n,m).()(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.()答案:(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,思維辨析,求反函數(shù)【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù):,分析:按照求反函數(shù)的基本步驟求解即可.解:(1)由y=log2x,得x=2y,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟求函數(shù)的反函數(shù)的主要步驟:(1)從y=f(x)中解出x=(y);(2)x,y互換;(3)標明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域),簡記為“一解、二換、三寫”.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1求函數(shù)y=2x+1(x<0)的反函數(shù).解:由y=2x+1,得2x=y-1,x=log2(y-1),y=log2(x-1).又x<0,0<2x<1,1<2x+1<2.所求函數(shù)的反函數(shù)為y=log2(x-1)(1<x0,且a1,則函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()(2)將y=2x的圖象(),再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象,可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象.A.先向上平行移動一個單位長度B.先向右平行移動一個單位長度C.先向左平行移動一個單位長度D.先向下平行移動一個單位長度,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析:(1)方法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,從而排除A,C.其次,從單調(diào)性著眼.y=ax與y=loga(-x)的單調(diào)性正好相反,又可排除D.故選B.方法二:若01,則曲線y=ax上升且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過點(-1,0),只有B滿足條件.方法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱),則可直接選B.(2)本題是關(guān)于圖象的平移變換和對稱變換,可求出解析式或利用幾何圖形直觀推斷.答案:(1)B(2)D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟互為反函數(shù)的圖象特點:(1)互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù).(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致.(3)若一奇函數(shù)有反函數(shù),則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】設(shè)方程2x+x-3=0的根為a,方程log2x+x-3=0的根為b,求a+b的值.分析:根據(jù)方程的特點,難以從正面下手,可轉(zhuǎn)變方程形式,用數(shù)形結(jié)合的方法求解.解:將方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如圖可知,a是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3交點A的橫坐標,b是對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3交點B的橫坐標.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,由于函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù),所以它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱,由題意可得出A,B兩點也關(guān)于直線y=x對稱,于是A,B兩點的坐標為A(a,b),B(b,a).則A,B都在直線y=-x+3上,b=-a+3(A點坐標代入),或a=-b+3(B點坐標代入),故a+b=3.反思感悟根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的思想可較為簡便地解決有關(guān)方程解的個數(shù)問題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因?qū)Ψ春瘮?shù)定義理解:不清而致誤【典例】已知函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,且g(x)的圖象過定點(1,2018),則y=f-1(x+1)的圖象過定點.錯解:g(x)的圖象過定點(1,2018),y=f(x+1)的圖象過定點(2018,1).y=f-1(x+1)的圖象過定點(1,2018).以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?提示:錯解過程是把f(x+1)與f-1(x+1)誤認為是互為反函數(shù)了,實際上f(x)與f-1(x)是互為反函數(shù)的,對此不能對自變量x隨意變化拓展.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,正解:g(x)的圖象過定點(1,2018),f(x+1)的圖象過定點(2018,1).又f(x)的圖象可以看作由f(x+1)的圖象向右平移一個單位長度得到的,f(x)過定點(2019,1).又f(x)與f-1(x)互為反函數(shù),f-1(x)的圖象過定點(1,2019).再結(jié)合f-1(x)與f-1(x+1)的關(guān)系可知,f-1(x+1)的圖象過定點(0,2019).防范措施1.防止以上錯誤的產(chǎn)生,首先要明確反函數(shù)的求解原則和步驟,并且要清楚f(x)與f-1(x)是互為反函數(shù)的本質(zhì)是等式中的x,y進行了互換.2.對于復(fù)合函數(shù)f(x+1)的函數(shù)的求解,可將“x+1”看成整體來對待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函數(shù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練已知函數(shù)y=f(x-2)的圖象過定點(2,6),則函數(shù)y=f-1(x-2)的圖象過定點.答案:(8,0),答案:B2.函數(shù)y=x+2(xR)的反函數(shù)為()A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x(xR)D.y=x-2(xR)解析:由y=x+2(xR),得x=y-2(xR).互換x,y,得y=x-2(xR).答案:D,