2019-2020年高考數學專題復習 第30講 等比數列練習 新人教A版.doc

2019-2020年高考數學專題復習 第30講 等比數列練習 新人教A版考情展望1.運用基本量法求解等比數列問題.2.以等比數列的定義及等比中項為背景，考查等比數列的判定.3.客觀題以等比數列的性質及基本量的運算為主，突出“小而巧”的特點，解答題注重函數與方程、分類討論等思想的綜合應用一、等比數列證明an是等比數列的兩種常用方法(1)定義法：若q(q為非零常數且n2且nN*)，則an是等比數列(2)中項公式法：在數列an中，an0且aanan2(nN*)，則數列an是等比數列二、等比數列的性質1對任意的正整數m、n、p、q，若mnpq2k，則amanapaqa.2通項公式的推廣：anamqnm(m，nN*)3公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為qn；當公比為1時，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定構成等比數列4若數列an，bn(項數相同)是等比數列，則an，a，anbn，(0)仍是等比數列等比數列的單調性單調遞增a10，q1或者a10,0q1單調遞減a10,0q1或者a10，q1常數數列a10，q1擺動數列q01已知an是等比數列，a22，a5，則公比q等于()AB2C2D.【解析】由題意知：q3，q.【答案】D2設Sn為等比數列an的前n項和，8a2a50，則()A11 B8 C5 D11【解析】8a2a50，得8a2a2q3，又a20，q2，則S511a1，S2a1，11.【答案】A3公比為2的等比數列an的各項都是正數，且a3a1116，則log2a10()A4 B5 C6 D7【解析】由題意aa3a1116，且a70，a74，a10a7q342325，從而log2a105.【答案】B4在等比數列an中，若公比q4，且前3項之和等于21，則該數列的通項公式an_.【解析】S321，q4，21，a11，an4n1.【答案】4n15(xx大綱全國卷)已知數列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項和等于()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】由3an1an0，得，故數列an是公比q的等比數列又a2，可得a14.所以S103(1310). 【答案】C6(xx江西高考)等比數列x,3x3,6x6，的第四項等于()A24 B0C12 D24【解析】由題意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比數列的前3項是3，6，12，則第四項為24.【答案】A考向一 090等比數列的基本運算(1)(xx北京高考)若等比數列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項和Sn_.(2)等比數列an的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數列求an的公比q；若a1a33，求Sn.【思路點撥】建立關于a1與公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比數列的通項公式與求和公式【嘗試解答】(1)設出等比數列的公比，利用已知條件建立關于公比的方程求出公比，再利用前n項和公式求Sn.設等比數例an的首項為a1，公比為q，則：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.【答案】2,2n12(2)S1，S3，S2成等差數列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，從而q.由已知可得a1a1()23，故a14，從而Sn.規(guī)律方法11.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現了方程思想的應用.2.在使用等比數列的前n項和公式時，應根據公比q的情況進行分類討論，此外在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算.對點訓練(1)(xx遼寧高考)已知等比數列an為遞增數列，且aa10,2(anan2)5an1，則數列an的通項公式an_.(2)(xx晉州模擬)已知數列an是公差不為零的等差數列，a12，且a2，a4，a8成等比數列求數列an的通項公式；求數列3an的前n項和【解析】(1)設數列an的首項為a1，公比為q，aa10,2(anan2)5an1.由得a1q；由知q2或q，又數列an為遞增數列，a1q2，從而an2n.【答案】2n(2)設數列an的公差為d(d0)，由題意得aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)又a12，所以d2或d0(舍去)an2n.由可知3an32n9n.故數列3an的前n項和為(9n1)考向二 091等比數列的判定與證明(xx荊州模擬)成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列bn中的b3、b4、b5.(1)求數列bn的通項公式；(2)數列bn的前n項和為Sn，求證：數列是等比數列【思路點撥】正確設出等差數列的三個正數，利用等比數列的性質解出公差d，從而求出數列bn的首項、公比；利用等比數列的定義可解決第(2)問【嘗試解答】(1)設成等差數列的三個正數分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，(7d)(18d)100，解之得d2或d13(舍去)，b35，公比q2，因此b1.故bn2n152n3.(2)證明由(1)知b1，公比q2，Sn52n2，則Sn52n2，因此S1，2(n2)數列Sn是以為首項，公比為2的等比數列規(guī)律方法21.本題求解常見的錯誤：(1)計算失誤，不注意對方程的根(公差d)的符號進行判斷；(2)不能靈活運用數列的性質簡化運算.2.要判定一個數列不是等比數列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等比即可.對點訓練(1)在正項數列an中，a12，點(，)(n2)在直線xy0上，則數列an的前n項和Sn_.(2)數列an的前n項和為Sn，若anSnn，cnan1，求證：數列cn是等比數列，并求an的通項公式【解析】(1)由題意知0，an2an1(n2)，數列an是首項為2，公比為2的等比數列Sn2n12.【答案】2n12(2)證明anSnn，a1S11，得a1，c1a11.又an1Sn1n1，anSnn，2an1an1，即2(an11)an1.又a11，即，數列cn是以為首項，以為公比的等比數列則cnn1n，an的通項公式ancn11n.考向三 092等比數列的性質及應用(1)設等比數列an的前n項和為Sn，若S6S312，則S9S3等于()A12B23C34D13(2)(xx衡水模擬)在等比數列an中，若a7a8a9a10，a8a9，則_.【思路點撥】(1)借助S3，S6S3，S9S6成等比求解(2)應用等比數列的性質a7a10a8a9求解【嘗試解答】(1)由等比數列的性質：S3、S6S3、S9S6仍成等比數列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，將S6S3代入得.(2)法一a7a8a9a10，a8a9a7a10，.法二由題意可知得，即，所以.【答案】(1)C(2)規(guī)律方法3在解決等比數列的有關問題時，要充分挖掘隱含條件，利用性質，特別是“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度.對點訓練(1)(xx課標全國卷)已知an為等比數列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C5D7(2)(xx大連模擬)已知等比數列an滿足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，則log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2【解析】(1)由于a5a6a4a78，a4a72，a4，a7是方程x22x80的兩根，解之得a44，a72或a42，a74.q3或q32.當q3時，a1a10a7q34(2)(2)()7，當q32時，a1a10a7q34(2)7.(2)a5a2n5a22n，且an0，an2n，a2n122n1，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n2.【答案】(1)D(2)C 思想方法之十三分類討論思想在等比數列求和中的應用分類討論的實質是將整體化為部分來解決其求解原則是不復重，不遺漏，討論的方法是逐類進行在數列的學習中，也有多處知識涉及到分類討論思想 ，具體如下所示：(1)前n項和Sn與其通項an的關系：an(2)等比數列的公比q是否為1；(3)在利用公式Sn求和時，數列的項的個數為偶數還是奇數等等求解以上問題的關鍵是找準討論的切入點，分類求解1個示范例1個對點練(xx天津高考)已知首項為的等比數列an不是遞減數列，其前n項和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數列(1)求數列an的通項公式；(2)設TnSn(nN*)，求數列Tn的最大項的值與最小項的值【解】(1)設等比數列an的公比為q，因為S3a3，S5a5，S4a4成等差數列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數列且a1，所以q.故等比數列an的通項公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小，所以1SnS1，故0SnS1.當n為偶數時，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.所以數列Tn最大項的值為，最小項的值為.(xx青島模擬)已知數列dn滿足dnn，等比數列an為遞增數列，且aa10,2(anan2)5an1，nN*.(1)求an；(2)令cn1(1)nan，不等式ckxx(1k100，kN*)的解集為M，求所有dkak(kM)的和【解】(1)設an的首項為a1，公比為q，所以(a1q4)2a1q9，解得a1q，又因為2(anan2)5an1，所以2(ananq2)5anq，則2(1q2)5q,2q25q20，解得q(舍)或q2，所以an22n12n.(2)cn1(1)nan1(2)n，dnn，當n為偶數，cn12n2 014，即2n2 013，不成立；當n為奇數，cn12n2 014，即2n2 013，因為2101 024,2112 048，所以n2m1,5m49，則dk組成首項為11，公差為2的等差數列，ak(kM)組成首項為211，公比為4的等比數列，則所有dkak(kM)的和為2 475.